浙江省绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册 期末复习二 一元二次方程试题 （新版）浙教版

期末复习二 一元二次方程复习目标要求知识与方法了解一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式一元二次方程根与系数的关系理解辨别一元二次方程的二次项、一次项的系数和常数项会选合适的方法解一元二次方程一元二次方程的根的判别式运用用一元二次方程解决实际问题配方法求最值必备知识与防范点一、必备知识：1 一元二次方程的一般形式： ，其中a 02解一元二次方程的常见方法： 、 、 、 等3 当 0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式是 .4 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式，b2-4ac0 ；b2-4ac 0方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的实数根；b2-4ac 0方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根.5 一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根，那么x1+x2= ，x1x2= 6 关于x的一元二次方程（m4）x2+x+m216=0有一根为0，则m .7 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程 已知ax2+bx+c=0（a0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A a=c B a=b C b=c D a=b=c8 某校去年投资2万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为8万元，若该校这两年购买器材的投资的年平均增长率为x，则可列方程 .9 某超市销售一种商品，每件商品的成本是20元 当这种商品的单价定为40元时，每天售出200件 在此基础上，假设这种商品的单价每降低2元，每天就会多售出15件（1）设商品的单价为x元时销售该商品的利润为4500元，可列方程： ；（2）设商品降价2y元时销售该商品的利润为4500元，可列方程： .二、防范点：1 一元二次方程二次项系数不为0；2 运用韦达定理时注意0，a0；3 求二次三项式最值可运用配方法，也可用.例题精析考点一 一元二次方程的解例1 （1）（雅安中考）已知关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（ ）A 4，-2 B -4，-2 C 4，2 D -4，2（2）设a是关于x的方程：x2-9x+10的一个实数根，求a2-7a+的值；（3）已知关于x的一元二次方程x2mx+20与x22x+m0有一个公共根，求这个公共根及m的值.反思：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解. 遇到方程的解，一般先代入方程，再进行适当的变形.考点二 求一元二次方程的解例2 （1）一元二次方程x2-2x=-3通过配方可化为（ ）A. （x-2）2=9 B. （x-）2=9C. （x-2）2=0 D. （x-）2=0（2）给出下列方程：x2+6x-2=0；3x2-4=0；2y2-3y-1=0你认为选用哪种方法解方程较简便（填序号）？开平方法： ，配方法： ，公式法： .例3 用适当的方法解下列方程（1）（2x-1）2-9=0；（2）x2-2x=1；（3）x（x-6）=-2（x-6）；（4）（2y-1）2+2（2y-1）-3=0.反思：解一元二次方程的方法比较多，碰到方程先要选择一种较简便的方法求解 一般情况下一次项系数为0时，可选择直接开平方法；二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可选择配方法；能因式分解的用因式分解法，其他往往用公式法解题过程中还要注意运用整体思想考点三 一元二次方程判别式例4 （1）如果关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 .（2）已知关于x的方程（m-2）x2+2mx+m+3=0有实根，则m的取值范围是（ ）A m2B m6且m2 C m6 D m6（3）如果x2-2（m+1）x+16是一个完全平方式，则m= .（4）求代数式2x2-3x+4的最小值.反思：第（1）小题须满足3个条件：k0，0，2k+10；第（2）小题注意是方程，可允许m-2=0；第（3）小题二次三项式是完全平方式，则0；第（4）小题可用配方法，也可用法：设2x2-3x+4y，移项得2x2-3x+4y0，将y看做常数，方程必有实根，98（4y）0，解得y，即2x2-3x+4的最小值为.考点四 一元二次方程的应用（增长率，市场经济，直角勾股等）例5 （1）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商品的售价为128元，则a的值是（ ）A 0.64 B 0.8 C 8 D 6.4（2）（沈阳中考）某商场购进一批单价为20元的日用商品. 如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是 元时，才能在半月内获得最大利润.例6 如图1，有一块塑料长方形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由；（2）如图2，再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由反思：利用一元二次方程解决实际问题，往往要找到题意中的相等关系，当遇到直角三角形时常想到勾股定理，方程应用中的存在问题可用b2-4ac来解决.