湖南省邵阳市2018年中考数学提分训练 二次函数（含解析）

2018年中考数学提分训练: 二次函数一、选择题1.如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，1），C（2，2），抛物线 （a0）经过ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（ ）A.a1或a2B.1a0或0a2C.1a0或1a D.a22.下列命题：若a+b+c=0，则b2-4ac0；若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；若b2-4ac0，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3其中正确的是（ ） A.B.C.D.3.在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（1，2），（2，1），若抛物线y=ax2x+2（a0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ） A.a1或 a B.a C.a 或a D.a1或a 4.已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数若AB=2，CD=4则a+b之值为何？（ ） A.1B.9C.16D.245.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，部分图象如图所示，下列判断中：abc0；b24ac0；9a3b+c=0；若点（0.5，y1），（2，y2）均在抛物线上，则y1y2；5a2b+c0其中正确的个数有（ ）A.2B.3C.4D.56.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）近似满足函数关系 （ ）下图记录了某运动员起跳后的 与 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）A.B.C.D.7.将抛物线y=2x21向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能够成等边三角形，那么平移的距离为（ ） A.1个单位B.个单位C.个单位D.个单位8.设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a0）的图象的对称轴，（ ） A.若m1，则（m1）a+b0B.若m1，则（m1）a+b0C.若m1，则（m +1）a+b0D.若m1，则（m +1）a+b09.二次函数 图象如图3所示当y0时，自变量x的取值范围是（ ） A.x1B.1x3C.x3D.x1或x3 10.对于二次函数y=x2+mx+1，当0x2时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（ ） A.m2B.4m2C.m4D.m4或m2二、填空题 11.抛物线 的顶点坐标为_ 12.如果函数 （ 为常数）是二次函数，那么 取值范围是 _ 13.二次函数y=x22x3的最小值为_ 14.抛物线 向下平移 个单位后所得的新抛物线的表达式是_ 15.已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是_x1012y034316.若函数f（x）=ax2+bx+c的图象通过点（1，1）、（，0）与（，0），则用、表示f（1）得f（1）=_ 17.如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是_18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a0）交于点B若四边形ABOC是正方形，则b的值是_三、解答题 19.已知抛物线y=ax2+bx3（a0）经过点（1，0），（3，0），求a，b的值 20.已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且该抛物线经过点A（3，3），求该抛物线解析式 21.将抛物线 向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标和对称轴 22.某公司准备投资开发A、B两种新产品，通过市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间满足正比例函数关系：yA=kx；如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系：yB=ax2+bx根据公司信息部的报告，yA、yB（万元）与投资金额x（万元）的部分对应值（如下表）x15yA0.63yB2.810（1）求正比例函数和二次函数的解析式； （2）如果公司准备投资20万元同时开发A、B两种新产品，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元？ 