现金流量与时间价值

现金流量与时间价值2. 1 现 金 流 量一、现金流量的概念在进行工程经济分析时，可把所考察的对象视为一个系统，这个 系统可以是一个工程项目、一个企业，也可以是一个地区、一个国 家。而投入的资金、花费的成本、获取的收入，均可看成是以货币 形式体现的该系统的资金流出或资金流入。这种在考察对象一定时 期各时点上实际发生的资金流出或资金流入，称为现金流量，其中 流 出 系 统 的 资 金 称 为 现 金 流 出 （ CO） ， 流 入 系 统 的 资 金 称 为 现 金 流 入（CI ）,现金流入与现金流出之差称之为净现金流量（NCF = Net Cash Flow） 。 工 程 经 济 分 析 的 任 务 就 是 要 根 据 所 考 察 系 统 的 预 期 目 标 和所 拥有 的资 源条 件，分 析该 系统 的 现金流量情况 ，选 择 合适的技 术方 案， 以获 得最 佳的经 济效 果。现金流量的内涵和构成随工程经济分析的范围和经济评价方法 的 不同 而不 同。 在对 工程项 目进 行财 务 评价时，使用 从项 目 的角度出 发、 按现 行财 税制 度和市 场价 格确 定 的财务现金流 量， 有 关现金流量构成参见第八章有关表格。在对工程项目进行国民经济评价时， 使 用 从 国 民 经 济 角 度 出 发 ， 按 资 源 优 化 配 置 原 则 和 影 子 价 格 确 定 的 国民经济效益费用流量。现金流量图在工程经济的研究中往往要考察企业的某一项活动，例如，采购 一部机器的经济效果如何。在这种情况下，为了便于考察，需要把 该项活动用某种方法从整个企业中分离出来，正像在力学中画出一 个自由体的图形一样。例如为了考察采购一部机器的经济效果，就 必须把有关这部机器的收入和支出都计算出来，然后可以看出投资 的回收情况。对于一个经济系统，其现金流量的流向（支出或收入）、数额和 发生时点都不尽相同，为了正确地进行经济效果评价，我们有必要 借助现金流量图来进行分析。所谓现金流量图就是一种反映经济系 统资金运动状态的图式，即把经济系统的现金流量绘入一时间坐标 图中，表示出各现金流入、流出与相应时间的对应关系，如图2-1 所示。丨丨丨丨D I Fl24 M ri*利率i10005c 1OOOJL图2-1现金流量图现以图2-1说明现金流量图的作图方法和规则：1、以横轴为时间轴，向右延伸表示时间的延续，轴上每一刻度表示一个时间单位，可取年、半年、季或月等；零表示时间序列的2 、 相 对 于 时 间 坐 标 的 垂 直 箭 头 线 代 表 不 同 时 点 的 现 金 流 量 ， 在 横轴上方的箭线表示现金流入，即表示效益；在横轴的下方的箭头 线表示现金流出，即表示费用或损失。3 、 现 金 流 量 的 方 向 （ 流 入 与 流 出 ） 是 对 特 定 的 系 统 而 言 的 。 贷 款方的流入就是借款方的流出；反之亦然。通常工程项目现金流量 的方向是针对资金使用者的系统而言的。4 、 在 现 金 流 量 图 中 ， 箭 头 线 长 短 与 现 金 流 量 数 值 大 小 本 应 成 比 例。但由于经济系统中各时点现金流量的数额常常相差悬殊而无法 成比例绘出，故在现金流量图绘制中，箭头线长短只是示意性地体 现各时点现金流量数额的差异，并在各箭头线上方（或下方）注明 其现金流量的数值即可。5 、 箭 头 线 与 时 间 轴 的 交 点 即 为 现 金 流 量 发 生 的 时 点 。在 考 察 不 同 投 资 方 案 的 经 济 效 果 时 ，利 用 现 金 流 量 图 把 各 个 方 案 的现金出入情况表示出来，是一种很方便的方法。从上述可知，要正确绘制现金流量图，必须把握好现金流量的三 要素，即现金流量的大小（资金数额）、方向（资金流入或流出） 和作用点（资金的发生时点）。 