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第14课时二次函数的应用基础过关1. （2018原创）如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE=DF.四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为（ ）A. y=5-x B. y=5-x2C. y=25-x D. y=25-x2第1题图2. （2017泸州）已知抛物线y= x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等.如图，点M的坐标为(3，3)，P是抛物线y= x2+1上一个动点，则PMF周长的最小值是( )第2题图A. 3 B. 4 C. 5 D. 63. （2017淮安盱眙月考）从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h(米)与小球运动时间t(秒)之间的函数关系是h=12t-6t2，则小球运动能达到的最大高度为米.4. （2017常德）如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上.若设AE=x，正方形EFGH的面积为y,则y与x的函数关系为 .第4题图5. （2018原创）某商店销售一种进价为50元/件的商品，当售价为60元/件时，一天可卖出200件；经调查发现，如果商品的单价每上涨1元，一天就会少卖出10件.设商品的售价上涨了x元/件（x是正整数），销售该商品一天的利润为y元，那么y与x的函数关系的表达式为 .（不写出x的取值范围）6. (2018原创)有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图，则抛物线的解析式是 .第6题图7. （2017沈阳）某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.当销售单价是元时，才能在半月内获得最大利润.8. （2017潍坊）工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线、虚线表示折痕，并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形边长多大？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元.裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？第8题图9. (2017成都)随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫出站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家.设他出地铁的站点与文化宫的距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：地铁站ABCDEx(千米)891011.513y1(分钟)1820222528(1)求y1关于x的函数表达式；(2)李华骑单车的时间y2(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用y2=x2-11x+78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需要的时间最短？并求出最短时间.10. （2017德州）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米.(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；（2）求出水柱的最大高度是多少？第10题图11. （2017盐城盐都区实验学校模拟）某公司销售一种服装，进价120元/件，售价200元/件，公司对大量购买有优惠政策，凡是一次性购买20件以上的，每多买一件，售价就降低1元设顾客购买x（件）时公司的利润为y（元）（1）当一次性购买x件(x20)时，售价为元/件；求y（元）与x（件）之间的函数表达式；在此优惠政策下，顾客购买多少件时公司能够获得最大利润？（2） 设售价为a元/件，求a在什么范围内才能保证公司每次卖的越多，利润也越多12. （2017武汉）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件，已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价(万元)每件成本(万元)每年其他费用(万元)每年最大产销量(件)甲6a20200乙201040+0.05x280其中a为常数，且3a5.(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1，y2与x的函数关系式；(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由.13. （2017淮安模拟）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足SPAB=8，并求出此时P点的坐标第13题图14. （2017温州）如图，过抛物线y=x2-2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为-2.(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(2)在AB上任取一点P，连接OP，作点C关于直线OP的对称点D，连接BD，求BD的最小值；当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式.