人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程 压轴题 练习

人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程 压轴题复习练习题1已知：关于x的一元二次方程x2（2m+3）x+m2+3m+20（1）已知x2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为ABC中AB、AC（ABAC）的边长，当BC时，ABC是等腰三角形，求此时m的值2某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？3边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程x2（k+2）x+4k0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长4某汽车销售公司2019年10月份销售一种新型低能耗汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆（1）求11月份和12月份的平均增长率；（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2020年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利销售利润+返利）5已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2mx+0的两个实数根（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？6某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？7已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（ba）0，其中a、b、c分别为ABC三边的长（1）如果x1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由；（3）如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根8南岸区正全力争创全国卫生城区和全国文明城区（简称“两城同创”）某街道积极响应“两城同创”活动，投入一定资金绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵，甲种树木单价是乙种树木单价的，且乙种树木每棵80元，共用去资金6160元（1）求甲、乙两种树木各购买了多少棵？（2）经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好该街道决定再购买一批这两种树木绿化另一块闲置空地，两种树木的购买数量均与第一批相同，购买时发现甲种树木单价上涨了a%，乙种树木单价下降了，且总费用为6804元，求a的值9已知关于x的一元二次方程（m2）x2+（2m+1）x+m0有两个实数根x1，x2（1）求m的取值范围（2）若|x1|x2|，求m的值及方程的根10已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+4（k）0（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积11已知关于x的一元二次方程|x21|（x1）（kx2）：（1）若k3，求方程的解；（2）若方程恰有两个不同解，求实数k的取值范围12已知关于x的方程（k1）x2+（2k3）x+k+10有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x24x+k0与x2+mx10有一个相同的根，求此时m的值13为了准备科技节创意销售，宏帆初2018级某同学到批发市场购买了一些甲、乙两种型号的小元件，甲型小元件的单价是6元，乙型小元件的单价是3元，该同学的创意作品每件需要的乙型小元件的个数是甲型小元件的个数的2倍，同时，为了控制成本，该同学购买小元件的总费用不超过480元（1）该同学最多可购买多少个甲型小元件？（2）在该同学购买甲型小元件最多的前提下，用所购买的甲、乙两种型号的小元件全部制作成创意作品，在制作中其他费用共花520元，销售当天，该同学在成本价（购买小元件的费用+其他费用）的基础上每件提高2a%（10a50）标价，但无人问津，于是该同学在标价的基础上降低a%出售，最终，在活动结束时作品全部卖完，这样，该同学在本次活动中赚了a%，求a的值14已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx24kx+k+10的两个实数根（1）是否存在实数k，使（2x1x2）（x12x2）成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k2，试求的值15利民商店经销甲、乙两种商品 现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？16设m是不小于1的实数，关于x的方程x2+2（m2）x+m23m+30有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x226，求m值；（2）令T+，求T的取值范围17已知关于x的两个一元二次方程：方程：；方程：x2+（2k+1）x2k30（1）若方程有两个相等的实数根，求：k的值（2）若方程和只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根（3）若方程和有一个公共根a，求代数式（a2+4a2）k+3a2+5a的值18如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，求小道进出口的宽度19已知关于x的一元二次方程（a+c）x22bx+（ac）0，其中a、b、c分别为ABC三边的长（1）如果x1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由；（3）如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根参考答案1已知：关于x的一元二次方程x2（2m+3）x+m2+3m+20（1）已知x2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为ABC中AB、AC（ABAC）的边长，当BC时，ABC是等腰三角形，求此时m的值【解答】解：（1）x2是方程的一个根，42（2m+3）+m2+3m+20，m0或m1；（2）（2m+3）24（m2+3m+2）1，xx1m+2，x2m+1，AB、AC（ABAC）的长是这个方程的两个实数根，ACm+2，ABm+1BC，ABC是等腰三角形，当ABBC时，有m+1，m1；当ACBC时，有m+2，m2，综上所述，当m1或m2时，ABC是等腰三角形2某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：50（1a）232，解得：a1.8（舍）或a0.2，答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克应涨价x元，由题意，得（10+x）（50020x）6000，整理，得 