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提分专练(六)以平行四边形为背景的中档计算题与证明题|类型1|四边形综合运用问题1.2017酒泉 如图T6-1,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F. (1)求证:四边形BEDF是平行四边形; (2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.图T6-12.阅读下面材料: 在数学课上老师请同学们思考如下问题:如图T6-3,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到 的四边形EFGH是平行四边形吗? 小敏在思考问题时,有如下思路:连接AC,图T6-2 结合小敏的思路作答: (1)若只改变图中四边形ABCD的形状(如图),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由. 参考小敏思考问题的方法,解决问题: (2)如图,在(1)的条件下,若连接AC,BD. 当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?写出结论并证明.当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形?直接写出结论.图T6-3|类型2|四边形的折叠问题3.2018宁夏 将一张矩形纸片按如图T6-4所示折叠,若1=40,则2的度数是()图T6-4 A.40 B.50 C.60 D.704.2018贵港 如图T6-5,将矩形ABCD折叠,折痕为EF,BC的对应边BC与CD交于点M,若BMD=50,则BEF的度 数为.图T6-55.如图T6-6,矩形ABCD中,ABAD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE. (1)求证:ADECED; (2)求证:DEF是等腰三角形.图T6-66.2014淮安 如图T6-7,在ABC中,AD平分BAC,将ABC折叠,使点A与点D重合,展开后折痕分别交AB,AC于点 E,F,连接DE,DF.求证:四边形AEDF是菱形.图T6-77.如图T6-8,在矩形纸片ABCD中,已知AB=1,BC=,点E在边CD上移动,连接AE,将四边形ABCE沿直线AE折叠,得 到四边形ABCE,点B,C的对应点分别为点B,C. (1)当BC恰好经过点D时(如图),求线段CE的长; (2)若BC分别交边AD,CD于点F,G,且DAE=22.5(如图),求DFG的面积; (3)在点E从点C移动到点D的过程中,求点C运动的路径长.图T6-88.2017威海 如图T6-9,四边形ABCD为一个矩形纸片,AB=3,BC=2,动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停 止.ADP以直线AP为轴翻折,点D落到点D1的位置.设DP=x,AD1P与原纸片重叠部分的面积为y. (1)当x为何值时,直线AD1过点C? (2)当x为何值时,直线AD1过BC的中点E? (3)求出y与x的函数关系式.图T6-9|类型3|四边形的平移、旋转问题9.问题:如图T6-10,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,EAF=45,试判断BE,EF,FD之间的数量关系. 【发现证明】 小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图证明上述结论. 【类比引申】 如图,四边形ABCD中,BAD90,AB=AD,B+D=180,点E,F分别在边BC,CD上,则当EAF与BAD满足 关系时,仍有EF=BE+FD. 【探究应用】 如图,在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,B=60,ADC=120,BAD =150,道路BC,CD上分别有景点E,F,且AEAD,DF=40(-1)米,现要在E,F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的 长(结果取整数,参考数据:1.41,1.73).图T6-10参考答案1.解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,O是BD的中点,ABDC,OB=OD,OBE=ODF,又BOE=DOF,BOEDOF(ASA),EO=FO,四边形BEDF是平行四边形.(2)当四边形BEDF是菱形时,设BE=x则DE=x,AE=6-x,在RtADE中,DE2=AD2+AE2,x2=42+(6-x)2,x=,S菱形BEDF=BEAD=4=BDEF,又BD=2,2EF=,EF=.2.