2.2 资 金 的 时 间 价 值2.2.1 资 金 时 间 价 值 概 念从宏观上看，时间与资金的关系致为密切，所谓经济效率就充分 体现了这一辩证关系。研究资金时间价值的必要性既然我们通常用货币单位来计量工程的得失，我们在经济 分析时 就主要着眼于方案在整个寿命期内的货币收入和支出情况，即现金 流量。能不能把方案寿命期内不同时期发生的现金流量相加（代数 和）来代表 方案的经济效果呢？先让我们 看两个 例子。例如，有一个总公司面临两个投资方案A、B，寿命期都是4年， 初始投资也相同，均为1 0000元。实现利润的总数也相同，但每年 数字不同，具体数据见下表。如果其他条件都相同，我们应该选用 那个方案呢？从直觉和常识，我们会觉得方案A优于方案B，为什 么？表2-1投资方案比较表单位：元年末A方案B方案0-10000-100001+ 7000+ 10002+ 5000+ 30003+ 3000+ 50004+ 1000+ 7000是什么样的认识使我们作出上述明确的判断的呢？在例子中，方 案A的得益比方案B早，这就是说，货币的支出和收入的经济效益 不仅与货币量的大小有关，而且与发生的时间有关。同样1元钱今 年到手与明年到手的价值”是不同的。先到手的资金可以用来投资而 产生新的价值。因此，今年的1元钱要比明年1元更值钱。这种货 币的时间价值在银行的利息中可以体现出来，如果年利率为5%，则 明年可以到手1. 05元，就是说，今年1元等值于明年的1. 05元。换 = 0.9524一种说法，明年的1元相当于今年的一 |元。我们的银行付给利息外，还鼓励人民存款以支持国家的社会主义建设，体现了这 种货币的时间价值的存在。承认货币的时间价值并不是否定劳动创造价值的原理。虽然从形 式上看货币会产生新的价值，但这样计算只是承认这样一种事实： 劳动只有与生产资料相结合才能创造新的价值。讲货币的时间价值 就是承认生产资料的重要性，这并不意味着否定劳动创造价值的学 说。由于货币的时间价值的存在，使不同时间上发生的现金流量无法 直接加以比较，这就使方案的经济评价变得比较复杂了。以图2-2 为例，比较方案E与方案F。从现金流量的绝对数看，方案E比方 案F好；但从货币的时间价值看，方案F似乎有它的好处，如何比 较这两个方案的优劣就构成了本教材要讨论的重要内容。这种考虑 了货币时间价值的经济分析方法，使方案的评价和选择变得更现实 和可靠。ft004002400方秦F图2-2方案E与F的现金流量图（单位：元）二、资金的时间价值的概念在工程经济分析中，无论是技术方案所发挥的经济效益还是所消 耗的人力、物力和自然资源，最后基本上都是以货币形态，即资金 的形式表现出来的。资金运动反映了物化劳动和活劳动的运动过程， 而这个过程也是资金随时间运动的过程。因此，在工程经济分析时， 不仅要着眼于方案资金量的大小（资金收入和支出的多少），而且 也要考虑资金发生的时点。因为今天可以用来投资的一笔资金，即 使不考虑通货膨胀的因素，也比将来同等数量的资金更有价值。这 是由于当前可用的资金能够立即用来投资，带来收益。由此看来， 资金是时间的函数，资金随时间的推移而增值，其增值的这部分资 金就是 原有资 金的时间价值资金时间价值的实质是资金作为生产要素，在扩大再生产及资金流通过程中，随时间的变化而产生增值。资金的增值过程是与生产 和流通过程相结合的，离开了生产过程和流通领域，资金是不可能 实现增值的。资金的增值过程可表示如下：主产前猱通駆域建设一主产过程GWWP主产后流通领域PGf图2-3资金的增值过程示意在产品生产前，首先需用一笔资金（G），购买厂房和设备作为 该企业生产资料的固定资产，同时还需垫支流动资金采购生产所需 要的原材料、辅助材料、燃料等劳动对象和招聘工人所需支出的工 资；然后在生产过程中，资金以物化形式出现（W），劳动者运用生 产资料对劳动对象进行加工生产劳动，生产制作新的产品，这里生 产出来的新产品（P）比原先投入的资金（G ）具有更高的价值（）； 最后这些新产品（P）必须在生产后的流通领域（商品市场）里作为 商品出售给用户，才能转化为具有新增价值的资金（），使物化 的资金（P）转化为货币形式的资金（？），这时的从 而使生产过程中劳动者创造的资金增值部分一得以实现。