x215x+500，解得：x15，x210，因为要尽快减少库存，所以x5符合题意答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元3边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程x2（k+2）x+4k0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长【解答】解：设直角边为a，b（ab），则a+bk+2，ab4k，因方程的根为整数，故其判别式为平方数，设（k+2）216kn2（k6+n）（k6n）13221648，k6+nk6n，或或，解得k1（不是整数，舍去），k215，k312，当k215时，a+b17，ab60a5，b12，c13，当k312时，a+b14，ab48a6，b8，c10当k15时，三角形三边的长为：5，12，13当k12时，三角形三边的长为：6，8，104某汽车销售公司2019年10月份销售一种新型低能耗汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆（1）求11月份和12月份的平均增长率；（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2020年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利销售利润+返利）【解答】解：（1）设11月份和12月份的平均增长率为x，根据题意得：20（1+x）245，解得：x10.550%，x22.5（舍去）答：11月份和12月份的平均增长率为50%（2）根据题意得：1110+0.03a2.6，解得：a53a为整数，a54此时总盈利为54（1110+0.0354）141.48（万元）答：该公司1月份至少需要销售该型号汽车54辆，此时总盈利至少是141.48万元5已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2mx+0的两个实数根（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，ABAD又AB、AD的长是关于x的方程x2mx+0的两个实数根，（m）24（）（m1）20，m1，当m为1时，四边形ABCD是菱形当m1时，原方程为x2x+0，即（x）20，解得：x1x2，菱形ABCD的边长是（2）把x2代入原方程，得：42m+0，解得：m将m代入原方程，得：x2x+10，方程的另一根AD12，ABCD的周长是2（2+）56某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？【解答】解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，平均单株盈利为：（30.5x）元，由题意得：（x+3）（30.5x）10化简，整理，得x23x+20解这个方程，得x11，x22，则3+14，2+35，答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应植4株或者5株7已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（ba）0，其中a、b、c分别为ABC三边的长（1）如果x1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由；（3）如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根【解答】解：（1）ABC是等腰三角形，理由：当x1时，（a+b）2c+（ba）0，bc，ABC是等腰三角形，（2）ABC是直角三角形，理由：方程有两个相等的实数根，（2c）24（a+b）（ba）0，a2+c2b2，ABC是直角三角形；（3）ABC是等边三角形，abc，原方程可化为：2ax2+2ax0，即：x2+x0，x（x+1）0，x10，x21，即：这个一元二次方程的根为x10，x218南岸区正全力争创全国卫生城区和全国文明城区（简称“两城同创”）某街道积极响应“两城同创”活动，投入一定资金绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵，甲种树木单价是乙种树木单价的，且乙种树木每棵80元，共用去资金6160元（1）求甲、乙两种树木各购买了多少棵？（2）经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好该街道决定再购买一批这两种树木绿化另一块闲置空地，两种树木的购买数量均与第一批相同，购买时发现甲种树木单价上涨了a%，乙种树木单价下降了，且总费用为6804元，求a的值【解答】解：（1）设甲种树木的数量为x棵，乙种树木的数量为y棵，由题意得：，解得：，答：甲种树木的数量为40棵，乙种树木的数量为32棵；（2）由题意得甲种树木单价为80（1+a%）90（1+a%）元，乙种树木单价为80（1），由题意得：90（1+a%）40+80（1）326804，解得：a25，答：a的值为259已知关于x的一元二次方程（m2）x2+（2m+1）x+m0有两个实数根x1，x2（1）求m的取值范围（2）若|x1|x2|，求m的值及方程的根【解答】解：（1）关于x的一元二次方程（m2）x2+（2m+1）x+m0有两个实数根x1，x2，解得：m且m2（2）由|x1|x2|，可得：x1x2或x1x2当x1x2时，（2m+1）24m（m2）0，解得：m，此时x1x2；当x1x2时，x1+x20，m，m且m2，此时方程无解综上所述：若|x1|x2|，m的值为，方程的根为x1x210已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+4（k）0（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积【解答】解：（1）（2k+1）244（k）4k212k+9（2k3）20，该方程有两个实数根；（2）当3为底边长时，（2k3）20，k，此时原方程为x24x+40，解得：x1x222、2、3能组成三角形，三角形的周长为2+2+37，三角形的面积为3；当3为腰长时，将x3代入原方程，得：93（2k+1）+4（k）0，解得：k2，此时原方程为x25x+60，解得：x12，x232、3、3能组成三角形，三角形的周长为2+3+38，三角形的面积为22综上所述：等腰三角形的周长为7或8，面积为或211已知关于x的一元二次方程|x21|（x1）（kx2）：（1）若k3，求方程的解；（2）若方程恰有两个不同解，求实数k的取值范围【解答】解：（1）把k3代入|x21|（x1）（kx2）中，得|x21|（x1）（3x2），当x21，即x1或x1时，原方程可化为：x21（x1）（3x2），解得，x1（舍），或x；当x21，即1x1时，原方程可化为：1x2（x1）（3x2），解得，x1，或x；综上，方程的解为x1，x21，x3；（2）x1恒为方程|x21|（x1）（kx2）的解，当x1时，方程两边都同时除以x1得，要使此方程只有一个