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第17课时 等腰三角形与直角三角形1.（2017包头）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为 ( )A. 2 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 8 cm2. (2017长沙)一个三角形三个内角的度数之比为123,则这个三角形一定是( )A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形3. （2017大连）如图，在ABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为( )A. 2a B. C. 3a D. 第3题图4. (2017荆州)如图，在ABC中，AB=AC,A=30，AB的垂直平分线l交AC于点D，则CBD的度数为（）第4题图A. 30 B. 45 C. 50 D. 755. (2017南充)如图，等边OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A. (1,1) B. (3,1) C. (3，3) D. (1,3)第5题图6. （2017台州）如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )第6题图A. AE=EC B. AE=BEC. EBC=BAC D. EBC=ABE7. (2017聊城)如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上.如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA，PB那么使ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( )第7题图A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个8. （2017海南）已知ABC的三边长分别为4、4、6，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )条.A. 3 B. 4 C. 5 D. 69. （2017襄阳）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )第9题图A. 3 B. 4 C. 5 D. 610. （2017河池）已知等边ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DEAC于点E，过E作EFBC于点F，过点F作FGAB于点G，当G与D重合时，AD的长是( )A. 3 B. 4 C. 8 D. 911. (2017丽水)等腰三角形的一个内角为100，则顶角的度数是_.12. （2017内高）已知等腰三角形一边长等于4，一边等于9，则它的周长是_.13. （2017淄博）在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，则DE+DF=_.14. （2017益阳）如图，ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线，则CD=_.第14题图15. (2017青岛)如图，在四边形ABCD中，ABC=ADC=90，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若BAD=58，则EBD的度数为_度.第15题图16. （2017泸州）在ABC中，已知BD和CE分别是边AC，AB上的中线，且BDCE，垂足为O，若OD=2 cm,OE=4 cm,则线段AO的长度为_cm.17. (2016哈尔滨）在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=3,点P为边BC的三等分点,连接AP,则AP的长为_.18. （2017杭州）如图，在RtABC中，BAC=90，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DEBC于点E，连接AE，则ABE的面积等于_.第18题图19. （2017北京）如图，在ABC中，AB=AC,A=36，BD平分ABC交AB于点D.求证：AD=BC.第19题图20. （2017内江）如图，AD平分BAC，ADBD,垂足为点D，DEAC.求证：BDE是等腰三角形.第20题图满分冲关1. （2017武汉）如图，在RtABC中，C=90，以ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 7第1题图2. （2017天津）如图，在ABC中，AB=AC,AD,CE是ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是( )第2题图A. BC B. CE C. AD D. AC3. (2016株洲)如图,以直角三角形a,b,c为边,向外分别作等边三角形、半圆 、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数有（ ）第3题图A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4. (2017咸宁)如图，在RtACB中，BC=2,BAC=30，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：若C、O两点关于AB对称，则OA=23；C、O两点距离的最大值为4；若AB平分CO,则ABCO;斜边AB的中点D运动路径的长为2.其中正确的是.(把你认为正确结论的序号都填上)第4题图答案1. A【解析】若2 cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10226(cm)，226，不符合三角形的三边关系，若2 cm为等腰三角形的底边，则腰长为(102)24(cm)，此时三角形的三边长分别为2 cm，4 cm，4 cm，符合三角形的三边关系2. B【解析】一个三角形的三个内角度数之比为1：2：3，设这三个内角分别为x，2x，3x，根据三角形内角和为180可得x2x3x180，解得x30，3x90，则这个三角形一定是直角三角形，但不是等腰直角三角形3. B【解析】CDAB，CDDEa，CEa，在ABC中，ACB90，点E是AB的中点，AB2CE2a.4. B【解析】A30，ABAC，ABCACB75，又l为AB的垂直平分线，DBDA，DBAA30CBDCBADBA753045，故选B.5. D【解析】如解图，过点B作BCx轴于点C.由于OAB是等边三角形，则OC1，在RtOBC中，根据勾股定理BC.于是得到点B的坐标为(1，)第5题解图6. C【解析】由作图知，BCBE，BCEBEC，ABAC，BCACBA，BCEBECCBA，EBC180BCEBEC，BAC180BCACBA，EBCBAC.7. B【解析】分A为直角顶点、B为直角顶点和AB为底三个角度考虑，以A为直角顶点，能构成1个等腰直角三角形；以B为顶点，能构成2个等腰直角三角形；AB为底不存在，故选B.8. B【解析】如解图，符合条件的直线共有 4 条：(1)在边BC上截取CECA，BFBA，连接AE、AF，得到等腰三角形CEA，BAF；(2)分别作AB，AC的中垂线交BC于点M、N，连接AM，AN，得到等腰三角形MAB，NCA.