23.已知二次函数的图象以A（1，4）为顶点，且过点B（2，5） （1）求该函数的关系式； （2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标； （3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A、B，求O AB的面积. 24.如图，已知抛物线y=ax2+bx+6(a0)与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.（1）求抛物线y的函数表达式及点C的坐标； （2）点M为坐标平面内一点，若MA=MB=MC，求点M的坐标； （3）在抛物线上是否存在点E，使4tanABE=11tanACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由. 25.如图，已知二次函数 的图象抛物线与 轴相交于不同的两点 ， ,且 ,（1）若抛物线的对称轴为 求的 值； （2）若 ，求 的取值范围； （3）若该抛物线与 轴相交于点D，连接BD，且OBD60，抛物线的对称轴 与 轴相交点E，点F是直线 上的一点，点F的纵坐标为 ，连接AF，满足ADBAFE，求该二次函数的解析式. 答案解析 一、选择题1.【答案】B 【解析】 如图所示：分两种情况进行讨论：当 时，抛物线 经过点 时， 抛物线的开口最小， 取得最大值 抛物线 经过ABC区域（包括边界）， 的取值范围是： 当 时，抛物线 经过点 时， 抛物线的开口最小， 取得最小值 抛物线 经过ABC区域（包括边界）， 的取值范围是： 故答案为：B.【分析】分两种情况进行讨论：当 a 0 时，抛物线 y = a x 2 经过三角形最左端的点A，此时a的值2， 抛物线的开口最小，根据抛物线中二次项的系数的绝对值越大开口越小，从而得出a 取得最大值 2，即可得出a的取值范围；当 a 0 时，抛物线 y = a x 2 经过三角形最左端的点B，此时a的值-1， 抛物线的开口最小，根据抛物线中二次项的系数的绝对值越大开口越小，从而得出a 取得最小值-1，即可得出a的取值范围；综上所述即可得出答案。2.【答案】D 【解析】 若a+b+c=0，则b=-a-c，b2-4ac=（a-c）20，正确；若b=2a+3c则=b2-4ac=4a2+9c2+12ac-4ac=4a2+9c2+8ac=（2a+2c）2+5c2 ， a0恒大于0，有两个不相等的实数根，正确；若b2-4ac0，则二次函数的图象，一定与x轴有2个交点，当与y轴交点是坐标原点时，与x轴的交点有两个，且一个交点时坐标原点，抛物线与坐标轴的交点个数是2当与y轴有交点的时候（不是坐标原点），与坐标轴的公共点的个数是3，正确故答案为：D【分析】（1）因为a+b+c=0，所以变形得，b=-a-c，所以0;（2）因为b=2a+3c，所以由一元二次方程的根的判别式可得-4ac=-4ac=,因为a0，所以-4ac0;（3）根据二次函数和一元二次方程的关系可知当b2-4ac0时，则二次函数的图象一定与x轴有2个交点，而二次函数的图象与y轴也一定有交点，当与y轴交点是坐标原点时，与x轴的交点有两个，且一个交点时坐标原点，抛物线与坐标轴的交点个数是2当与y轴有交点的时候（不是坐标原点），与坐标轴的公共点的个数是3。3.【答案】A 【解析】 ：抛物线的解析式为y=ax2-x+2观察图象可知当a0时，x=-1时，y2时，满足条件，即a+32，即a-1；当a0时，x=2时，y1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，a ，直线MN的解析式为y=- x+ ，由 ，消去y得到，3ax2-2x+1=0，0，a ， a 满足条件，综上所述，满足条件的a的值为a-1或 a ，故答案为：A【分析】此图有两种情况,根据抛物线的特点及线段两个端点画出简易图像，观察图象可知当a0时，x=-1时，y2时，满足条件，即a+32，即a-1；当a0时，x=2时，y1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，故a，用待定系数法求出直线MN的解析式，解联立MN的解析式与抛物线的解析式，根据它们有两个不同的交点得出0，从而得出不等式求出得出a,故,综上所述得出答案。4.【答案】A 【解析】 ：如图，由题意知：A（1，2），C（2，2），分别代入y=3x2+a，y=2x2+b可得a=5，b=6，a+b=1，故答案为：A【分析】由题意可知直线y=-2，而直线y=-2与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=2x2+b的图形相交于C，D两点，所以点A、B、C、D的纵坐标都是-2，再将纵坐标-2代入函数y=3x2+a，y=2x2+b可得a=5，b=6，则a+b的值可求解。