解，只需函数y与函数ykx2的图象只有一个交点函数：，作出函数图象，由图象可知，当k0时，直线ykx2与函数y图象只有一个交点；当k0时，直线ykx22与函数y图象只有一个交点；当k1时，ykx2x2与yx+1平行，则与函数y图象只有一个交点；当直线ykx2过（1，2）点时，2k2，则k4，函数图象可知，当k4时，直线ykx2与函数y图象也只有一个交点，要使函数图象与ykx2图象有且只有一个交点，则实数k的取值范围是k0或k1或k4综上，实数k的取值范围：k0或k1或k412已知关于x的方程（k1）x2+（2k3）x+k+10有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x24x+k0与x2+mx10有一个相同的根，求此时m的值【解答】解：（1）（2k3）24（k1）（k+1）4k212k+94k2+412k+13，方程（k1）x2+（2k3）x+k+10有两个不相等的实数根，12k+130，解得，k，又k10，k且k1时，方程有两个不相等的实数根；（2）k是符合条件的最大整数，k0，x24x0，x0或4，当x0时，x2+mx10无意义；当x4时，42+4m10m13为了准备科技节创意销售，宏帆初2018级某同学到批发市场购买了一些甲、乙两种型号的小元件，甲型小元件的单价是6元，乙型小元件的单价是3元，该同学的创意作品每件需要的乙型小元件的个数是甲型小元件的个数的2倍，同时，为了控制成本，该同学购买小元件的总费用不超过480元（1）该同学最多可购买多少个甲型小元件？（2）在该同学购买甲型小元件最多的前提下，用所购买的甲、乙两种型号的小元件全部制作成创意作品，在制作中其他费用共花520元，销售当天，该同学在成本价（购买小元件的费用+其他费用）的基础上每件提高2a%（10a50）标价，但无人问津，于是该同学在标价的基础上降低a%出售，最终，在活动结束时作品全部卖完，这样，该同学在本次活动中赚了a%，求a的值【解答】解：（1）设该同学购买x个甲型小元件，则购买2x个乙型小元件，根据题意得：6x+32x480，解得：x40答：该同学最多可购买40个甲型小元件（2）设ya%，根据题意得：（520+480）（1+2y）（1y）（520+480）（1+y），整理得：4y2y0，解得：y0.25或y0（舍去），a%0.25，a25答：a的值为2514已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx24kx+k+10的两个实数根（1）是否存在实数k，使（2x1x2）（x12x2）成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k2，试求的值【解答】解：（1）x1、x2是一元二次方程4kx24kx+k+10的两个实数根，x1+x21，x1x2，（2x1x2）（x12x2）2x124x1x2x1x2+2x222（x1+x2）29x1x221292，若2成立，解上述方程得，k，16k244k（k+1）16k0，k0，k，矛盾，不存在这样k的值；（2）原式22262，k+11或1，或2，或2，或4，或4解得k0或2，1，3，3，5k0k2，3或5；（3）k2，x1+x21，x2+x21，x2，x1，x1x2，3215利民商店经销甲、乙两种商品 现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？【解答】解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为x，y元，根据题意得：，解得：，答：甲、乙两种商品的进货单价各为2元、3元；（2）商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件甲、乙两种商品的零售单价都下降m元时，甲乙每天分别卖出：（500+100）件，（300+100）件，销售甲、乙两种商品获取的利润是：甲乙每件的利润分别为：321元，532元，每件降价后每件利润分别为：（1m）元，（2m）元；w（1m）（500+100）+（2m）（300+100），2000m2+2200m+1100，17002000m2+2200m+1100，解：m0.6或0.5当m定为0.5元或0.6元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润是1700元16设m是不小于1的实数，关于x的方程x2+2（m2）x+m23m+30有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x226，求m值；（2）令T+，求T的取值范围【解答】解：方程由两个不相等的实数根，所以2（m2）24（m23m+3）4m+40，所以m1，又m是不小于1的实数，1m1x1+x22（m2）42m，x1x2m23m+3；（1）x12+x226，（x1+x2）22x1x26，即（42m）22（m23m+3）6整理，得m25m+20解得m；1m1所以m（2）T+22m1m1且m0所以022m4且m0即0T4且T217已知关于x的两个一元二次方程：方程：；方程：x2+（2k+1）x2k30（1）若方程有两个相等的实数根，求：k的值（2）若方程和只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根（3）若方程和有一个公共根a，求代数式（a2+4a2）k+3a2+5a的值【解答】解：（1）方程有两个相等的实数根，则k2，1b24ac（k+2）24（1+）（1）k2+4k+4+4+2kk2+6k+8，则（k+2）（k+4）0，k2，k4，k2，k4；（2）2（2k+1）241（2k3）4k2+4k+1+8k+124k2+12k+13（2k+3）2+40，无论k为何值时，方程总有实数根，方程、只有一个方程有实数根，此时方程没有实数根（3）根据a是方程和的公共根，a2+（2k+1）a2k30，2得：（2+k）a2+（2k+4）a20，+得：（3+k）a2+（4k+5）a2k5，代数式（a2+4a2）k+3a2+5a（3+k）a2+（4k+5）a2k5故代数式的值为518如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，求小道进出口的宽度【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（302x）（20x）532整理，得x235x+340解得，x11，x2343420（不合题意，舍去），x1答：小道进出口的宽度应为1米19已知关于x的一元二次方程（a+c）x22bx+（ac）0，其中a、b、c分别为ABC三边的长（1）如果x1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由；（3）如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根【解答】解：（1）把x1代入方程得a+c2b+ac0，则ab，所以ABC为等腰三角形；（2）根据题意得（2b）24（a+c）（ac）0，即b2+c2a2，所以ABC为直角三角形；（3）ABC为等边三角形，abc，方程化为x2x0，解得x10，x2119 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