这样就完 成了 “忙-”形式表示的、完整的资金增值过程。资金在生产过程和流通领域之间如此不断地周转循环，这种循环 过程不仅在时间上是连续的，而且在价值上是不断增值的。因此整 个社会生产就是价值创造过程，也是资金增值过程。由于 资金时间价值的存在，使 不同时点上发 生的现 金流量 无法直 接加以比较。因此，要通过一系列的换算，在同一时点上进行对比， 才能符合客观的实际情况。这种考虑了资金时间价值的经济分析方 法，使方案的评价和选择变得更现实和可靠。它也就构成了工程经 济学要讨论的重要内容之一。222 资金时间价值计算时间与资金的关系具体量化，是有效应用资金的前提。一、利息与利率1、利息在借贷过程中，债务人支付给债权人的超过原借款本金的部分， 就是利息。即：I=F-P（2-1）式中：I为利息；F为还本付息总额；P为本金。在工程经济分析中，利息常常被看成是资金的一种机会成本。这 是因为如果一笔资金投入在某一工程项目中，就相当于失去了在银 行产生利息的机会，也就是说，使用资金是要付出一定的代价的， 当然投资于项目是为了获得比银行利息更多的收益。从投资这的角 度来着，利息体现为对放弃现期消费的损失所作的必要补偿。比如 资金一旦用于投资，就不能用于现期消费，而牺牲现期消费又是为 了能在将来得到更多的消费。所以，利息就成了投资分析中平衡现 在与未来的杠杆，投资这个概念本身就包含着现在和未来两方面的 含义。事实上，投资就是为了在未来获得更大的回收而对目前的资 金进行某种安排，很显然，未来的回收应当超过现在的投资，正是 这种预期的价值增长才能刺激人们从事投资。因此，在工程经济学 中，利息是指占用资金所付的代价或者是放弃近期消费所得的补偿。2、利率在经济学中，利率的定义是从利息的定义中衍生出来的。也就是 说，在理论上先承认了利息，再以利息来解释利率。在实际计算中， 正好相反，常根据利率计算利息，利息的大小用利率来表示。利率就是在单位时间内（如年、半年、季、月、周、日等），所 得利息额与借款金之比通常用百分数表示。即：;=xlOO%P（2-2）式中：为利率；-为单位时间内的利息；P为借款本金。用于表示计算利息的时间单位称为计算周期，计息周期通常为 年、半年、季、月、周或日。3、利息和利率在工程经济活动中的作用（1）利息和利率是以信用方式动员和筹集资金的动力。以信用方式筹集资金的一个重要特点是自愿性，而自愿性的动力在于利息 和利率。比如一个投资者，他首先要考虑的是投资某一项目所得到 的利息（或利润）是否比把这笔资金投入其他项目所得的利息（或 利润）多。如果多，他就可能给这个项目投资；反之，他就可能不 投资这个项目。（ 2 ） 利 息 促 进 企 业 加 强 经 济 核 算 ， 节 约 使 用 资 金 。 企 业 借 款 需 付利息，增加支出负担，这就促使企业必须精打细算，把借入资金 用到刀刃上，减少借入资金的占用以少付利息，同时可以使企业自 觉压缩库存限额，减少多环节占压资金。（ 3 ） 利 息 和 利 率 是 国 家 管 理 经 济 的 重 要 杠 杆 。 国 家 在 不 同 的 时 期制定不同的 利率政策，对不同地区不同部门 规定不同的利率标准， 就会对整个国民经济产生影响。如对于限制发展的部门和企业，利 率规定得高一些；对于提倡发展的部门和企业，利率规定得低一些。 从而引导部门和企业的生产经营服从国民经济发展的总方向。同样， 资金占用时间短，收取低息；资金占用时间长收取高息。