浙江省绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册 专题提升三 以特殊平行四边形为背景的计算与证明试题 （新版）浙教版

专题提升三 以特殊平行四边形为背景的计算与证明类型一 特殊平行四边形的阅读理解问题1. 阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如正方形就是和谐四边形.结合阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形（ ）A 平行四边形 B 矩形C 菱形 D 以上答案都不对（2）如图，等腰RtABD中，BAD=90. 若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，请直接写出ABC的度数.2 一张长方形纸片，剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形 如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由；（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值 3. 如图，ABC中，已知BAC45，ADBC于D，BD2，DC3，求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出x的值.类型二 特殊平行四边形的探究性问题4. 如图，ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的外角平分线CF于点F，交ACB内角平分线CE于点E（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想ABC的形状并证明你的结论.5. 翻阅第四章同步，我们曾做过以下题目：在此基础上，思考并解答以下新问题：（1）当BAC60时，四边形ADEF是平行四边形吗？请说明理由；（2）当ABC满足什么条件，四边形ADEF是菱形？请说明理由；（3）当ABC满足什么条件，四边形ADEF是矩形？请说明理由；（4）当ABC满足什么条件，四边形ADEF是正方形？请说明理由.6. 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE，DG，观察猜想BE与DG之间的大小关系与位置关系，并证明你的猜想.7 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AFBE（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MPNQMP与NQ是否相等？并说明理由8. 如图，ABCD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，AEF、CFE的平分线交于点G，BEF、DFE的平分线交于点H.（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MNEF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQEF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路.由ABCD，MNEF，PQEF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证?荀MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件 ，MNEF，故只要证GM=FQ，即证MGEQFH，易证 、 . 故只要证MGE=QFH，易证MGE=GEF，QFH=EFH， ，即可得证.参考答案专题提升三 以特殊平行四边形为背景的计算与证明1. （1）C （2）等腰RtABD中，BAD=90，AB=AD. AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，分三种情况讨论：若AD=CD，如图1，则凸四边形ABCD是正方形，ABC=90；若AD=AC，如图2，则AB=AC=BC，ABC是等边三角形，ABC=60；若AC=DC，如图3，则可求得ABC=150.2. （1）矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：（2）裁剪线的示意图如下：3. （1）证明：由题意可得：ABDABE，ACDACF DAB=EAB，DAC=FAC，又BAC=45，EAF=90 又ADBC，E=ADB=90，F=ADC=90 四边形AEGF是矩形，又AE=AD，AF=AD，AE=AF 矩形AEGF是正方形（2）设AD=x，则AE=EG=GF=x BD=2，DC=3，BE=2，CF=3，BG=x-2，CG=x-3，在RtBGC中，BG2+CG2=BC2，（x-2）2+（x-3）2=52 化简得，x2-5x-6=0，解得x1=6，x2=-1（舍去），所以AD=x=64. （1）CE平分ACB，ACE=BCE，MNBC，OEC=ECB，OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF；（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形 如图AO=CO，EO=FO，四边形AECF为平行四边形，设ABC的外角为ACG，CE平分ACB，ACE=ACB，同理，ACF=ACG，ECF=ACE+ACF=（ACB+ACG）=180=90，四边形AECF是矩形；（3）ABC是直角三角形，四边形AECF是正方形，ACEN，故AOM=90，MNBC，BCA=AOM，BCA=90，ABC是直角三角形5. （1）不是，此时FAD180，四边形ADEF将变成一线段；（2）当ABC满足ABAC且BAC60时，四边形ADEF是菱形，理由略；（3）当ABC满足BAC150时，四边形ADEF是矩形，理由略；（4）当ABC满足ABAC且BAC150时，四边形ADEF是正方形，理由略.6. BE=GD，BEDG，延长GD交BE于点H，先证BCEDCG，得BE=DG，CDG=EBC. CDG+CGD=90，CGD+EBC=90，GHB=90，BEGD.7. （1）在正方形ABCD中，AB=AD，BAE=D=90，DAF+BAF=90，AFBE，ABE+BAF=90，ABE=DAF，在ABE和DAF中，ABEDAF，ABAD，BAED，ABEDAF（ASA），AF=BE；（2）MP与NQ相等理由如下：如图，过点A作AFMP交CD于F，过点B作BENQ交AD于E，ABCD，ADBC，四边形AMPF与四边形BNQE是平行四边形，AF=PM，BE=NQ，在正方形ABCD中，AB=AD，BAE=D=90，DAF+BAF=90，AFBE，ABE+BAF=90，ABE=DAF，在ABE和DAF中，ABEDAF，ABAD，BAED，ABEDAF（ASA），AF=BE，MP=NQ8. （1）证明：EH平分BEF，FEH=BEF，FH平分DFE，EFH=DFE，ABCD，BEF+DFE=180，FEH+EFH=（BEF+DFE）=180=90，FEH+EFH+EHF=180，EHF=180-（FEH+EFH）=180-90=90，同理可得：EGF=90，EG平分AEF，GEF=AEF，EH平分BEF，FEH=BEF，点A、E、B在同一条直线上，AEB=180，FEG+FEH=（AEF+BEF）=180=90，即GEH=90，四边形EGFH是矩形；（2）答案不唯一：由ABCD，MNEF，PQEF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件FG平分CFE，MNEF，故只要证GM=FQ，即证MGEQFH，易证GE=FH，GME=FQH，故只要证MGE=QFH，易证MGE=GEF，QFH=EFH，GEF=EFH，即可得证.7