第14题图15. （2017盐城大丰二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2a,2b，点A、D、G在y轴上，坐标原点0为AD的中点，抛物线y=mx2过C、F两点，连接FD并延长交抛物线于点M.(1)若a=1，求m和b的值；(2)求ba的值；(3)判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系，并说明理由.第15题图满分冲关1. （2017宿迁沭阳模拟）某公司购进某种水果的成本为20元/千克,经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p=，且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表:时间t(天)136102040日销售量y(千克)1181141081008040（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐赠n元利润（n9）给“精准扶贫”对象.现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围.2. (2017常德)如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1，）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PAx轴于A,PCy轴于C，延长PC交抛物线于E,设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点.（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；（3）求证：DPEPAM,并求出当它们的相似比为3时的点P的坐标.第2题图3. （2017眉山）如图，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A(3,0),且M(1，-)是抛物线上另一点.(1)求a、b的值；(2)连接AC,设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；(3)若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点(不与O、A重合)，过点N作NHAC交抛物线的对称轴于H点，设ON=t，ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式.第3题图4. （2017宿迁模拟）如图，抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A（x1,0）、B（x2,0）两点，与y轴交于点C.（1）则点C坐标为；x1x2= ；（2）已知A（-1，0），连接AC并延长到点D，使得DB=AB,求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得BPC=BAC?若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.第4题图5. （2017苏州模拟）如图，抛物线y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0）、B（1,0）两点，与y轴交于点C，连接AC.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）动点M从点A出发，沿AC方向以5个单位/秒的速度向终点C匀速运动，动点N从点O出发，沿着OA方向以个单位/秒的速度向终点A匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t(0t2).连接MN、NC，当t为何值时，CMN为直角三角形；在两个动点运动的过程中，该抛物线上是否存在点P，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.第5题图答案基础过关1. D【解析】设BE的长度为x(0x5)，则AE5x，AF5x, yAEAF(5x)(5x)25x2.2. C【解析】如解图，作PAx轴于点A，则PAPF.作FNMA于点N，由两点之间线段最短知，当点M、P、A共线时PMPAMA最小，即PFPM最小，此时PMF周长最小在RtMFN中，MF2，又MAPMPA3，PMF周长最小值是PMPFMFMAMF5.第2题解图3. 6【解析】h12t6t26(t22t)6(t1)26.则小球运动能达到的最大高度为6 m.4. y2x24x4【解析】四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形，可证AEHDHG，HDAEx，则AH2x，A90，yEH2AE2AH2x2(2x)22x24x4. 5. y10x2100x2000【解析】设每件商品的售价上涨x元(x为正整数), 则每件商品的利润为(6050x)元， 总销量为(20010x)件， 商品利润y(10x)(20010x)10x2100x2000.6. y0.04x21.6x【解析】设解析式是ya(x20)216, 根据题意得：400a160, 解得a0.04，函数关系式y0.04(x20)2160.04x21.6x.7. 35【解析】设销售单价为x元，销售利润为y元. 根据题意，得 y(x20)40020(x30) (x20)(100020x) 20x21400x2000020(x35)24500, 200, x35时，y有最大值8. 