5.【答案】B 【解析 ：抛物线对称轴x=-1，经过（1，0），- =-1，a+b+c=0，b=2a，c=-3a，a0，b0，c0，abc0，故错误，抛物线与x轴有交点，b2-4ac0，故正确，抛物线与x轴交于（-3，0），9a-3b+c=0，故正确，点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，-0.5-2，则y1y2；故错误，5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a0，故正确，故答案为：B【分析】根据抛物线的对称轴公式及抛物线上点的坐标特点得出, a+b+c=0，故b=2a，c=-3a，由抛物线的开口向上得出a0，根据抛物线与y轴交点的位置，得出c0，由抛物线的对称轴在y轴的左侧及a0，得出b0，根据抛物线的对称性可以得出抛物线与x轴有2个交点，且另一个交点的坐标为（-3，0），把（-3，0），代入抛物线的解析式即可得出9a-3b+c=0，又点点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，但一个位于抛物线的对称轴右侧，一个在对称轴的左侧，它们各自距对称轴的距离不一样，故距顶点的远近也不一样，点（-0.5，y1）离顶点近一些，根据抛物线的增减性即可得出答案；根据以上信息即可一一判断。6.【答案】B 【解析】 ：设对称轴为 ，由（ ， ）和（ ， ）可知， ，由（ ， ）和（ ， ）可知， ， ，故答案为：B【分析】根据抛物线的对称性，即可作出判断，7.【答案】C 【解析】 设抛物线y=2x21向上平移若干个单位，抛物线与x轴有2个交点，则抛物线解析式为y=2x2+b1，因为=04（2）（b1）0，所以b1，当y=0时，2x2+b1=0，解得x1= ，x2= ，则抛物线与x轴的两交点间的距离为2 ，因为抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能够成等边三角形，所以b1= 2 ，整理得2b27b+5=0，解得b1=1（舍去），b2= ，所以平移的距离为 故答案为：C【分析】设抛物线y=-2x2-1向上平移b个单位，抛物线与x轴有2个交点，则平移后的抛物线解析式为y=-2x2+b-1再解方程-2x2+b-1=0得到抛物线与x轴的两交点间的距离，最后，利用等边三角形得高为边长的倍得到关于b的方程，从而可求得b的值.8.【答案】C 【解析】 ：此抛物线的对称轴是x=1，b=2a.（m1）a+b=（m-3）a当m1时，m-3的值不能确定，因此A、B不符合题意；(m+1)a+b=ma+a2a=(m-1)a当m0，C符合题意；D不符合题意；故答案为：C【分析】根据抛物线的对称轴x=-,得出b=2a，再得出（m1）a+b=（m-3）a；(m+1)a+b=(m-1)a，然后根据各选项中的m的取值范围及a的取值范围，作出判断即可。9.【答案】B 【解析】 ：当设y=0，则x2-2x-3=0解之得：x1=-1，x2=3抛物线与x轴的交点坐标为：（-1,0），（3,0）当y0时，1x3故答案为：B【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，再观察x轴下方的图像，写出自变量x的取值范围即可。10.【答案】A 【解析】 ：对顶点坐标为：x= = ，y=1 ，其对称轴为 ：x= = 分三种情况：当对称轴x0时，即 0，m0，满足当0x2时的函数值总是非负数；当0x2时，0 2，4m0，当1 0时，2m2，满足当0x2时的函数值总是非负数；当1 0时，不能满足当0x2时的函数值总是非负数；当2m0时，当0x2时的函数值总是非负数，当对称轴 2时，即m4，如果满足当0x2时的函数值总是非负数，则有x=2时，y0，4+2m+10，m ，此种情况m无解；故答案为：A【分析】根据抛物线表示出其顶点的坐标，及对称轴，分三种情况：当对称轴x0时，当0x2时，当对称轴x 2时,分别列出关于m的不等式，求解并判断当0x2时的函数值总是非负数，即可得出答案。二、填空题11.【答案】（1，4） 【解析】 y=(x1)2+4为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为(1，4).故答案为：(1，4).【分析】次函数已经是顶点式了，根据顶点式y=(xh)2+k,其顶点坐标为 （h,k）即可得出答案。12.【答案】m2 【解析】 由题意得：m-20，解得：m2，故答案为：m2【分析】根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，得出不等式，求解即可。13.【答案】-4 【解析 ：y=x22x+1-13=（x+1）2-4当x=-1时y的最小值为-4.故答案为：-4【分析】利用配方法求出二次函数的顶点坐标，即可求得出此函数的最小值。14.