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第13课时二次函数的图象与性质基础过关1. (2017长沙)抛物线y=2(x-3)2+4的顶点坐标是( )A. (3，4) B. (-3，4)C. (3，-4) D. (2，4)2. (2017来宾)设M-x2+4x-4，则（）A. M0 B. M0C. M0 D. M03. （2017金华）对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是( )A. 对称轴是直线x=1,最小值是2B. 对称轴是直线x=1,最大值是2C. 对称轴是直线x=-1,最小值是2D. 对称轴是直线x=-1,最大值是24. （2017菏泽）一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )第4题图5. (2017崇左)对于函数y=-2(x-m)2的图象，下列说法不正确的是()A. 开口向下 B. 对称轴是x=mC. 最大值为0 D. 与y轴不相交6. （2017眉山）若一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y=ax2-ax( )A. 有最大值 B. 有最大值- C. 有最小值 D. 有最小值- 7. (2017杭州)设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数，且a1，则(m-1)a+b0B. 若m1，则(m-1)a+b0C. 若m0D. 若m1，则(m+1)a+b08. （2017攀枝花）二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列命题中正确的是( )第8题图A. abcB. 一次函数y=ax+c的图象不经过第四象限C. m(am+b)+ba(m是任意实数)D. 3b+2c09. （2017泰安）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x-1013y-3131下列结论：抛物线的开口向下；其图象的对称轴为x=1；当x1时，函数值y随x的增大而增大；方程ax2+bx+c=0有一个根大于4.其中正确的结论有( )A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个10. （2017荆门）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c(a0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. a0,b0B. - =1C. a+b+c0D. 关于x的方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根第10题图11. (2017湘西州)已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)如图所示，则下列6个代数式：ac,abc,2a+b,a+b+c,4a-2b+c,b2-4ac,其中值大于0的个数为（）第11题图A. 2 B. 3 C. 4 D. 512. （2017天津）已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M落在x轴上，点B平移后的对应点B落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为( )A. y=x2+2x+1 B. y=x2+2x-1C. y=x2-2x+1 D. y=x2-2x-113. （2017乐山）已知二次函数y=x2-2mx(m为常数)，当-1x2时，函数值y的最小值为-2，则m的值是( )A. B. C. 或 D. -或14. （2017阿坝州）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为（1，0）,其部分图象如图所示，下列结论：4acb2; 方程ax2+bx+c0的两个根是x1=-1，x23;3a+c0当y0时，x的取值范围是-1x3当x0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个第14题图15. (2017上海)已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，-1)，那么这个二次函数的解析式可以是.(只需写一个)16. （2017盐城盐都区一模）二次函数y=x2+6x+5图象的顶点坐标为.17. （2017衡阳）已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a2，则y1与y2的大小关系是y1y2(填“”、“”或“=”).18. (2017广州)当x=时，二次函数y=x2-2x+6有最小值.19. (2017青岛)若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是.20. (2017兰州)如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为.第20题图21. （2017百色）经过A（4，0），B（-2，0），C（0，3）三点的抛物线的解析式是.22. （2017武汉）已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2m3，则a的取值范围是.23. （2017南京二模）已知二次函数y1=a(x-2)2+k中，函数y1与自变量x的部分对应值如表：x1234y2125 (1)求该二次函数的表达式；（2）将该函数的图象向左平移2个单位长度，得到二次函数y2的图象，分别在y1、y2的图象上取点A（m,n1）,B(m+1,n2)，试比较n1与n2的大小.24. （2017北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式；(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，与直线BC交于点N(x3,y3).若x1x2x3,结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围.25. (2017南京二模)已知二次函数y=-x2+2mx-2m2-3（m为常数）.