解：(1)裁剪示意图(矩形内实线为裁剪线，虚线为折痕)：第8题解图设裁掉的正方形的边长为x dm，根据题意可得：(102x)(62x)12，解方程得：x12，x26(不合题意，舍去)综上所述，裁掉的正方形的边长为2 dm；(2)由题意可得：102x5(62x)，解得：x2.5，设总费用为y元，根据题意可得：y2x(102x)x(62x)0.52(102x)(62x)4x248x1204(x6)224，当x2.5时，y随x的增大而减小，所以当x2.5时，y有最小值为25元答：当正方形的边长为2.5 dm时，总费用最低为25元9. 解：(1)设一次函数为y1kxb(k0)，把x8，y18和x9，y20代入得，解得，y1关于x的函数关系式为y12x2；(2)设李华从文化宫乘地铁和骑单车回家共需y分钟y2x211x78，yy1y2x29x80(x9)2，0，当x9时，y最小(分钟)答：李华应该选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为分钟10. 解：(1)如解图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系由题意可设抛物线的函数解析式为ya(x1)2h(0x3)抛物线过点(0，2)和(3，0)，代入解析式可得 解得抛物线解析式为y(x1)2(0x3)，化为一般式为yx2x2(0x3)；(2)由(1)抛物线解析式为y(x1)2(0x3)，当x1时，y，所以抛物线水柱的最大高度为米第10题解图11. 解：(1)220x；【解法提示】根据题意得：售价为200(x20)(220x)元/件；根据题意得y(220x120)x(100x)xx2100x，函数表达式为yx2100x；由得yx2100x(x50)22500，a10，抛物线的图象开口向下，y有最大值，当x50时，y最大值2500，在此优惠政策下，顾客购买50件时公司能够获得最大利润；(2)yx2100x(x50)22500，抛物线的图象开口向下，x50时，y有最大值，在对称轴x50的左侧，y随x的增大而增大，200(5020)170，170a200时，每次卖的越多，利润也越多12. 解：(1)y1(6a)x20(0x200)，y20.05x210x40(00，y1随x的增大而增大，当x200时，y1有最大值为：y1(6a)200201180200a(万元)；y20.05x210x40，对称轴x100，a0.050，0x80，y2随x的增大而增大，当x80时，y2有最大值，最大值为y20.05802108040440(万元)；(3)设产销甲产品比产销乙产品利润多w元，则w1180200a440200a740.2000，w随a的增大而减小，由200a7400，解得a3.7，3a5，当3a3.7时，选择产销甲种产品；当3.7a5时，选择产销乙种产品；当a3.7时，选择产销甲种或乙种产品均可13. 解：(1)抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，方程x2bxc0的两根为x1和x3，13b，13c，b2，c3，抛物线解析式是yx22x3；(2)yx22x3(x1)24，抛物线的对称轴为直线x1，顶点坐标为(1，4)；(3)设P的纵坐标为|yP|，SPAB8，AB|yP|8，AB314，|yP|4，yP4，把yP4代入解析式得，4x22x3，解得，x12，把yP4代入解析式得，4x22x3，解得，x1，点P在该抛物线上滑动到(12，4)或(12，4)或(1，4)时，满足SPAB8.14. 解：(1)由抛物线yx22x得y(x4)24，抛物线的对称轴为x4，点A在抛物线上且横坐标为2，点A的纵坐标为y(2)22(2)5，即点A的坐标为(2，5)，ABx轴，点B与点A关于抛物线对称轴x4对称，点B坐标为(10，5)；(2)如解图，点C是AB与y轴的交点，点C的坐标为(0，5)，点C与点D关于OP对称，ODOC5，连接BO，当点D不在OB上时，根据三角形三边关系可知BDOBOD，当点D落在OB上时，BDOBOD，此时BD最小，BO5，ODOC5，BD的最小值为55；【一题多解】点C是AB与y轴的交点，点C的坐标为(0，5)，点C与点D关于OP对称，ODOC5，点D在以O为圆心OD5为半径的圆上，当点D在OB上 时，BD取最小值，最小值为BOOD555.如解图，设对称轴与AB交于点M，与x轴交于点N，当点P在对称轴左侧时，连接OD，在RtODN中，ON4，OD5，由勾股定理得DN3，点D的坐标为(4，3)，DM2.设CPx，在RtPMD中，由勾股定理得PM2MD2PD2，由点C与点D关于OP对称得PCPD，即(4x)222x2，解得x，点P的坐标为(，5)，设直线PD的解析式为ymxn，将点P，D的坐标代入得，解得，PD的解析式为yx.当点P在对称轴左侧时，点P落在x轴上方，符合题意；当点P在对称轴的右侧时，点D落在x轴的下方，不符合题意图 图第14题解图15. 解：(1)a1，正方形ABCD的边长为2，坐标原点O为AD的中点，C(2，1)抛物线ymx2过C点，14m，解得m，抛物线解析式为yx2，正方形DEFG的边长为2b，DEEF2b，F(2b，2b1)，将F(2b，2b1)代入yx2，得2b1(2b)2，b1(负值舍去)故m，b1；(2)正方形ABCD的边长为2a，坐标原点O为AD的中点，C(2a，a)抛物线ymx2过C点，am4a2，解得m，抛物线解析式为yx2，由(1)知F(2b，2ba)，将F(2b，2ba)代入yx2，得2ba(2b)2，整理得b22aba20，解得b(1)a(负值舍去)，1；(3)以FM为直径的圆与AB所在直线相切理由如下：D(0，a)，可设直线FD的解析式为ykxa，F(2b，2ba)，2bak2ba，解得k1，直线FD的解析式为yxa，将yxa代入yx2，得xax2，解得x2a2a(正值舍去)，M点坐标为(2a2a，3a2a)F(2b，2ba)，b(1)a，F(2a2a，3a2a)，以FM为直径的圆的圆心O的坐标为(2a，3a)，O到直线AB：ya的距离d3a(a)4a，以FM为直径的圆的半径rOF4a，dr，以FM为直径的圆与AB所在直线相切满分冲关1. 