解:(1)四边形EFGH还是平行四边形,理由如下:连接AC,E,F分别是AB,BC的中点,EFAC,EF=AC.G,H分别是CD,AD的中点,GHAC,GH=AC,EFGH,EF=GH,四边形EFGH是平行四边形.(2)当AC=BD时,四边形EFGH是菱形,理由如下:由(1)可知四边形EFGH是平行四边形,当AC=BD时,FG=BD,EF=AC,FG=EF,四边形EFGH是菱形.当ACBD时,四边形EFGH是矩形.3.D解析 如图,易知23=1+180=220,从而3=110,又由平行线的性质,得2+3=180,进而2=70,故选D.4.705.证明:(1)四边形ABCD是矩形,AD=BC,AB=CD.由折叠的性质可得:BC=CE,AB=AE,AD=CE,AE=CD.在ADE和CED中,ADECED(SSS).(2)由(1)得ADECED,DEA=EDC,即DEF=EDF,EF=DF,DEF是等腰三角形.6.证明:由折叠可知AE=ED,AF=DF,1=2,3=4.又AD平分BAC,1=3.1=2=3=4,AEDF,AFED,四边形AEDF为平行四边形,又AE=ED,四边形AEDF为菱形.7.解:(1)由折叠得,B=B=90,AB=AB=1,BC=BC=,CE=CE,由勾股定理得,BD=,所以DC=-,因为ADE=90,所以ADB+EDC=90,又因为EDC+DEC=90,所以ADB=DEC,又B=C=90,所以ABDDCE,所以=,即=,所以CE=CE=-2.(2)BAD=B=D=90,DAE=22.5,BAE=90-22.5=67.5,BAF=67.5-22.5=45,BAF=BFA=45,DFG=AFB=DGF=45,DF=FG.在RtABF中,AB=FB=1,AF=AB=,DF=DG=-,SDFG=(-)2=-.(3)如图,点C运动的路径长为的长,在RtADC中,tanDAC=,DAC=30,AC=2CD=2.CAD=DAC=30,CAC=60,的长= .8.解:(1)如图,由题意得,ADPAD1P.AD1=AD=2,PD=PD1=x,PDA=PD1A=90.直线AD1过点C,PD1AC.在RtABC中,AB=3,BC=2,AC=,CD1=-2.在RtPCD1中,PC2=P+C,即(3-x)2=x2+(-2)2,解得x=.当x=时,直线AD1过点C.(2)如图,连接PE.E为BC中点,BE=CE=1.在RtABE中,AE=.AD1=AD=2,PD=PD1=x,D1E=-2,PC=3-x.在RtPD1E和RtPCE中,x2+(-2)2=(3-x)2+12,解得x=.当x=时,直线AD1过BC的中点E.(3)如图,当0x2时,y=x.如图,当2x3时,点D1在矩形外部,PD1与AB交于点F.ABCD,1=2.1=3,2=3,FP=FA.作PGAB,垂足为点G,设FP=FA=a,由题意得,AG=DP=x,FG=x-a.在RtPFG中,由勾股定理,得(x-a)2+22=a2,解得a=,y=2=.综上所述,当0x2时,y=x;当2x3时,y=.9.解析 【发现证明】 根据旋转的性质可以得到AE=AG,BE=DG,B=ADG=90,EAG=90,再根据“SAS”证明AFGAFE可得EF=GF,由此证得结论.【类比引申】 根据上面的特殊情况中EAF=BAD,猜想一般情况下也应满足EAF=BAD才能得到结论,证明过程与上面类似.【探究应用】 连接AF.要运用这个几何模型必须先证明EAF=75.过点A作AHCD于点H,解两个直角三角形RtAHD和RtAHF来得以实现.解:【发现证明】 证明:由旋转可得AE=AG,BE=DG,B=ADG=90,EAG=BAD=90.四边形ABCD为正方形,ADC=90,ADC+ADG=180,G,D,C三点共线.EAF=45,GAF=45,GAF=FAE.又AF=AF,AFGAFE(SAS),GF=EF.GF=GD+DF,EF=BE+DF.【类比引申】 EAF=BAD理由如下:如图,将ABE绕点A逆时针旋转BAD的度数至ADG,使AB与AD重合.由旋转可得AE=AG,BE=DG,B=ADG,BAE=DAG.B+ADC=180,ADC+ADG=180,G,D,C三点共线.BAE=DAG,BAD=EAG.EAF=BAD,GAF=FAE.又AF=AF,AFGAFE(SAS),GF=EF.GF=GD+DF,EF=BE+DF.故答案为EAF=BAD.【探究应用】 BAD=150,DAE=90,BAE=60.又B=60,ABE是等边三角形,BE=AB=80.如图,连接AF,过点A作AHCD交CD的延长线于点H.在RtAHD中,ADH=180-ADC=60,AD=80,HAD=30,HD=AD=40,AH=40.DF=40(-1),HF=HD+DF=40+40(-1)=40,在RtAHF中,AH=HF,HAF=45,DAF=15,EAF=90-15=75,EAF=BAD.运用上面的结论可得EF=BE+DF=80+40(-1)=40+40109.即这条道路EF的长约为109米.14
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