综上所述，直线AE、AF、AM、AN均满足题意第8题解图9. C【解析】由题意可知，如解图，S正方形ABCD13，AB，AGa，BGb，a2b2AB213，(ab)2a22abb221，2ab(ab)2a2b221138，ab4，SABGab42，S小正方形S大正方形4SABG13425.第9题解图10. C【解析】设BDx，如解图，ABC是等边三角形，ABC60，DEAC于点E，EFBC于点F，FGAB，BDFDEAEFC90，BF2x，CF122x，CE2CF244x，AE12CE4x12，AD2AE8x24，ADBDAB，8x24x12，x4，AD8x2432248.第10题解图11. 100【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100，则这个内角为顶角，此时两底角均为40，即该三角形顶角的度数是100.12. 22【解析】分两种情况：当底边长为4，腰长为9时，499，周长为49922；当底边长为9，腰长为4时，449，故此时等腰三角形不存在故答案为22.13. 2【解析】假设点D与点B重合，可得DEDF为等边三角形AC边上的高，再由等边三角形的边长为4，可求AC边上的高为2.14. 【解析】ABC中，AC5，BC12，AB13，AC2BC2AB2，ABC为直角三角形，又CD是AB边上的中线，根据直角三角形“斜边中线等于斜边一半”可知：CDAB.15. 32【解析】ABCADC90，点E是AC的中点，AEDECEBE，EADEDA，EABEBA，CED是ADE的外角，CED2EAD，同理CEB2EAB，DEB2DAB258116，BEDE，EBDEDB(180BED)(180116)32.16. 4【解析】如解图，连接AO，作OFAB于点F.BD、CE是ABC中线，OB2OD4，OE4，BDCE，BOE是等腰直角三角形，AEBE4，OFEF2，AF6，AO4.第16题解图17. 或【解析】由题知，P为直角边BC的三等分点，显然分两种情况讨论：如解图，当点P靠近点B时，ACBC3，CP2，在RtACP中，由勾股定理得AP；如解图，当点P靠近点C时，ACBC3，CP1，在RtACP中，由勾股定理得AP. 综上可得AP或.第17题解图18. 78【解析】如解图，过A作AHBC，AB15，AC20，BAC90，由勾股定理得，BC25，AD5，DC20515，DEBC，BAC90，CDECBA，CE2012.BCAHABAC，AH12，SABE121378.第18题解图19. 证明：ABAC，A36，ABCC72，BD平分ABC交AC于点D，ABDDBC36，AABD，ADBD，C72，BDC72，CBDC，BCBD，ADBC.20. 证明：AD平分BAC，BADDAC，DEAC，ADEDAC，BADADE，ADBD，ADB90，BADABD90.BDEADE90，EBDBDE，BEDE，BDE是等腰三角形满分冲关1. D【解析】设等腰三角形的第三个顶点为D，则当ACAD时，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于一点，即为点D，故此时存在一个等腰三角形；若ACCD时，以点C为圆心，AC长为半径，与线段AB和BC不再有新的交点，故此时不存在等腰三角形；当ADCD时，作AC的垂直平分线，交AB于点D，故此时存在一个等腰三角形；当CDBC时，以点C为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC和AB于两点，故此时存在两个等腰三角形；当BCBD时，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB边于一点，故此时存在一个等腰三角形；当CDBD时，作BC的垂直平分线交AB于一点，故此时存在一个等腰三角形；当ABAD或ABBD时，分别以点A和点B为圆心，AB为半径，与AC和BC均无另外交点，故此情况不存在等腰三角形；当ADBD时，作AB的垂直平分线交AC于一点，故此时存在一个等腰三角形综上所述，等腰三角形共有7个2. B【解析】如解图，连接CP，由ABAC，AD是ABC的一条中线可知，BPCP，当P运动到AD与CE交点时BPEPCE；当点P运动到AD的其它位置时，在CPE中，CPEPCE，故BPEP的最小值等于线段CE.第2题解图3. D【解析】题图中，S1a2，S2b2，S3c2，a2S1，b2S2，c2S3，a2b2c2，S1S2S3，即S1S2S3；题图中，S1()2，S2()2，S3()2，a2S1 ，b2S2 ，c2S3，a2b2c2，S1S2S3 ，即S1S2S3；题图中，设斜边长为a的等腰直角三角形的直角边为x，则xa，同理可得，那两个三角形的直角边分别为b和c，S1aa，S2bb，S3cc，a24S1，b24S2，c24S3，a2b2c2，4S14S24S3 ，即S1S2S3；题图中，S1a2，S2b2，S3c2，a2b2c2，S1S2S3.4. 【解析】若C，O两点关于AB对称，即AB垂直平分CO，BOBC2.BAOBAC30，在直角三角形BOA中，可求得OA2，此结论正确；由于BOABCA90，C，B，O，A四点共圆，而在圆中最长的线段即是直径为4.当CO两点是直径时为距离最大值是4，此结论正确；当AB、CO均为直径时，AB平分CO，但不一定垂直，此结论不正确；由题意求半径为2，而D点的运动轨迹是一个以O为原点，2为半径的一段弧，圆心角为BOA90，利用弧长公式，即斜边AB的路径长为，此结论不正确5. x0或x44或4x4【解析】(1)当OMx0时，如解图，以M为圆心，NM为半径画圆，交OB于点P1，则MNMP14，MP1N为以点M为顶角顶点的等腰三角形；以N为圆心，MN为半径画圆，则NMNP24，NMP2为以点N为顶角顶点的等腰三角形；过点N作NP3MB，则NP3MP3 2，NMP3为以点P3为顶角顶点的等腰三角形，恰好构成3个等腰三角形；第5题解图(2)当x4且以点N为圆心，MN为半径的圆与OB相切时，如解图，设切点为P1，连接MP1和NP1，则MNNP14，NMP1就是以N为顶角顶点的等腰三角形，NP1O90，ON4，ONx4，xON444；以M为圆心，MN为半径画圆，交OB于点P2，则MNMP2，MP2N就是以M为顶角顶点的等腰三角形；作线段MN的垂直平分线交OB于点P3，则P3MP3N，P3MN是以P3为顶角顶点的等腰三角形当x44时，点P也恰好有3个第5题解图(3)当x4且以点M为圆心，MN为半径的圆与OB相交时，设交点分别为P1，P2，如解图，连接MP1和NP1，则MNMP14，MNP1就是以M为顶角顶点的等腰三角形；连接MP2和NP2，则MNMP2，MP2N就是以M为顶角顶点的等腰三角形；作线段MN的垂直平分线交OB于点P3，则P3MP3N，P3MN是以P3为顶角顶点的等腰三角形此时以N为圆心，M为半径的圆与OB相离，此时x的取值范围是4x4.第5题解图综上所述，x的值是0或44或4x4.14
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