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几何图形的动点问题一、选择题1.如图，在RtPMN中，P=90，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B，C（M）、N在同一直线上，令RtPMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（ ）A.B.C.D.2.如图1,在矩形ABCD中,动点E从A出发,沿 方向运动,当点E到达点C时停止运动,过点E做 ,交CD于F点,设点E运动路程为x, ,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象,当点E在BC上运动时,FC的最大长度是 ,则矩形ABCD的面积是( )A.B.C.6D.53.如图甲，A，B是半径为1的O上两点，且OAOB点P从A出发，在O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（ ）A.B.C.或D.或4.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，ABC=45，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BCCDDA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（ ）A.B.C.D.5.如图,矩形ABCD,R是CD的中点,点M在BC边上运动,E，F分别为AM，MR的中点,则EF的长随M点的运动( )A.变短B.变长C.不变D.无法确定二、填空题 6.在RtABC中，AB=1，A=60，ABC=90，如图所示将RtABC沿直线l无滑动地滚动至RtDEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为_（结果不取近似值）7.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的B上 有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为_8.如图，在ABC中，BCAC5，AB8，CD为AB边的高，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动ABC在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动（1）连接OC，线段OC的长随t的变化而变化，当OC最大时，t_； （2）当ABC的边与坐标轴平行时，t_。 9.如图，平面直角坐标系中，点A、B分别是x、y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，则OC的最大值为_10.如图，在直角坐标系中，A的圆心的坐标为（2，0），半径为2，点P为直线y= x+6上的动点，过点P作A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是_三、综合题 11.如图，梯形ABCD中，ADBC，BAD=90，CEAD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm从初始时刻开始，动点P，Q 分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿ABCE的方向运动，到点E停止；动点Q沿BCED的方向运动，到点D停止，设运动时间为xs，PAQ的面积为ycm2 ， （这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1）当x=2s时，y=_cm2；当x= s时，y=_cm2 （2）当5x14 时，求y与x之间的函数关系式 （3）当动点P在线段BC上运动时，求出 时x的值 （4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值 12.如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动连接PQ，设运动时间为t（0t4）s，解答下列问题：（1）求证：BEFDCB； （2）当点Q在线段DF上运动时，若PQF的面积为0.6cm2 ， 求t的值； （3）如图2过点Q作QGAB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，PQF为等腰三角形？试说明理由 13.