解：(1)设yktb，把t1，y118；t3，y114代入得，解得，y2t120，将t30代入上式，得y23012060.答：在第30天的日销售量是60千克；(2)设第x天的销售利润为w元，当1t24时，由题意w(2t120)(t3020)(t10)21250，t10时，wmax1250，当25t48时，w(2t120)(t4820)t2116t3360，对称轴t58，a10，在对称轴左侧w随x增大而减小，t25时，wmax1085，12501085，综上所述，第10天利润最大，最大利润为1250元；(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元，由题意得m(2t120)(t3020)(2t120)nt2(102n)t1200120n，在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，24，n7，又n9，n的取值范围为7n9.2. (1)解：根据题意可设抛物线解析式为：yax2c，将点(2，2)，(1，)分别代入可得，解得，抛物线的解析式为yx21，顶点N的坐标为(0，1)；(2)证明：点M是O关于点N的对称点，MNON1.同理CNDN，CNMNDNON，即CMDO.在PCM和AOD中，PCMAOD(SAS)，PMCADO，PMAD.又PAMD，四边形PMDA是平行四边形；(3)证明：设点P的坐标为(a，a21)，当P点在y轴右侧时，在RtPCM中，有PM2PC2CM2a2(a212)2a4a21(a21)2，PA2(a21)2，PM2PA2，PMPA.又四边形PMDA是平行四边形，平行四边形PMDA是菱形，MPMD，PD平分MPA，MDPMPDMPA，抛物线的对称轴是y轴，PCy轴，DEDP，MDPEDP，EDPMPA，DPEPAM，又PGPD，CDP30，DCPC，2a2a，求得a10(舍)，a22，ya214，P(2，4)；同理，当P点在y轴左侧时，P(2，4)；综上所述，P点的坐标为(2，4)或(2，4)3. 解：(1)把点A(3，0)，M(1，)代入yax2bx2，得，解得；(2)存在满足条件的点P.设P点的坐标为(0，m)，由(1)知抛物线yx2x2，得点C的坐标为(0，2)，PC2(m2)2，PA232m2m29，AC2322213，当APAC时，根据等腰三角形的对称性，得点P与点C(0，2)关于x轴对称，点P(0，2)；当PCPA时，则PC2PA2，(m2)2m29，解得m，点P(0，)；当PCAC时，则PC2AC2，(m2)213，解得m2，点P(0，2)或(0，2)，综上所述，点P的坐标为(0，2)或(0，)或(0，2)或(0，2)；(3)由抛物线yx2x2得，对称轴为x1，A(3，0)，C(0，2)，直线AC的解析式为yx2，如解图，直线NHAC，设直线NH的解析式为yxb，第3题解图N(t，0)，bt，直线NH的解析式为yxt，当x1时，yt，点H(1，t)，当t1时，点H的坐标为(1，0)，此时与点N重合，不能构成ONH.点N在x轴正半轴上，且在抛物线内，分0t1和1t3两种情况进行讨论，()当0t1时，此时点H在x轴的上方，即t0，St(t)t2t，即St2t(0t1)；()当1t3时，此时点H在x轴的下方，即t0，St(t)t2t，即St2t (1t3)；综上所述：S.4. 解：(1)(0，2)；4；【解法提示】当x0时，y2，C(0，2)，当y0时，yx2bx20，x1x24；(2)A(1，0)，x11，x1x24，x24，B(4，0)，AB145，如解图，连接BC，第4题解图AC212225，BC2224220，AC2BC2AB2，ACB90，ABBD，ACCD，过点D作DEy轴于点E，可得AOCDEC，DEAO1，CEOC2，D(1，4)；(3)把A(1，0)代入抛物线yx2bx2中，得0b2，b，抛物线yx2x2(x)2，对称轴是x，设P(，y)，分两种情况：()如解图，以AB为直径作E，E交抛物线的对称轴于点P(AB的上方)，第4题解图由圆周角定理得CPBCAB，易得EPAB.P(，)；()如解图，以BD为直径的圆M交抛物线的对称轴于点P(AB的下方)，M交x轴于点H，连接DH，则DHBH，第4题解图BACBDCBPC，过点M作MNDH于点N，交对称轴于点Q，MNBH(41)，NQ1，MQMNNQ1，连接PM，在RtMQP中，PM，PQ，在RtDBH中，DH4，PEPQEQ2，P(，2)，综上所述，点P的坐标为：P(，)或(，2)5. 解：(1)由题意得抛物线的解析式为y(x4)(x1)，即yx2x2，(2)显然NCM90.当MNC90，如解图中，作MHAB于点H.第5题解图MHOC，AMt，OA4，OC2，AC2，MHt.AH2t，HN4t2t4t，由MNHNCO，可得，解得t，当NMC90时，由AHMMHN，可得HM2AHHN，t22t(4t)，解得t1，综上所述，t s或1 s时，CNM是直角三角形；设点P的坐标为(a，b)，()当点P在第一象限时，第5题解图由(2)知AH2t，MHt，点M的坐标为(2t4，t)，四边形OPMN是平行四边形，代入yx2x2，整理得49t262t0，解得t或t0(舍)，点P的坐标为(，)；()当点P在第二象限时，第5题解图同理可得，代入yx2x2，整理得t22t0，解得t2或t0(舍)，点P的坐标为(3，2)；()当点P在第四象限时，第5题解图同理可得，代入yx2x2，整理得49t2162t960，解得t或t(舍)，点P的坐标为(，)，综上，点P的坐标为(，)或(3，2)或(，). 32
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