【答案】【解析】 =（x+2）2-1原抛物线的顶点坐标为（-2，-1），向下平移4个单位后，平移后抛物线顶点横坐标不变，纵坐标为-1-4=-5，所得新抛物线的顶点坐标是（-2，-5）新抛物线的表达式是y=（x+2）2-5=x2+4x-1.故答案为： 【分析】首先将抛物线化为顶点式，然后根据抛物线的平移规律，下移顶点纵坐标减的特点直接得出答案。15.【答案】（3，0） 【解析】 ：抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，对称轴x= =1；点（1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）故答案为：（3，0）【分析】观察表格发现抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，根据抛物线的对称性得出其对称轴直线，进而得出点（1，0）关于对称轴对称点为（3，0）。16.【答案】【解析】 由一元二次方程的根与系数的关系，得+= ，= ，b=a(+)，c=a，故f(x)=ax2a（+)x+a=a(x)(x)，又f(1)=1，a(1)(1)=1， ，故f(x)= ，f(1)= 故答案为： 【分析】函数图像过点（，0）与（，0），即函数图像与x轴有两个交点，相当于一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为，利用根与系数的关系并结合过点（-1,1）可以将a，b，c用，表示出来，从而可以用、表示f（1）.17.【答案】 【解析】 ：三个相同的长方形的长为4，宽为2点A（-4，2），B（-2,6），C（2,4）设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得解之：故答案为：【分析】根据图像及已知三个相同的长方形的长为4，宽为2，求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出此抛物线的解析式即可。18.【答案】2 【解析 ：四边形ABOC是正方形，点B的坐标为（- ，- ）抛物线y=ax2过点B，- =a（- ）2 ， 解得：b1=0（舍去），b2=-2故答案为：-2【分析】根据正方形的性质得出B点的坐标，根据抛物线上点的坐标特点，将B点坐标代入抛物线y=ax2即可得出方程，求解即可得出b的值。三、解答题19.【答案】解：抛物线y=ax2+bx-3（a0）经过点（-1，0），（3，0）， ，解得， ，即a的值是1，b的值是-2 【解析】【分析】将点（1，0），（3，0）代入抛物线y=ax2+bx3，得出关于a,b的二元一次方程组，求解得出a,b的值，20.【答案】解：设该抛物线解析式为y=a（x2）2+1， 3=a（32）2+1，解得，a=2，即该抛物线解析式是y=2（x2）2+1 【解析】【分析】根据题意可以设出该抛物线的顶点式y=a（x2）2+1，然后根据该抛物线过点（3，3），即可求得a的值，本题得以解决21.【答案】解： = ，平移后的函数解析式是 顶点坐标是（-2，1）对称轴是直线 【解析】【分析】先将函数解析式化为顶点式得y=,由平移的性质可知向左平移4个单位即在解析式中括号内加4即可，所以平移后的函数解析式是 y =，所以顶点坐标是（-2，1）对称轴是直线 x = 2。22.【答案】（1）解：把点（1，0.6）代入yA=kx中，得：k=0.6，则该正比例函数的解析式为：yA=0.6x，把点（1，2.8）和点（5，10）代入yB=ax2+bx得： ，解得： ，则该二次函数的解析式为：yB=0.2x2+3x；（2）解：设投资开发B产品的金额为x万元，总利润为y万元，则y=0.6x（20x）+（0.2x2+3x）=0.2x2+2.4x+12=0.2（x6）2+19.2当x=6时，y最大=19.2答：投资6万元生产B产品，14万元生产A产品可获得最大利润19.2万元 【解析】【分析】（1）根据题意，利用待定系数法可求出正比例函数和二次函数的解析式。（2）根据题意列出y与x的函数关系式，再求出顶点坐标，根据二次函数的性质，可求出答案。23.【答案】（1）解：依题可设y=a（x+1）2+4，B（2，-5）在抛物线上，9a+4=-5,a=-1，该函数的关系式为：y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3.（2）解：令x=0,则y=3,函数图像与y轴交点坐标为：（0,3），令y=0,则x2+2x-3=0，即（x+3）（x-1）=0,x=-3或x=1，,函数图像与x轴交点坐标为：（-3,0），（1,0）.（3）解：设函数图像向右平移m（m0）个单位，则函数解析式为：y=-（x-m+1）2+4，如图，平移之后的图像经过原点，-（-m+1）2+4=0，m=3或-1，m0，m=3，A（2,4），B（5，-5），SO AB= （2+5）（4+5）- 24- 55，= -4- ，=15. 