浙江省绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册 期末复习五 特殊平行四边形试题 （新版）浙教版

期末复习五 特殊平行四边形复习目标要求知识与方法了解矩形、菱形、正方形的概念理解矩形、菱形、正方形的判定与性质运用用矩形、菱形、正方形的判定与性质解决有关图形的论证和计算等问题必备知识与防范点一、必备知识：1 矩形的性质及判定：（1）矩形的 个角都是直角；矩形的对角线 ；矩形既是 对称图形，又是 对称图形，它至少有 条对称轴（2）有一个角是 的 是矩形；有 个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的 是矩形2 菱形的性质及判定：（1）菱形的 条边都相等；菱形的对角线 ，并且每条对角线平分 （2）一组 相等的 是菱形；四条边相等的四边形是 ；对角线 的平行四边形是菱形3 正方形的性质及判定：（1）正方形的 个角都是直角，四条边都 ；正方形的对角线 ，并且 ，每条对角线平分一组 （2）有一组 相等，并且有一个角是 的平行四边形是正方形；有一组邻边相等的 是正方形；有一个角是直角的 是正方形二、防范点：1 矩形、菱形、正方形的判定书写要规范；2 矩形、菱形、正方形的性质可从边、角、对角线、整体四个角度去考虑.例题精析考点一 矩形、菱形的性质例1 （1）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连结BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连结AM，AH，则以下四个结论：BDFDCE；BMD=120；AMH是等边三角形；S四边形ABMD=AM2 其中正确结论的个数是（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个（2）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B处，若AE2，DE6，EFB60，则矩形ABCD的面积是 .反思：（1）由已知BMDH联想BMADHA，而全等的关键是证ABMADHBED.（2）根据ADBC得出DEF=EFB=60，故EFB是等边三角形，由此得出ABE=30，再由直角三角形的性质得出AB=AB=2，即可得解.考点二 矩形、菱形的判定例2 已知：线段AB，BC，ABC=90 求作：矩形ABCD以下是甲、乙两同学的作业：甲：以点C为圆心，AB长为半径画弧；以点A为圆心，BC长为半径画弧；两弧在BC上方交于点D，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图1）乙：连结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；连结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）A 甲正确，乙错误 B 乙正确，甲错误 C 甲、乙均正确 D 甲、乙均错误例3 已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）：（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求折痕EF的长.反思：熟练掌握矩形、菱形的性质及判定，能够利用矩形、菱形的性质求解一些简单的计算问题.考点三 矩形、菱形、正方形综合例4 如图，在矩形ABCD中，AD6，DC10，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH2，连结CF，BF.（1）若DG2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AEx，求EBF的面积S关于x的函数表达式，并判断是否存在x，使EBF的面积是CGF面积的2倍. 若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）求GCF面积的最小值.反思：（1）证第（1）小题图形不准，要抓住GDHHAE（HL），证明GHE90；（2）解第（2）小题的关键是构造FNGHAE，FEMHGD；（3）求GCF面积的最小值要抓住GC边上的高不变，GC最小只要DG最大，DH4，GHHE最大，点E与点B重合时，GCF的面积取最小.考点四 特殊平行四边形拓展探究例5 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分DAM.【探究展示】（1）证明：AMADMC；（2）AMDEBM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.反思：（1）常规辅助线：“中点平行”构造全等，角平分线构造全等；（2）证“一条线段两线段和”类型常用截长补短法；（3）第（1）小题也可过E作EHAM于H，再证HMCM得证.校内练习1如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC的中点，EPCD于点P，设Ax，则FPC的度数为（ ）A B C D2如图所示，点B，C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为 .3（南充中考）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：BE=DG；BEDG；DE2+BG2=2a2+b2，其中正确结论是 .（填序号）4 已知：如图，ABC中，ABAC，ADBC，且ADBC4，若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有不同形状的四边形吗？写出所拼四边形对角线的长（不要求写计算过程，只需写出结果）5 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB（1）求证：BCPDCP；（2）求证：DPE=ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图2），若ABC=58，则DPE= 度6 如图，在正方形ABCD中，DE与HG相交于点O.