对产品适 销对路、质量好、信誉高的企业，在资金供应上给予低息支持；反 之，收取较高利息。（ 4 ） 利 息 与 利 率 是 金 融 企 业 经 营 发 展 的 重 要 条 件 。 金 融 机 构 作 为企业，必须获取利润。由于金融机构的存放款利率不同，其差额 成为金融机构业务收入。此差额扣除业务费后就是金融机构的利润， 金融机构获取利润才能刺激金融企业的经营发展。单利计算利息计算有单利和复利之分。当计息周期在一个以上时，就需要 考虑单利”与 复利”的区别。复利是对单利而言，是 以单利为基础来 进行计算的。所以要了解复利的计算，必须先了解单利的计算。所谓单利是指在计算利息时，仅考虑最初的本金，而不计入在先 前利息周期中所累积增加的利息，即通常所说的利不生利”的计息方 法。其计算式如下：A = pq（2-3）式中：为第：计息期的利息额；P为本金；为计息期单利利率。设代表n个计息期所付或所收的单利总利息，则有下式：?=1 t-l（2-4）由式（2-4）可知，在以单利计息的情况下，总利息与本金、利 率以及计息周期数是成正比的关系。而n期末单利本利和F等于本 金加上利息，即：F = F+人=尸（1+总 xJ（2-5）式中：I称之为单利终值系数。同样，本金可由本利和F减去利息、求得，即：尸二 F-十处S）式中：r i称之为单利现值系数。在利用式（2-5）计算本利和F时，要注意式中n和反映的周 期要匹配。如为年利率，则n应为计息的年数；若r为月利率，n 即应为计息的月数。由上例可见，单利的年利息额都仅由本金所产生，其新生利息， 不再加入本金产生利息，此即利不生利”。这不符合客观的经济发展 规律，没有反映资金随时都在增值”的概念，即没有完全反映资金的 时间价值。因此，在工程经济分析中单利使用较少，通常只适用于 短期投资及不超过一年的短期贷款。三、复利计算在计算利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所累 积利息总额来计算的，这种计息方式称为复利，也即通常所说的利 生利”、利滚利”。其表达式如下：（2-7）式中：为计息期利率；一1为第（t-1）年末复利本利和。第t年末复利本利和的表达式如下：E =耳复利计息有间断复利和连续复利之分。按期（年、半年、季、月、 周、日）计算复利的方法称为间断复利（即普通复利）；按瞬时计 算复利的方法称为连续复利。223 复利计算一、复利的概念在计算利息时，某一计息周期的利息是由本 金加上 先前周期所累 积利息总额来计算的，这种计息方式称为复利，也即通常所说的利 生利”、利滚利”。其表达式如下：A玛1（2-7）式中：为计息期利率；I为第（t-1）年末复利本利和。第t年末复利本利和的表达式如下：(2-8)复利计息有间断复利和连续复利之分。按期（年、半年、季、月、 周、日）计算复利的方法称为间断复利（即普通复利）；按瞬时计 算复利的方法称为连续复利。二、一次支付的情形一次支付又称整付，是指所分析系统的现金流量，无论是流入还 是流出，均在一个时点上一次发生，如图2-4所示。一次支付情形的 复利计算式是复利计算的基本公式。在图2-4中：为计息期利率； 为计息期数；P为现值（即现在的资金价值或本金Present V al ue），或资金发生在（或折算为）某一特定时间序列起点时的价值；F为终值，（吃期末的资金值或本利和，Future Value）,或资金发生在（或 折算为）某一特定时间序列终点的价值。0irP图2-4 一次支付现金流量图1、终值计算（已知P，求F）现有一项资金P，按年利率：计算，七年以后的本利和为多少？ 根据复利的定义即可求得本利和F的计算公式。其计算过程如表2-2所示：表2-2终值计算过程表计息期期初金额（1）本期利息额（2）期末本利和冈=+1PP XI码=P + Pxi = P(UO2珂1 +订马=F(1 甘)+ P(1 +t) x?