（1）求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴没有公共点；（2）如果把该函数图象沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，试求m的值.26. （2017南通一模）已知二次函数y=-2x2+4x+6.（1）求出该函数图象的顶点坐标，图象与x轴的交点坐标;（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？（3）当x在什么范围内时，y6?27. (2017荆州)已知关于x的一元二次方程x2+(k-5)x+1-k=0,其中k为常数.(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根; (2)已知函数y=x2+(k-5)x+1-k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；(3)若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.28. （2017杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=(x+a)(x-a-1)，其中a0.(1)若函数y1的图象经过点(1，-2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a,b满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上,若mn，求x0的取值范围.满分冲关1. (2017河北)如图，若抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y= (x0)的图象是（）第1题图2. （2017绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为( )A. y=x2+8x+14 B. y=x2-8x+14C. y=x2+4x+3 D. y=x2-4x+33. (2017来宾)已知函数y=|x2-4|的大致图象如图所示，如果方程|x2-4|=m(m为实数)有4个不相等的实数根，则m的取值范围是.第3题图4. （2017乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点(-1，0)，且对称轴为直线x=1，有下列结论：第4题图abc0； 10a+3b+c0； 抛物线经过点(4，y1)与点(-3，y2),则y1y2; 无论a,b,c取何值，抛物线都经过同一个点(-,0); am2+bm+a0.其中所有正确的结论是.5. （2017天门）已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+(m2+1)=0有实数根.(1)求m的值；(2)先作y=x2-(m+1)x+(m2+1)的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+n(nm)与变化后的图象有公共点时，求n2-4n的最大值和最小值.答案基础过关1. A【解析】由抛物线顶点式为ya(xh)2k可知抛物线y2(x3)24的顶点坐标为(3，4)2. B【解析】M(x24x4)(x2)2，又(x2)20，M0.3. B【解析】由二次函数y(x1)22可知，对称轴为直线x1，排除C、D，函数开口向下，有最大值，当x1时，y取最大值，为2.4. A【解析】由图象可知a0，c0，结合选项可知二次函数yax2bxc开口向下，对称轴在y轴右侧，且交于y轴的负半轴，故选A.5. D【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误Aa20，函数图象开口向下B函数图象的对称轴是xmCa21时，则m10，(m1)abmaabmaa2aa(m3)，a0，而m3的正负性无法确定，a(m3)的正负性无法确定，所以A，B错误；当m1时，则m10，(m1)abmaabmaa2aa(m1)，a0，m10，所以C正确，D错误8. D【解析】由题意知，抛物线对称轴为x1，即ab，又a0，ab，故A错误；a0，c0，一次函数yaxc的图象不经过第二象限，故B错误；m(amb)bam2bmbam22am2aa(m1)2a且a0，a(m1)2a有最小值，最小值为a.m(amb)ba(m为任意实数)，故C错误；当x1时，yabc0，bbc0，即3b2c0，故D正确9. B【解析】逐序号分析如下：结论逐序号分析正误x0和x3时，y1，抛物线的对称轴为x，01，13，在对称轴左侧y随x的增大而增大， 抛物线开口向下由知错误由知当x时，y随x的增大而增大，则当x1时，y随x的增大而增大当x1时y30，当x0时，y10，抛物线与x轴的左交点的横坐标在1到0之间，根据对称性可知，抛物线与x轴的右交点在3到4之间，则方程ax2bxc0的根不会大于4综上所述，正确结论的个数为2.【一题多解】根据题意，将点(0，1)，(1，3)，(3，1)代入抛物线得：，解得，则所求抛物线解析式为yx23x1，则a0，开口向下，正确；对称轴为x1，错误；由抛物线图象可知，当x时，y随x的增大而增大，则当x1时，y随x的增大而增大，正确；解方程x23x10得x1，x2，34，4，错误10. D【解析】二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与y轴交于负半轴，所以a0，b0，c0，故A错误；对称轴为x1，故B错误；当x1时，yabc0，故C错误；yax2bxc与y1有两个交点，故ax2bxc1有两个不相等的实数根，故D正确11. C【解析】由抛物线的开口向上，可知a0，由对称轴在0到1之间得00.