【解析】【分析】（1）根据顶点坐标可用顶点式来表示函数解析式，再将点B坐标代入即可得出答案.（2）根据函数解析式，令x=0,则得出函数图像与y轴交点坐标；令y=0,则得出函数图像与x轴交点坐标.（3）设函数图像向右平移m（m0）个单位，则函数解析式为：y=-（x-m+1）2+4，再将原点代入即可得m值，根据平移的性质可得A、B点的坐标，如图利用分割法可求得三角形面积.24.【答案】（1）解：把A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx+6得，解得 y=-2x2-4x+6,令x=0，则y=6,C(0，6)（2）解： =-2（x+1）2+8,抛物线的对称轴为直线x=-1.设H为线段AC的中点，故H（ ，3）.设直线AC的解析式为：y=kx+m，则有，解得， ，y=2x+6设过H点与AC垂直的直线解析式为： ， b= 当x=-1时，y= M（-1， ）（3）解：过点A作 交y轴于点F，交CB的延长线于点DACO+CAO=90,DAO+CAO=90 DAO=ACOACO=ACOAOFCOA OA=3,OC=6 直线AF的解析式为： 直线BC的解析式为： ，解得 tanACB= 4tanABE=11tanACBtanABE=2过点A作 轴，连接BM交抛物线于点EAB=4，tanABE=2AM=8M（-3，8）直线BM的解析式为： ，解得 y=6E（-2，6）当点E在x轴下方时，过点E作 ，连接BE，设点E tanABE= 2m=-4或m=1（舍去）可得E（-4，-10）综上所述E1（-2，6），E2（-4，-10） 【解析】【分析】（1）将A,B两点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+6中，得出关于aa,b的二元一次方程组，求解得出a,b的值，从而得出抛物线的解析式；再根据抛物线与y轴交点的坐标特点得出C点的坐标；（2）首先将抛物线配成顶点式，得出抛物线的对称轴为直线，设H为线段AC的中点，根据中点坐标公式得出H点的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，根据互相垂直的直线解析式的系数特点，设过H点与AC垂直的直线解析式为： y = x + b，将H点的坐标代入求出b的值，从而得出过H点与AC垂直的直线解析式，根据题意，M点一定在抛物线的对称轴上，故将x=-1代入过H点与AC垂直的直线解析式，得出对应的函数值，进而得出M点的坐标；（3）过点A作 D A A C 交y轴于点F，交CB的延长线于点D，根据同角的余角相等得出DAO=ACO从而判断出AOFCOA，根据相似三角形的对应边成比例得出AOOF=COAO,从而得出OF的长，得出F点的坐标；用待定系数法得出直线AF的解析式，直线BC的解析式，解联立两直线解析式所得的方程组，求出D点的坐标；从而得出AD,AC的长，根据正切函数的定义，求出tanACB=，又4tanABE=11tanACB，故tanABE=2，过点A作 A M x 轴，连接BM交抛物线于点E，根据AB=4，tanABE=2及AM=8得出M点的坐标，用待定系数法求出直线BM的解析式，解联立直线BM的解析式与抛物线的解析式得出E点的坐标；当点E在x轴下方时，过点E作 E G A B ，连接BE，设点E ( m , 2 m 2 4 m + 6 )，根据tanABE的值及正切函数的定义列出关于m的方程，求解得出m的值，从而得出E点的坐标，综上所述，得出答案。25.【答案】（1）解：抛物线的对称轴是：x= ，解得：a= （2）解：由题意得二次函数解析式为：y=15x2-5 x+c，二次函数与x轴有两个交点，0，=b2-4ac=(5 )2-415c，c （3）解：BOD=90，DBO=60，tan60= ，OB= ，B（ ，0），把B（ ，0）代入y=ax2-5 x+c中得： ，c0，ac=12，c= ，把c= 代入y=ax2-5 x+c中得： AB= - = ，AE= ，F的纵坐标为 ，过点A作AGDB于G，BG= AB=AE= ，AG= ，DG=DB-BG= - = ，ADB=AFE，AGD=FEA=90，ADGAFE， ， 【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴直线公式即可求出a的值；（2）由题意得二次函数解析式，再根据二次函数与x轴有两个交点，得出其根的判别式大于0，从而得出不等式，求解即可得出uc的取值范围；（3）根据正切函数的定义，由tan60=ODOB,即可表示出OB的长，从而得出B点的坐标；把B点的坐标代入抛物线即可用含a的式子，表示c，再将c的值代入抛物线即可用含a的式子表示A,B,D三点的坐标，进而表示出AB,AE的长，从而表示出F点的坐标，过点A作AGDB于G，然后表示出BG,AG,DG,的长，再判定出ADGAFE，根据相似三角形对应边成比例即可得出AEAGEFDG，从而得出a,c的值，求出抛物线的解析式。21