如图1，点P为四边形ABCD所在平面上的点，如果PAD=PBC，则称点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的横坐标为6（1）如图2，若A、D两点的坐标分别为A（6，4）、D（0，4），点P在DC边上，且点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，则点P的坐标为_； （2）如图3，若A、D两点的坐标分别为A（2，4）、D（0，4）若P在DC边上时，求四边形ABCD关于A、B的等角点P的坐标；在的条件下，将PB沿x轴向右平移m个单位长度（0m6）得到线段PB，连接PD，BD，试用含m的式子表示PD2+BD2 ， 并求出使PD2+BD2取得最小值时点P的坐标；如图4，若点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，且点P坐标为（1，t），求t的值；以四边形ABCD的一边为边画四边形，所画的四边形与四边形ABCD有公共部分，若在所画的四边形内存在一点P，使点P分别是各相邻两顶点的等角点，且四对等角都相等，请直接写出所有满足条件的点P的坐标 14.如图1，点P、Q分别是等边ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M（1）ABQ与CAP全等吗？请说明理由； （2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数 （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在AB、BC的延长线上运动，直线AQ、CP交点为M，则QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数 15.如图1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动（1）点P到达终点O的运动时间是_s，此时点Q的运动距离是_cm； （2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为_cm； （3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm； （4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y= 过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值 答案解析 一、选择题1.【答案】A 【解析】 ：P=90，PM=PN，PMN=PNM=45，由题意得：CM=x，分三种情况：当0x2时，如图1，边CD与PM交于点E，PMN=45，MEC是等腰直角三角形，此时矩形ABCD与PMN重叠部分是EMC，y=SEMC= CMCE= ；故答案为：项B和D不正确；如图2，当D在边PN上时，过P作PFMN于F，交AD于G，N=45，CD=2，CN=CD=2，CM=62=4，即此时x=4，当2x4时，如图3，矩形ABCD与PMN重叠部分是四边形EMCD，过E作EFMN于F，EF=MF=2，ED=CF=x2，y=S梯形EMCD= CD（DE+CM）= =2x2；当4x6时，如图4，矩形ABCD与PMN重叠部分是五边形EMCGF，过E作EHMN于H，EH=MH=2，DE=CH=x2，MN=6，CM=x，CG=CN=6x，DF=DG=2（6x）=x4，y=S梯形EMCDSFDG= = 2（x2+x） = +10x18，故答案为：项A不符合题意；故答案为：A【分析】根据等腰直角三角形的性质得出PMN=PNM=45，由题意得：CM=x，分三种情况：当0x2时，如图1，边CD与PM交于点E，MEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的面积计算方法即可dechuy与x之间的函数关系式；y=x2；如图2，当D在边PN上时，过P作PFMN于F，交AD于G，根据等腰直角三角形的性质得出CN=CD=2，故CM=62=4，即此时x=4，当2x4时，如图3，矩形ABCD与PMN重叠部分是四边形EMCD，过E作EFMN于F，根据等腰直角三角形的性质得出EF=MF=2，ED=CF=x2，故y=S梯形EMCD=2x-2;当4x6时，如图4，矩形ABCD与PMN重叠部分是五边形EMCGF，过E作EHMN于H，EH=MH=2，DE=CH=x2，CG=CN=6x，DF=DG=2（6x）=x4，由y=S梯形EMCDSFDG=- x2+10x-18，根据三段函数的函数图像即可作出判断。2.【答案】B 【解析】 由图象可知AB= ，当点E在BC上时，如图：FEC+AEB=90，FEC+EFC=90，AEB=EFC，C=B=90，CFEBEA， ，设BE=CE=x- ，即 ， ，因FC 的最大长度是 ，当 时，代入解析式，解得： (舍去), ，BE=CE=1，BC=2，AB= ，矩形ABCD的面积为2 =5.