=戸(1+3F(l+i)2 xi和二出1 +沪 +(1 + 02 X =n严+ i)1 xi為 二戸x (1 + 1)41 + 戸(1+二尸-1 xr =由表中可以看出，几年末的本利和F与本金的关系为：(2-9)式中： L J 称之为一次支付终值系数，用表示。故式（2-9）又可写成：p = pFJP, n 町（2-10）在这类符号中，括号内斜线上的符号表示所求的未知数，斜线下的符号表示已知数。整个符号表示在已知：，耳和P 的情况下求解F的值。为了计算方便，通常按照不同的利率，：和计 息期计算出：的值，并列于表中。在计算F时，只要从复利表 中查出相应的复利系数再乘以本金即为所求。2、现值计算（已知F ,求P）由式（2-9）即可求出现值P :戸=厅（1+!厂丹（2-1 1）式中称为一次支付现值系数，用符号一；表示，并 按不同的利率：和利息打可列于表中。一次支付现值系数这个名称描 述了它的功能，即未来一笔资金乘上该系数就可求出其现值。工程 经济分析中，一般是将未来值折现到零期。计算现值P的过程叫 折 现”或贴现”其所使用的利率常称为折现率、贴现率或收益率，贴 现率、折现率反映了利率在资金时间价值计算中的作用，而收益率 反映了利率的经济涵义。故一 I 或门也可叫折现系数或贴 现系数。式（2-1 1）常写成：(2-12 )在工程项目多方案比较中，由于现值评价常常是选择现在为同一 时点，把方案预计的不同时期的现金流量折算成现值，并按现值之 代数和大小作出决策。因此，在工程经济分析时应当注意以下两点：（1）正确选取折现率。折现率是决定现值大小的一个重要因素， 必须根据实际情况灵活选用。（2）注意现金流量的分布情况。从收益方面来看，获得的时间越早、 数额越大，其现值也越大。因此，应使建设项目早日投产，早日达 到设计生产能力，早获收益、多获收益，才能达到最佳经济效益。 从投资方面看，投资支出的时间越晚、数额越小，其现值也越小。 因此，因合理分配各年投资额，在不影响项目正实施的前提下，尽 量减少建设初期投资额，加大建设后期投资比重。三、多次支付的情形在工程经济实践中，多次支付是最常见的支付情形。多次支付是 指现金流量在多个时点发生，而不是集中在某一个时点上。如果用亠 表示第t期末发生的现金流量大小，可正可负，用逐个折现的方法， 可将多次现金流量换算成现值。尸二吗(1 + 茁1 +禺(1+“4 + 吗(i+j)-”(2-13)JI二 E 片(P f 用 i, f) P ._i(2-14 )同理，也可将多次现金流量换算成终值：/ = LAO+j)1 月二 2ip 用T)或(2-1 5 )在上面式子中，虽然那些系数都可以计算或查复利表得到，但如 果较大：较多时，计算也是比较麻烦的。如果多次现金流量丄有如 下特征，则可大大简化上述计算公式。1、等额系列现金流量。现金流量序列是连续的，且数额相等， 即： = a =常数 - (2-16)2、等差系列现金流量。现金流量序列是连续的，且相邻现金流量相差同-个常数G ,且现金流量序列是连续递增或连续递减，即 :4 = A C f = l, 2, 3, , n(2-1 7 )3、等比系列现金流量。现金流量序列是连续，紧后现金流量较 紧前现金流量按同一比率j连续递增，即：4 =4卩+沪 i = 1, 2, 3,，K(2-18 )下面就分别说明这三种典型系列现金流量的复利计算。四、等额系列现金流量其现金流量如图2-5所示。012i341111 A(a)JIiiILJ1 I 4 1 10 1JL i n(to)图2-5等额系列现金流量示意图（a）年金与终值关系；（b）年金与现值关系A为年金，发生在（或折算为）某一特定时间序列各计息期末（不包括零期）的等额资金序列的价值。1、终值计算（已知A，求F）由式（2-1 5）展开得：F= 訂(1知严=理+严 +(1+严 +(1+J+1(2-19)式中： 称为等额系列终值系数或年金终值系数，用符号1 二表示。