考点五 可化为一元二次方程的解法探究例7 请阅读下列解方程x4-2x2-3=0的过程.解：设x2=y，则原方程可变形为y2-2y-3=0由（y-1）2=4，得y1=3，y2=-1.当y=3，x2=3，x1=，x2=-，当y=-1，x2=-1，无解.所以，原方程的解为x1=，x2=-.这种解方程的方法叫做换元法.用上述方法解下面两个方程：（1）x4-x2-6=0；（2）（x2+2x）2-2（x2+2x）-3=0.反思：换元法可将高次方程化为一元二次方程. 换元后得新方程的解时，不能半途而废，须求出原方程的解.校内练习1 关于x的方程（m+1）x2+2mx-3=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）A. 任意实数 B. m-1 C. m1 D. m02 把一块长与宽之比为21的铁皮的四角各剪去一个边长为10cm的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖盒子，如果这个盒子的容积为1500cm3，那么铁皮的长和宽各是多少？若设铁皮的宽为xcm，则正确的方程是（ ）A. （2x-20）（x-20）=1500B. （2x-10）（x-20）=1500C. 10（2x-20）（x-20）=1500D. 10（x-10）（x-20）=15003 如果m，n是菱形的对角线，且是方程x2-2013x+2014=0的两个根，则菱形的面积为 .4 （南充中考）已知关于x的一元二次方程x2-（m-3）x-m=0.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，求m的值5 （遂宁中考）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题计算：（1-）（+）-（1-）（+）.令+t，则原式（1-t）（t+）-（1-t-）t=t+-t2-t-t+t2=（1）计算：（1-）（+）（1-）（+）；（2）解方程（x25x1）（x25x7）76. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润.（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？参考答案期末复习二 一元二次方程【必备知识与防范点】1. ax2+bx+c=0 2. 因式分解法 直接开平方法 配方法 公式法3. b2-4ac x=4. b2-4ac 方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等的实数根 = 5. - 6. -47. A 8. 2（1+x）+2（1+x）2=89. （1）（x-20）（200+15）4500 （2）（202y）（200+15y）=4500【例题精析】例1 （1）D（2）a是关于x的方程：x2-9x+10的一个实数根，a2-9a+10，a29a1，a2+19a，a+=9，原式（9a1）-7a+2a12（a+）117.（3）设公共根为a，有a2ma+20，a22a+m0，由得：（m-2）a+2-m=0，即（m-2）（a-1）=0，当m=2时，两方程相同，且方程无解，不符要求，a=1，代入得：m=-3. 公共根为1，m的值为3.例2 （1）D （2） 例3 （1）x1=2，x2=-1；（2）x1=+2，x2=-2；（3）x1=-2，x2=6；（4）y1=1，y2=-1.例4 （1）k且k0；（2）D；（3）3或5；（4）最小值.例5 （1）C （2）35例6 （1）能；设APx，据BP2+PC2=BC2有16x2+（10-x）2+16=100，解得：x1=2，x2=8，当AP2cm或8cm时，三角板两直角边分别通过点B与点C.（2）能；设APx，据BP2+PE2=BE2有16x2+（8-x）2+16=64，解得：x1=x2=4，当AP4cm时，CE=2cm.例7 （1）x=；（2）x1=-3，x2=1，x3=x4=-1.【校内练习】12. BC3. 10074. （1）证明：x2-（m-3）x-m=0，=-（m-3）2-41（-m）=m2-2m+9=（m-1）2+80，方程有两个不相等的实数根；（2）x2-（m-3）x-m=0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，（x1+x2）2-3x1x2=7，（m-3）2-3（-m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或25. （1）设+t，则原式（1-t）（t+）-（1-t-）t=t+-t2-t+t2+（2）设x25x1t，原方程可化为：t（t6）7，t26t70，（t7）（t1）0，得t17，t21，当t7时，x25x1-7，方程无解；当t1时，x25x11，解得x10，x25 所以原方程的解为：x10，x256. （1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500-（55-50）10=450（千克），所以月销售利润为：（55-40）450=6750元；（2）由于水产品不超过1000040=250kg，定价为x元，则（x-40）500-10（x-50）=8000，解得：x1=80，x2=60. 当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg250kg，符合题意，当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg250kg，舍去. 答：商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为80元.8