（1）如图1所示，若GOD90，求证：DEGH；连结EH，求证：GDEHDE；（2）如图2所示，若GOD45，AB4，HG2，求DE的长.参考答案期末复习五 特殊平行四边形【必备知识与防范点】1. （1）四 相等 中心 轴 两 （2）直角 平行四边形 三 平行四边形2. （1）四 互相垂直平分 一组对角 （2）邻边 平行四边形 菱形 互相垂直3. （1）四 相等 相等 互相垂直平分 对角 （2）邻边 直角 矩形 菱形【例题精析】例1 （1）在菱形ABCD中，AB=BD，AB=BD=AD，ABD是等边三角形，根据菱形的性质可得BDF=C=60，BE=CF，BC-BE=CD-CF，即CE=DF，在BDF和DCE中，DF=CE，BDF=C=60，BD=CD，BDFDCE（SAS），故小题正确；DBF=EDC，DMF=DBF+BDE=EDC+BDE=BDC=60，BMD=180-DMF=180-60=120，故小题正确；DEB=EDC+C=EDC+60，ABM=ABD+DBF=DBF+60，DEB=ABM，又ADBC，ADH=DEB，ADH=ABM，在ABM和ADH中，AB=AD，ABM=ADH，BM=DH，ABMADH（SAS），AH=AM，BAM=DAH，MAH=MAD+DAH=MAD+BAM=BAD=60，AMH是等边三角形，故小题正确；ABMADH，AMH的面积等于四边形ABMD的面积，又AMH的面积=AMAM=AM2，S四边形ABMD=AM2，故小题正确，综上所述，正确的是共4个. 故选D. （2）16例2 C例3 （1）四边形ABCD为矩形，ABCD，AFE=CEF. 矩形ABCD沿EF折叠，点A和C重合，CEF=AEF，AE=CE，AFE=AEF，AE=AF. AF=CE，又AFCE，四边形AECF为平行四边形，AE=EC，即四边形AECF的四边相等. 四边形AECF为菱形. （2）AB=9cm，BC=3cm，AC=3cm，AF=CF，在RtBCF中，设BF=xcm，则CF=（9-x）cm，由勾股定理可得（9-x）2=x2+32，即18x=72，解得x=4，则CF=5，BF=4，由面积可得：ACEF=AFBC，即3EF=53，EF=cm.例4 （1）在HDG和AEH中，四边形ABCD是矩形，D=A=90，四边形EFGH是菱形，HG=HE，在RtHDG和RtEAH中，HG=HE，DG=AH，RtHDGRtEAH，DHG=AEH，DHG+AHE=90，GHE=90，菱形EFGH为正方形； （2）过F作FMAB，垂足为M，交DC延长线于点N，连结GE，FNCD，CDAB，DGE=MEG，GHEF，HGE=FEG，DGH=MEF，在RtHDG和RtFME中，D=M=90，DGH=FEM，HG=FE，RtHDGRtFME，DH=MF，AH=2，DH=MF=4，AE=x，BE=10-x. SEBF=BEFM=2（10-x）=20-2x.同理可证RtAHERtNFG，FN=AH=2，AH=2，AE=x，HE=HG=，DG=，CG=10-，SGCF=CGFN=10-，若EBF的面积是CGF面积的2倍，则20-2x=2（10-），整理得：x2=x2-12，此方程无解，所以不存在x，使EBF的面积是CGF面积的2倍. （3）当点E与点B重合时，GCF的面积取最小，最小值为10-2.例5（1）证明：延长AE、BC交于点N，如图1所示，四边形ABCD是正方形，ADBC. DAE=ENC. AE平分DAM，DAE=MAE. ENC=MAE. MA=MN. 在ADE和NCE中，DAE=CNE，AED=NEC，DE=CE，ADENCE（AAS）. AD=NC. MA=MN=NC+MC=AD+MC. （2）AM=DE+BM成立.证明：过点A作AFAE，交CB的延长线于点F，如图2所示. 四边形ABCD是正方形，BAD=D=ABC=90，AB=AD，ABDC. AFAE，FAE=90. FAB=90-BAE=DAE. 在ABF和ADE中，FAB=EAD，AB=AD，ABF=D，ABFADE（ASA）. BF=DE，F=AED. ABDC，AED=BAE. FAB=EAD=EAM，AED=BAE=BAM+EAM=BAM+FAB=FAM. F=FAM. AM=FM. AM=FB+BM=DE+BM. （3）探究展示（1）AMADMC仍成立；（2）AMDEBM不成立.【校内练习】1. D2. 3. 4. 图1是矩形，两条对角线长相等，均为2；图2是平行四边形，两条对角线长为4和4；图3是平行四边形，两条对角线长为2和2；图4是一般的四边形，两条对角线长为2和.5. （1）在正方形ABCD中，BC=DC，BCP=DCP=45，在BCP和DCP中，BC=DC，BCP=DCP，PC=PC，BCPDCP（SAS）； （2）证明：由（1）知，BCPDCP，CBP=CDP，PE=PB，CBP=E，1=2（对顶角相等），180-1-CDP=180-2-E，即DPE=DCE，ABCD，DCE=ABC，DPE=ABC； （3）与（2）同理可得：DPE=ABC，ABC=58，DPE=586. （1）作平行四边形DGHM，则GH=DM，GD=MH，GHDM，GOD=MDE=90，MDC+EDC=90，ADE+EDC=90，MDC=ADE，在ADE和CDM中，ADE=MDC，A=DCM=90，AD=DC，ADECDM，DE=DM，DE=GH； DM=DE，EDM=90，EDM是等腰直角三角形，EM=DM=DE，MH+EHEM，GD=MH，EH+GDEM，GD+EHDE；（2）过点D作DNGH交BC于点N，则四边形GHND是平行四边形，DN=HG，GD=HN，C=90，CD=AB=4，HG=DN=2，CN=2，BN=BC-CN=4-2=2，作ADM=CDN，DM交BA延长线于M，在ADM和CDN中，ADM=CDN，AD=DC，MAD=C=90，ADMCDN（ASA），AM=NC，DM=DN，GOD=45，EDN=45，ADE+CDN=45，ADE+ADM=45=MDE，在MDE和NDE中，MD=ND，MDE=NDE，DE=DE，MDENDE（SAS），EM=EN，即AE+CN=EN，设AE=x，则BE=4-x，在RtBEN中，22+（4-x）2=（x+2）2，解得x=，DE=.10