则式（2-19）又可写成：F j 仏1,町等额系列终值系数可从附表复利因子中查得。2、现值计算（已知A，求P）由式（2-1 1）和式（2-19） 得：（1+3）W -1尸二 F（1 杠厂=A（1灯尸一1式中：1 称为等额系列现值系数或年金现值系数，用符号（丹儿】，占）表示。则式（2-21）又可写成：P = A （PA, i,町等额系列现值系数- -1 -同样可从附表复利因子中查得。3、资金回收计算（已知P，求A）由式（2-21）可知，等额系列资金回收计算是等额系列现值计算的逆运算，故由式（2-21）即可得：心皿1 （1 +-1（2-23）式中： 门； 称为等额系列 资金回收系数，用 符号 -表示。则式（2-23）又可写成：(2-24 )等额系列资金回收系数-1 -可从附表复利因子中查得。4、偿债基金计算（已知F ,求A）偿债基金计算是等额系列终值计算的逆运算，故用式（2-19）即 可得：i（2-25）式中：）一 *称为等额系列偿债基金系数，用符号-表示。则式（2-25）又可写成：A = F1 （川兄总）等额系列偿债基金系数 -同样可从附表复利因子中查得。五、等差系列现金流量在许多工程经济问题中，现金流量每年均有一定数量的增加或减少，如房屋随着其使用期的延伸，维修费将逐年有所增加。如果逐 一年的递增或递减是等额的，则称之为等差系列现金流量。其现金流量如图2-6所示。)f tf 0123n-1n图2-6等差系列递增现金流量示意图图2-6（ a）为一等差递增系列现金流量，可化简为两个支付系列。I一个是等额系列现金流量，图2-6（ b），年金是 1 7 ：；另一个是由组成的等额递增系列现金流量，图2-6（ c）。图2-6（ b）支付 系列用等额系列现金流量的有关公式计算，问题的关键是图2-6（ c） 支付系列如何计算。这就是等差系列现金流量需要解决的。1、等差终值计算（已知G，求F）根据图2-5（ c），可列出F与G的计算式如下：Fg = G（14-r）-a +口1甘严 4-+ （-2）0（1+3）+ -1）0式（11 ）两边同乘以（1 + i）得：严住（1 十 t）二（7（1 H- t） 1 + 2GQ + F）旷？十+ （皿一+ if + 一1）/1 + i）（2 ）由（2）-（1）得：= |（1弋尸+ +（i+；） +（i 斗。斗打一母 整理得：（2-27 ）1-F3） _1_料_式中：L 厂口称为等差系列终值系数，用符号月）表示。则式（2-27）可写成：（7心】，片）2、等差现值计算（已知G，求P）由P与F的关系得：_（l+f）W -1同 _冷=阳（14 尸=C?|_ 珂?（1+j）_（2-29）_（l-br）n -1 n 式中：L护+沪心+ 0称为等差系列现值系数，用符号亠-表示。则式（2-29）可写成：PG = O（P/Gt j,(2-30 )等差系列现值系数-1 -可从附表定差因子中查得。3、等差年金计算（已知G ,求A ）由A与F的关系得：Ag 二阳 3 叭 X = G i严 j jG+j） -1整理得：1 卫疗=G i fl1J（2-31）IM 1式中：P U4汨一1称为等差年金换算系数，用符号（川6几对表示。则式（2-31 ）可写成：Ac = G（AfGi i,九）（2-32）等差年金换算系数- 可从附表定差因子中查得。根据上述公式，即可方便地得出图2-6等差系列现金流量的年金 为：卫=&4(2-33)减号”为等差递减系列现金流量，如图2-7所示。0123l1rt图2-7等差系列递减现金流量示意图若计算原等差系列现金流量的现值P和终值F，则按式2-29和式2-30进行。（2-34）F 三 F执土二 f A, fs 浦土总（FC i,巧（2-35）六、等比系列金流量等比系列现金流量如图2-8所示。