故答案为：B.【分析】根据图像获取信息解决问题。由图象可知AB=，当点E在BC上时，如图：根据同角的余角相等得出AEB=EFC，又C=B=90，从而判断出CFEBEA，根据相似三角形对应边成比例得出CFBECEAB,设BE=CE=x-,从而根据比例式得出y与x之间的函数关系，因FC 的最大长度是，把y=代入y与x之间的函数关系式，求出x的值，并检验即可求出BC的值，根据矩形的面积计算方法，即可得出答案。3.【答案】C 【解析】 当点P顺时针旋转时，图象是，当点P逆时针旋转时，图象是，故答案为.故答案为：C【分析】由题意知PB的最短距离为0，最长距离是圆的直径；而点P从A点沿顺时针旋转和逆时针旋转后与点B的距离有区别，当点P从A点沿顺时针旋转时，弦BP的长度y的变化是：从AB的长度增大到直径的长，然后渐次较小至点B为0，再从点B运动到点A，则弦BP的长度y由0增大到AB的长；当点P从A点沿逆时针旋转时，弦BP的长度y的变化是：从AB的长度减小到0，再由0增大到直径的长，最后由直径的长减小到AB的长。4.【答案】A 【解析】 ：分三种情况讨论：当0t2时，过A作AEBC于EB=45，ABE是等腰直角三角形AB= ，AE=1，S= BPAE= t1= t；当2t 时，S= = 21=1；当 t 时，S= APAE= （ -t）1= （ -t）故答案为：A【分析】根据题意分三种情况讨论：当0t2时，过A作AEBC于E；当2t 2 +时；当 2 + t 4 +时，分别求出S与t的函数解析式，再根据各选项作出判断，即可得出答案。5.【答案】C 【解析】 ：E，F分别为AM，MR的中点,EF是ANR的中位线EF= ARR是CD的中点，点M在BC边上运动AR的长度一定EF的长度不变。故答案为：C【分析】根据已知E，F分别为AM，MR的中点,，可证得EF是ANR的中位线，根据中位线定理，可得出EF= AR，根据已知可得出AR是定值，因此可得出EF也是定值，可得出结果。二、填空题6.【答案】+ 【解析】 ：RtABC中，A=60，ABC=90，ACB=30，BC= ，将RtABC沿直线l无滑动地滚动至RtDEF，点B路径分三部分：第一部分为以直角三角形30的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为150的弧长；第二部分为以直角三角形60的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为120的弧长；第三部分为ABC的面积.点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积= 故答案为 【分析】首先根据三角形的内角和及含30直角三角形的边之间的关系得出ACB=30，BC=，将RtABC沿直线l无滑动地滚动至RtDEF，点B路径分三部分：第一部分为以直角三角形30的直角顶点为圆心， 3 为半径，圆心角为150的弧长；第二部分为以直角三角形60的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为120的弧长；第三部分为ABC的面积.根据扇形的面积公式及三角形的面积公式计算即可。7.【答案】【解析】 ：作A关于y轴的对称点A，则A（4，0），OC是AAP的中位线，当AP取最小值时，OC取最小值连接AB交B于点P，此时AP最小在RtOAB中，OA=4，OB=3，AB=5，AP=5-2=3，OC= ，OC的最小值 故答案为： 【分析】作A关于y轴的对称点A，可得出点A的坐标，可证得OC是AAP的中位线，因此当AP取最小值时，OC取最小值连接AB交B于点P，此时AP最小，再利用勾股定理求出AB，再根据圆的半径求出AP的长，利用三角形的中位线定理，即可求出OC的最小值 。8.【答案】（1）（2）t 【解析】 （1）如图：当 三点共线时， 取得最大值， （ 2 ）分两种情况进行讨论：设 时，CAOA，CAy轴，CAD=ABO.又 RtCADRtABO， 即 解得 设 时， CBx轴，RtBCDRtABO， 即 综上可知,当以点C为圆心,CA为半径的圆与坐标轴相切时,t的值为 或 故答案为： 或 【分析】（1）当 O , C , D 三点共线时，OC取得最大值，此时OC是线段AB的中垂线， 根据中垂线的性质，及勾股定理得出OA =OB = 4, 然后根据时间等于路程除以速度即可得出答案；（ 2 ）分两种情况进行讨论：设OA = t 1 时，CAOA，故CAy轴，然后判断出RtCADRtABO，根据相似三角形对应边成比例得出ABCA = AOCD ,从而得出答案；设 A O = t 2 时，BC OB ，故CBx轴，然后判断出RtBCDRtABO，根据相似三角形对应边成比例得出BCAB=BD AO,从而得出答案.9.