立体几何空间几何体的表面积与体积

.第 2 讲空间几何体的表面积与体积考点考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大【复习指导】本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题基础梳理1柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S 侧 rhVSh r 2h21121圆锥S 侧 rlV 3Sh3rh3r 2l2r 21圆台S 侧 (r 1r 2) lV3( S 上 S 下 S上 S下) h1223( r 1 r 2r 1r 2) h直棱柱S ChVSh侧正棱锥S112ChV3Sh侧11正棱台S 侧2( C C)hV3( S 上 S 下 S上 S下 ) h球243S 球面 4 R RV32. 几何体的表面积(1) 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2) 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.两种方法(1) 解与球有关的组合体问题的方法，一种是切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图(2) 等积法：等积法包括等面积法和等体积法 等积法的前提是几何图形 ( 或几何体 ) 的面积 ( 或体积 ) 通过已知条件可以得到， 利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高， 特别是在求三角形的高和三棱锥的高这一方法回避了具体通过作图得到三角形 ( 或三棱锥 ) 的高，而通过直接计算得到高的数值双基自测1 ( 人教 A 版教材习题改编 ) 圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 () A4S SB223C SD.3Sr ，高为 h，则 r S解析设圆柱底面圆的半径为 ，又 h2 r 2 S， S 圆柱侧 (2 S) 24 S.答案A2(2012 东北三校联考) 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 () a2B 6a2C a2D a2A 31224解析由于长方体的长、 宽、高分别为 2a、a、a，则长方体的体对角线长为2a2a2a26a. 又长方体外接球的直径2R 等于长方体的体对角线， 2R6a. S 球 4 R26 a2.答案B.3(2011 ) 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是() A 8B 62C 10D 82解析由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,6 2， 8,10 ，所以面积最大的是 10，故选择 C.答案C4(2011 ) 设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为() 99A. 2 12B.2 18C9 42D36 18解析该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边24339长为3 的正方形，高为2，故所求体积为233 22 18.答案B5若一个球的体积为 43，则它的表面积为 _解析V4R34， R ，S R2 .33344312答案12.考向一几何体的表面积【例 1】 ?(2011 ) 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为() A 48B32 8 17C 488 17D80 审题视点 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积解析换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4 的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4 ，高为 4，故腰长为17，所以该几何体的表面积为48 817.答案C以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系【训练 1】 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于() A.3B2C23D6解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2 的正三角形、侧棱为1 的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2136.答案D考向二几何体的体积【例 2】?(2011 )如图，某几何体的正视图( 主视图 ) 是平行四边形，侧视图( 左视图 ) 和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为() .A183B123C93D63 审题视点 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3 的正方形，高为3，故 V33393.答案C以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解【训练 2】 (2012 模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于() 2816A. 3 B.3 4C.3 8D12 解析由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为 2 的圆柱和半径为241 的球的组合体，则该几何体的体积为 22 3283 .答案 A考向三几何体的展开与折叠【例 3】?(2012 模拟) 如图 1，在直角梯形 ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD 2，将 ADC沿 AC折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 DABC，如图 2 所示.(1) 求证： BC平面 ACD；(2) 求几何体 DABC的体积 审题视点 (1)利用线面垂直的判定定理，证明BC垂直于平面 ACD的两条相交线即可； (2)利用体积公式及等体积法证明(1) 证明 在图中，可得 ACBC2 2，222从而 AC BCAB，故 AC BC，取 AC的中点 O，连接 DO，则 DOAC，又平面 ADC平面 ABC，平面 ADC平面 ABCAC， DO?平面 ADC，从而 DO平面ABC， DOBC，又 ACBC， ACDO O， BC平面 ACD.(2) 解由 (1) 可知， BC为三棱锥 BACD的高， BC22，S 2， V ACDBACD1142S ACDBC 2，33234 2由等体积性可知，几何体 DABC的体积为 3 .(1) 有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形 ( 折前的平面图形和折叠后的空间图形) 各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变(2) 研究几何体表面上两点的最短距离问题， 常选择恰当的母线或棱展开， 转化为平面上两点间的最短距离问题【训练 3】 已知在直三棱柱 ABCA1B1 C1 中，底面为直角三角形， ACB90，AC6，BCCC1 2，P 是 BC1 上一动点，如图所示，则 CPPA1 的最小值为 _.解析PA1 在平面 A1BC1，PC在平面 BCC1，将其铺平后转化为平面上的问题解决计算 A1B AB140， BC1 2，又 A1C1 6，故 A1BC1 是 A1 C1B90的直角三角形铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示CPPA1A1C.在 AC1C中，由余弦定理得A1 C6222262cos 135 5052，故 ( CPPA1) min52.答案52难点突破 17空间几何体的表面积和体积的求解空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键【示例 1】? (2010 ) 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为() A280 B 292 C 360 D 372.【示例 2】? (2011 全国新课标) 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都3在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的16，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_.