图2-8等比系列现金流量示意图将等比系茶列通式 1- 分别代入式（2-13）和式（2-15），化简，即可求得等比系列现值和终值。等比系列现值=4(1 + 0t-1珂i+“I(1+?y化简得：曲i+JJ(l+jr(l + iFn-l(2-36 )或P =（F, i, j,丙）（2-37 ）式中：（，-r 称为等比系列现值系数。2、 等比系列终值由W得：W+J严 门+川一（1+IBJ-J(2-38)或-称为等比系列终值系数。七、复利计算小结1、复利系数之间的关系（1）倒数关系： ； - ：| = 1 / 1 - - 一丄.，.）= /_. 宀- ,.） = /_.-.（2 ）积关系： ；1 .；=；：；一匚一 - ）= - -（3 ）其他关系： 亠丄.，.）=，+、 （F/G,门町（J7& 总）-片方 （F/G, h 町=（尸皿爲Ft J,讪!3、复利计算公式使用注意事项应（1）本期末即等于下期初。0点就是第一期初，也叫零期；第一 期末即等于第二期初；余类推。（2）P是在第一计息期开始时（0期）发生。（3）F发生在考察期期末，即七期末。（4）各期的等额支付A，发生在各期期末。（5）当问题包括P与A时，系列的第一个A与P隔一期。即P 发生在系列A的前一期。（6）当问题包括A与F时，系列的最后一个A是与F同时发生。（7）、发生在第一个G的前两期；丄-发生在第一个G的前一期。在复利计算中，利率周期通常以年为单位，它可以与计息周期相 同，也可以不同。当利率周期与计息周期不一致时，就出现了名义 利率和实际利率的概念。例如每半年计息一次，每半年计息期的利率为3%，3%是实际计息用的利率，也是资金在计息期所发生的实际利率，如上例为 3% X2=6% ,6%就称为年名义利率。在实际计息中不用这个利率，它只是习惯上的表示形式。例如每月计息一次，月利率为1% ,习惯上 称为年利率为12%，每月计息一次”，通常说的年利率都是名义利率， 如果后面不对计息期加以说明，则表示一年一次，此时的年利率也 就是年有效利率。前述已知，单利与复利的区别在于复利法包括了利息的利息。实 质上名义利率和实际利率的关系与单利和复利的关系一样，所不同 的是名义利率和实际利率是用在计息周期小于利率周期时。一、名义计息周期所谓名义利率r是指计息周期利率i乘以一个计息周期内的计息 周期数m所得的利率周期利率。即：r =(2-40 )实际利率若用计息周期利率来计算利率周期利率，并将利率周期内的利息 再生因素考虑进去，这时所得的利率周期利率称为利率周期实际利 率（又称有效利率）。根据利率的概念即可推导出实际利率的计算式。已知名义利率r，一个利率周期内计息m次，则计息周期利率为心 ,在某个利率周期初有资金P。根据一次支付终值公式可得该利率周期的F ,即：根据利息的定义可得该利率周期的利息I为再根据利率的定义可得该利率周期的实际利率为：（2-41）现设年名义利率：r=10%，则年、半年、季、月、日的年实际利率如表2-3所示：表2-3实际利率与名义利率关系表年名义休年计息计息期利率年实际利率利率息期次数（心讪）（幺）（r）(m )1 0 %年11 0 %1 0 %半年25 %10. 2 5 %季42. 5 %1 0. 38 %月1 20. 833 %1 0. 47 %日3650. 0274 %1 0. 52 %从表中可以看出，每年计息期m越多，J与r相差越大。所以， 在工程经济分析中，如果各方案的计息期不同，就不能简单地使用 名义利率来评价，而必须换算成实际利率进行评价，否则会得出不 正确的结论。、连续复利前面介绍了间断计息的情形，当每期计息时间趋于无限小，则（计算周期常为一年）内计息次数趋于无限大，即咗r H此时可视计息没有时间间隔而成为连续计息。则年有效利率为：-1= lime是自然对数的底，其值为2. 71 828。