【答案】【解析】 如图，取AB的中点E，连接OE、CE，则BE= 2=1，在RtBCE中，由勾股定理得，CE= ,AOB=90，点E是AB的中点，OE=BE=1，由两点之间线段最短可知，点O、E、C三点共线时OC最大，OC的最大值= +1故答案为： +1【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、CE，由两点之间线段最短可知，点O、E、C三点共线时OC最大，在RtBCE中，由勾股定理得出CE的长，在RtABO中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OE的长，根据线段的和差即可得出答案。10.【答案】【解析】 如图，作AP直线 垂足为P，作 的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，A的坐标为 设直线与y轴,x轴分别交于B，C， 在 与 中， ， 故答案为: 【分析】如图，作AP直线 y=x+6 ， 垂足为P，作A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，设直线与y轴,x轴分别交于B，C，根据直线与坐标轴交点的坐标特点得出B,C两点的坐标，从而得出OB,AC的长，根据勾股定理得出BC的长，从而得出AC=BC ，然后利用AAS判断出APCBOC ，根据全等三角形对应边相等得出AP=OB=6 ， 根据勾股定理得出PQ的长。三、综合题11.【答案】（1）2；9（2）解：当5x9时（如图1）y= = （5+x-4）4- 5（x-5）- （9-x）（x-4）y= x2-7x+ 当9x13时（如图2）y= （x-9+4）（14-x）y=- x2+ x-35当13x14时（如图3）y= 8（14-x）y=-4x+56；（3）解：当动点P在线段BC上运动时，y= = （4+8）5=88= x2-7x+ ，即x2-14x+49=0，解得：x1=x2=7当x=7时，y= （4）解：设运动时间为x秒，当PQAC时，BP=5-x，BQ=x，此时BPQBAC，故 ，即 ，解得x= ；当PQBE时，PC=9-x，QC=x-4，此时PCQBCE，故 ，即 ，解得x= ；当PQBE时，EP=14-x，EQ=x-9，此时PEQBAE，故 ，即 ，解得x= 综上所述x的值为：x= 、 或 【解析】【解答】（1）解：当x=2s时，AP=2，BQ=2，y= =2当x= s时，AP=4.5，Q点在EC上y= =9【分析】（1）当x=2s时，得出AP=2，BQ=2，利用三角形的面积公式直接可以求出y的值，再根据x的值可得出PAQ的高就是4，底为4.5，由三角形的面积公式可以求出其解。（2）当5x14 时，求y与x之间的函数关系式要分为三种不同的情况进行表示：当5x9时，当9x13时，当13x14时，根据三角形的面积公式，分别计算即可。（3）根据已知条件求出y的值为8，再根据当5x9时y与x的函数解析式，由y=8建立方程求解即可。（4）设运动时间为x秒，当PQAC时，BP=5-x，BQ=x，根据BPQBAC，得出对应边成比例，求出x的值；当PQBE时，PC=9-x，QC=x-4，证明PCQBCE，得出对应边成比例，求出x的值；当PQBE时，EP=14-x，EQ=x-9，可证得PEQBAE，得出对应边成比例，求出x的值，从而可得出答案。12.【答案】（1）解：证明：四边形 是矩形，在 中， 分别是 的中点，（2）解：如图1，过点 作 于 ，（舍）或 秒（3）解：四边形 为矩形时,如图所示：解得： （4）解：当点 在 上时，如图2， 当点 在 上时， 如图3，时，如图4，时，如图5，综上所述， 或 或 或 秒时， 是等腰三角形 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可证得ADBC，A=C，根据中位线定理可证得EFAD，就可得出EFBC，可证得BEF=C，BFE=DBC，从而可证得结论。（2）过点Q作QMEF，易证QMBE，可证得QMFBEF，得出对应边成比例，可求出QM的值，再根据PQF的面积为0.6cm2 ， 建立关于t的方程，求解即可。（3）分情况讨论：当点 Q 在 DF 上时，如图2， PF=QF；当点 Q 在 BF 上时， PF=QF， 如图3；PQ=FQ 时，如图4；PQ=PF 时，如图5，分别列方程即可解决问题。13.