故这6个代数式中值大于0的有4个12. A【解析】抛物线与x轴交于A、B两点，令y0，即x24x30，解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，yx24x3(x2)21，M(2，1)要使平移后的抛物线的顶点在x轴上，需将图象向上平移1个单位，要使B平移后的对应点B落在y轴上，需向左平移3个单位，M(1，0)，则平移后二次函数的解析式为y(x1)2，即yx22x1，故选A.13. D【解析】因为二次函数的对称轴为xm，所以对称轴不确定，因此需要讨论研究的范围落在对称轴哪边，当m2时，此时1x2落在对称轴的左边，当x2时y取得最小值2，即2222m2，解得m(舍)；当1m2时，此时在对称轴xm处取得最小值2，即2m22mm，解得m或m，又1m0，所以正确；抛物线的对称轴为直线x1，而点(1，0)关于直线x1的对称点的坐标为(3，0)，方程ax2bxc0的两个根是x11，x23，所以正确；x1，即b2a，而x1时，y0，即abc0，a2ac3ac0，所以错误；抛物线与x轴的两点坐标为(1，0)，(3，0)，当1x0，所以错误；抛物线的对称轴为直线x1，当x9【解析】抛物线yx26xm与x轴没有交点，方程x26xm0没有实数解，即b24ac(6)24m9.【一题多解】抛物线yx26xm化为顶点式得y(x3)2m9，其开口向上，若抛物线与x轴没有交点，则顶点在x轴上方，即m90，解得m9.20. (2，0)【解析】抛物线上点P和点Q关于x1对称，P(4，0)，可设Q(m，0)，1，解得m2，Q(2，0)21. y(x4)(x2)【解析】根据题意得，设抛物线解析式为ya(x4)(x2)，把C(0，3)代入上式得，3a(04)(02)，解得a，故抛物线解析式是y(x4)(x2)22. a或3a2【解析】令y0，即ax2(a21)xa0，(ax1)(xa)0，关于x的二次函数yax2(a21)xa的图象与x轴的交点为(，0)和(a，0)，即m或ma.又2m3，则a或3a0时，m，当6m3，当m0，即n1n2，当m时，n1n20，即n1n2，当m时，n1n20，即n1n2.24. 解：(1)抛物线yx24x3与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，令y0，则有x24x3(x3)(x1)0，解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)抛物线yx24x3与y轴交于点C，令x0，得y3，C(0，3). 设直线BC的表达式为ykxb(k0)，将B(3，0) ，C(0，3)代入ykxb，得，解得，直线BC的表达式为yx3；(2)yx24x3(x2)21，抛物线对称轴为x2，顶点为(2，1)ly轴，l交抛物线于点P、Q，交BC于点N，x1x2x3，1y1y2y30，点P、Q关于x2对称，1x330，2, 3x34, x1x24，7x1x2x38. 25. (1)证明：令y0，即x22mx2m230，则a1，b2m，c2m23，b24ac(2m)24(1)(2m23)4m212，4m20，4m2120，即b24ac0，无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)解：二次函数图象不经过第三象限，对称轴x0，且不与y轴负半轴相交，即1k0，联立，解得k1；(3)依题意得，对于yx2(k5)x1k，该抛物线图象开口向上，当x3时，y0，y323(k5)1k0，即2k50，k，k的最大整数取2.28. 解：(1)函数y1(xa)(xa1)的图象经过点(1，2)，把x1，y2代入y1(xa)(xa1)得，2(1a)(a)，化简得，a2a20，解得a12，a21，y1x2x2；(2)函数y1(xa)(xa1)的图象在x轴的交点为(a，0)，(a1，0)，当函数y2axb的图象经过点(a，0)时，把xa，y0代入y2axb中，得a2b；当函数y2axb的图象经过点(a1，0)时，把xa1，y0代入y2axb中，得a2ab；实数a，b满足的关系式是a2b或a2ab; (3)抛物线y1(xa)(xa1)的对称轴是直线x，mn，二次项系数为1，抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大，mn，点Q离对称轴x的距离比P离对称轴x的距离大，|x0|1，0x01.满分冲关1. D【解析】在抛物线yx23中，令y0，解得x，令x0，则y3，抛物线与x轴围成封闭区域(边界除外)内的整点有：(1，1)，(1，1)，(0，1)，(0，2)，共4个，k4，反比例函数解析式为y，其图象经过点(1，4)，(2，2)，(4，1)，符合的图象如选项D.2. A【解析】由于矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，A(2，1)，则C(2，1)，要使A点与C点重合，抛物线移动路径为先向下移动2个单位长度，再向左移动4个单位长度，原抛物线为yx2，后来的抛物线解析式为y(x4)22x28x14.3. 0m4【解析】当x0时，y|x24|4，得图象与y轴交点坐标为(0，4)，如解图，直线y4与y|x24|的图象有三个交点，当0m4时，有4个交点，即方程有4个不相等的实数根，故m的取值范围为0m4.第3题解图4. 【解析】抛物线开口向上，a0，对称轴为直线x1，b0，抛物线图象与y轴交于负半轴，c0，abc0，故错误；抛物线yax2bxc过点(1，0)，且对称轴为x1，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，当x3时，y9a3bc0，又a0，10a3bc0，故正确；根据抛物线的对称性可知，x2与x4时y值相同，抛物线开口向上，当x在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，且32，y1y2，故错误；抛物线yax2bxc过点(1，0)，abc0，抛物线对称轴为x1，b2a，a2ac0，即c3a，当x时，ya()22a()c3c3(3a)0，故正确；b2a，am2bmaam22amaa(m1)2，a0，(m1)20，am2bma0，故正确故正确的结论是.5. 解：(1)方程有实数根，(m1)24(m21)0，化简得(m1)20，m10，m1；(2)由(1)可知，yx22x1(x1)2，关于x轴对称后的函数解析式为y(x1)2，再向左平移3个单位，向上平移2个单位，得函数解析式为y(x13)22，化简得yx24x2，变化后的函数解析式为yx24x2；(3)直线y2xn与yx24x2有交点，令2xnx24x2，化简后得x26xn20，b24ac6241(n2)0，解得n7，nm，m1，n1，1n7，令tn24n(n2)24，当n2时，抛物线取得最小值，tmin4；抛物线的对称轴为n2，图象开口向上，当n7时，抛物线取得最大值，tmax724721，n24n的最大值为21，最小值为4.20
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