将连续复利引入普通的利息公式得：次支付连续复利终值公式：(2-42)连续复利现值公式：(2-43 )等额支付：连续复利终值公式：(2-44 )连续复利现值公式：P- A(2-45 )连续复利资金回收公式：(2-46 )连续复利偿债基金公式：(2-47)上面介绍了连续复利的几个基本公式。从理论上讲，整个社会的 资金是在不停地运动，每时每刻都通过生产和流通在增值，因而应 该采用连续复利法。然而在实际使用中都采用间断复利法。尽管如 此，这种连续复利的概念对投资决策、制定其数学模型极为重要。 因为在高深的数学分析中，连续是一个必要的前提，故以连续性为 出发点去对技术方案作更进一步的分析还是可取的。比如用连续复利计算的利息高于普通复利，故资金成本偏高，可以提醒决策者予 以注意。2. 3等值计算一、等值计算前述已知，资金有时间价值。即使金额相同，因其发生在不同时 点，其价值就不相同；反之，不同时点绝对值不等的资金在时间价 值的作用下却可能具有相等的价值。这些不同时期、不同数额但其价值等效”的资金称为等值，又叫等效值。在工程经济分析中，等值 是一个十分重要的概念，它为我们提供了一个计算某一经济活动有 效性或者进行方案比较、优选的可能性。资金等值计算公式和复利 计算公式的形式是相同的。等值基本公式相互关系如图2-9所示。影 响资金等值的因素有三个：金额的多少，资金发生的时间，利率（或 折现率）的大小。其中利率是一个关键因素，一般等值计算中是以 同一利率为依据的。0256ri图2-9等值基本公式相互关系示意图在工程经济分析中，在考虑资金时间价值的情况下，其不同时间 发生的收入或支出是不能直接相加减的。而利用等值的概念，则可 以把在不同时点发生的资金换算成同一时点的等值资金，然后再进 行比较。所以，在工程经济分析中，方案比较都是采用等值概念来 进行分析、评价和选定。二、计息周期小于（或等于）资金收付周期的等值计算计息周期小于（或等于）资金收付周期的等值计算方法有二：1、按收付周期实际利率计算2、按计息周期利率计算，即：F = P（F/P, r/f,豹町（2-48）P =r/w,初0（2-49）F = A（F/A, r/ws, waw）（2-50）P - A（P/A, r/wi, ww）（2-51）A = F（A/F. ”呱如）(2-52)(2-53 )上述两法计算结果略有差异，是因为按实际利率计算时，实际利 率不是整数，无表可查，在利率间用线性内插计算时引起系数有微 小差异。此差异虽是允许的，但计算较繁琐。故在实际中常采用计 息期利率来计算。但应注意，对等额系列流量，只有计息周期与收 付周期一致时才能按计息期利率计算。否则，只能用收付周期实际 利率来计算。三、计息周期大于收付周期的等值计算由于计息周期大于收付周期，计息周期间的收付常采用下列三种 方法之一进行处理。1、不计息。在工程经济分析中，当计息期内收付不计息时，其 支出计入期初，其收益计入期末。2、单利计息。在计息期内的收付均按单利计息。其计算公式如 下：（2-54）式中：冲为第t计息期末净现金流量；N为一个计息期内收付周 期数；一二为第t计息期内第k期收付金额；：S为第t计息期内第k 期收付金额到达第t计息期末所包含的收付周期数；i为计息期利率。3、复利计息在计息周期内的收付按复利计算。此时，计息期利率相当于实 际利率”，收付周期利率相当于计息期利率”。收付周期利率的计算 正好与已知名义利率去求解实际利率的情况相反。收付周期利率计 算出来后即可按普通复利公式进行计算。四、利息复利表计算未知利率、未知期（年）数 利息复利表计算未知利率、未知期（年）数，可分为 ：计算未知 利率（或投资收益率）和计算未知年数。当然，采 用线性内插法是有误差的，因 为因子的数值与时 间是呈 指数关系。但由 于线性内插是在 极小的范围内进行 的（一般不超过 2 个百分点），这种误差对方案评价来说影响甚微，不影响方案评价 的结论。