【答案】（1）（0，2）（2）解：DAP=CBP，BCP=ADP=90，ADPBCP， = = ，CP=3DP，CP=3，DP=1，P点坐标为（0，3）；如图3，由题意，易得 B（m6，0），P（m，3）由勾股定理得PD2+BD2=PP2+PD2+OD2+BC2=m2+（43）2+42+（m6）2=2m212m+53，20PD2+BD2有最小值，当m= =3时，（在0m6范围内）时，PD2+BD2有最小值，此时P坐标为（3，3）；由题意知，点P在直线x=1上，延长AD交直线x=1于M，（a）如图，当点P在线段MN上时，易证PAMPBN， ，即 ，解得t=28(b）如图，当点P为BA的延长线与直线x=1的交点时，易证PAMPBN， ，即 ，解得t=7，综上可得，t=28或t=7；因满足题设条件的四边形是正方形，故所求P的坐标为（1，3），（2，2），（3，3），（2，0） 【解析】【解答】解：（1）由B点坐标（6，0），A点坐标（6，4）、D点坐标（0，4），可以得出四边形ABCD为矩形，P在CD边上，且PAD=PBC，ADP=BCP，BC=AD；ADPBCP，CP=DP，P点坐标为（0，2）；【分析】（1）先求得正方形ABCD各顶点的坐标，再由点P的位置及等角点的定义证得ADPBCP，即证得CP=DP，从而求得点P的坐标；（2）通过证ADPBCP，即可得到对应线段的比例，即可求得点P的坐标；先根据平移的性质可设出点B，P的坐标，再通过勾股定理用含m的式子表示PD2+BD2 ， 再利用二次函数的图像特征可知PD2+BD2有最小值，同时可求得此时m的值，进而求得点P的值；先确定AP，BP所在三角形，并证明这两个三角形相似，利用相应的线段比求得t值即可；先根据题意判断满足条件的四边形的形状，即可确定点P的坐标.14.【答案】（1）解：全等，理由如下：ABC是等边三角形ABQ=CAP，AB=CA，又点P、Q运动速度相同，AP=BQ，在ABQ与CAP中， ，ABQCAP（SAS）（2）解：点P、Q在运动的过程中，QMC不变理由：ABQCAP，BAQ=ACP，QMC=ACP+MAC，QMC=BAQ+MAC=BAC=60（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，QMC不变理由：ABQCAP，BAQ=ACP，QMC=BAQ+APM，QMC=ACP+APM=180-PAC=180-60=120 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得出ABQ=CAP，AB=CA，再根据点P、Q运动速度相同，得出AP=BQ，然后利用SAS可证得结论。（2）根据全等三角形的性质可得出BAQ=ACP，再根据三角形外角的性质及等量代换，可证得结论。（3）点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，QMC不变，先根据已知证明ABQCAP，得出BAQ=ACP，再根据三角形的外角性质，可求出QMC的度数。15.【答案】（1）；（2）（3）解：设运动时间为t秒时，由运动知，AP=3t，CQ=2t，同（2）的方法得，PE=6，EQ=163t2t=165t，点P和点Q之间的距离是10cm，62+（165t）2=100，t= 或t= （4）解：k的值是不会变化，理由：四边形AOCB是矩形，OC=AB=6，OA=16，C（6，0），A（0，16），直线AC的解析式为y= x+16，设运动时间为t，AP=3t，CQ=2t，OP=163t，P（0，163t），Q（6，2t），PQ解析式为y= x+163t，联立解得，x= ，y= ，D（ ， ），k= = 是定值 【解析】【解答】解：（1）四边形AOCB是矩形，OA=BC=16，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，t= ，此时，点Q的运动距离是 2= cm；（ 2 ）如图1，由运动知，AP=32=6cm，CQ=22=4cm，过点P作PEBC于E，过点Q作QFOA于F，四边形APEB是矩形，PE=AB=6，BE=6，EQ=BCBECQ=1664=6，根据勾股定理得，PQ=6 ；【分析】（1）根据矩形的性质得出OA=BC=16，根据时间等于路程除以速度得出点P到达终点O的运动时间；再根据路程等于速度乘以时间得出点Q的运动距离；（2）由运动知，AP=32=6cm，CQ=22=4cm，过点P作PEBC于E，过点Q作QFOA于F，可以判定四边形APEB是矩形，根据矩形的对边相等得出PE=AB=6，BE=6，根据线段的和差得出EQ的长，根据勾股定理即可得出PQ的长；（3）设运动时间为t秒时，点P和点Q之间的距离是10cm；由运动知，AP=3t，CQ=2t，同（2）的方法得，PE=6，EQ=163t2t=165t，根据勾股定理及点P和点Q之间的距离是10cm，列出方程，求解即可得出t的值；（4）k的值是不会变化，根据矩形的性质得出OC=AB=6，OA=16，从而得出C,A两点的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+16，设运动时间为t，故AP=3t，CQ=2t，OP=163t，从而得出P,Q两点的坐标，利用待定系数法求出PQ解析式为y=，联立解得D点的坐标，根据双曲线上点的坐标特点得出k是定值。24
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