浙江省2018年中考数学总复习 第五章 基本图形(二)第28讲 图形的相似 第1课时 相似形讲解篇

第28讲图形的相似第1课时相似形1比例线段考试内容考试要求比例线段定义在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段a基本性质若，则adbc.当bc时，b2ad，那么b是a、d的比例中项黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC(ACBC)，如果AC是线段AB和BC的比例中项，且0.618，那么点C叫做线段AB的黄金分割点2.平行线分线段成比例考试内容考试要求基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 c推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例3.相似图形的有关概念考试内容考试要求相似图形_相同的图形称为相似图形a相似多边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别 ，边 ，那么这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应 的比叫做相似比(1)相似多边形周长的比等于相似比；(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方相似三角形两个三角形的三个角分别_ ，三条边 ，则这两个三角形相似当相似比等于1时，这两个三角形 4.相似三角形的判定考试内容考试要求判定1_于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似a判定2三边 的两个三角形相似判定3两边 且夹角 的两个三角形相似判定4两角分别 的两个三角形相似判定5满足斜边和一条直角边 的两个直角三角形相似拓展直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似5.相似三角形的性质考试内容考试要求性质1.相似三角形的对应角 ，对应边 a2.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于 3.相似三角形面积的比等于相似比的_.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做重心三角形的重心分每一条中线成12的两条线段拓展如图，ABC中，ACB90，CD是斜边AB上的高，则有下列结论AC2ADAB；BC2BDAB；CD2ADBD；ABCDACBC.考试内容考试要求基本思想转化思想：证角相等，证比例线段往往转化为证相似三角形；测量问题，往往构建相似三角形，即实际问题转化为相似三角形问题来解决b1 (2017杭州)如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DEBC，若BD2AD，则()A. B. C. D.2(2015嘉兴)如图，直线l1l2l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH2，HB1，BC5，则的值为()A. B2 C. D.3(2015嘉兴)如图是百度地图的一部分(比例尺14000000)按图可估测杭州在嘉兴的南偏西_度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约2cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为_【问题】如图，点D在ABC的边AC上(1)要判断ADB与ABC相似，添加一个条件是_；(2)若ADBABC，AB4，AD2，则AC_；(3)通过(1)、(2)解答，你能说出相似三角形哪些知识？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理比例、相似多边形有关概念，相似三角形性质、判定类型一比例性质、黄金分割等相关概念(1)(2016山西)宽与长的比是(约0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连结EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GHAD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是()A矩形ABFE B矩形EFCD C矩形EFGH D矩形DCGH【解后感悟】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DFGF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形(2) 已知0，求的值【解后感悟】这类题我们一般是设辅助未知数k，即比值为k，把所有字母都用含有k的式子表示出来，从而达到计算或化简的目的1在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比已知这本书的长为20cm，则它的宽约为()A12.36cm B13.6cm C32.36cm D7.64cm2 (2015扬州)如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上，若线段AB4cm，则线段BCcm.类型二相似多边形已知矩形ABCD中，AB1，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ADCB相似，则AD()A. B. C. D2【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质：对应边的比等于相似比3(2015葫芦岛)如图，在矩形ABCD中，AD2，CD1，连结AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连结AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn1的面积为_类型三相似三角形的判定与性质(2016南充)已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足PBCPAM，延长BP交AD于点N，连结CM.(1)如图1，若点M在线段AB上，求证：APBN；AMAN；(2)如图2，在点P运动过程中，满足PBCPAM的点M在AB的延长线上时，APBN和AMAN是否成立？(不需说明理由)是否存在满足条件的点P，使得PC？请说明理由【解后感悟】本题考查相似三角形的性质、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题4 (1)如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则SADES四边形BCED的值为()A1 B12 C13 D14(2) (2016河北)如图，ABC中，A78，AB4，AC6.将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()5(1)(2015自贡)将一副三角板按图叠放，则AOB与DOC的面积之比等于.(2)(2015无锡市南长区模拟)如图，ABC中，AB5，BC3，CA4，D为AB的中点，过点D的直线与BC所在直线交于点E，若直线DE截ABC所得的三角形与ABC相似，则DE.类型四与相似三角形相关的问题如图，点A，B，C，D为O上的四个点，AC平分BAD，AC交BD于点E，CE4，CD6，则AE的长为()A4 B5 C6 D7【解后感悟】本题运用圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出CADCDB，证明ACDDCE.6 (1)已知：在ABC中，BC10，BC边上的高h5，点E在边AB上，过点E作EFBC，交AC边于点F.点D为BC上一点，连结DE、DF.设点E到BC的距离为x，则DEF的面积S关于x的函数图象大致为()(2)(2015杭州模拟)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图的方式向外扩张，得到新的三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似乙：将邻边为3和5的矩形按图的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似对于两人的观点，下列说法正确的是()A两人都对 B两人都不对C甲对，乙不对 D甲不对，乙对(3) (2015滨州)如图，在x轴的上方，直角BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若BOA的两边分别与函数y、y的图象交于B、A两点，则OAB的大小的变化趋势为()A逐渐变小 B逐渐变大 C时大时小 D保持不变7(2016龙东)已知，在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AEAD，连结CE交BD于点F，则EFFC的值是.【课本改变题】教材母题浙教版教材九上第149页第5题课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC120mm，高AD80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上问加工成的正方形零件的边长是多少mm?小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长【方法与对策】本题是课本改变题，试题设置上主要是三角形和矩形的组合，通过基本图形是相似三角形，揭示对应边成比例的关系式来解决问题，再深入探究，规律性较强，这种题型是中考常用的命题方式【找不准相似三角形中的对应边】如图，ABC中，点D在线段BC上，且ABCDBA，则下列结论一定正确的是()AAB2BCBD BAB2ACBDCABADBDBC DABADADCD参考答案第28讲图形的相似第1课时相似形【考点概要】2成比例3.形状相等成比例边相等成比例全等4.平行成比例成比例相等相等成比例5.相等成比例相似比平方【考题体验】1B2.D3.4580km【知识引擎】【解析】(1)添加条件是ABDC或ADBABC或者； (2)由ADBABC，得，得AC8； (3)相似三角形知识：性质、判定等【例题精析】例1(1)设正方形的边长为2，则CD2，CF1.在直角三角形DCF中，DF，FG，CG1，矩形DCGH为黄金矩形故选D.(2)设k(k0)，根据题意，得x3k，y4k，z6k，所以.例2B例3(1)如图1中，四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD，DABABCBCDD90，PBCPAM，PAMPBC，PBCPBA90，PAMPBA90，APB90，APBN，ABPABN，APBBAN90，BAPBNA，ABBC，ANAM.(2)仍然成立，APBN和AMAN.理由如图2中，四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD，DABABCBCDD90，PBCPAM，PAMPBC，PBCPBA90，PAMPBA90，APB90，APBN，ABPABN，APBBAN90，BAPBNA，ABBC，ANAM. 这样的点P不存在理由：假设PC，如图3中，以点C为圆心为半径画圆，以AB为直径画圆，CO，两个圆外离，APB90，这与APPB矛盾，假设不可能成立，满足PC的点P不存在例4设AEx，则ACx4，AC平分BAD，BACCAD，CDBBAC(圆周角定理)，CADCDB，ACDDCE，ACDDCE，即，解得：x5.故选B.【变式拓展】1A2.123.4.(1)C(2)C5.(1)13(2)2或6.(1)D(2)A(3)D7.或【热点题型】【分析与解】(1)设矩形的边长PN2ymm，则PQymm，由条件可得APNABC，即，解得y，PN2(mm)，答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；(2)设PNxmm，由条件可得APNABC，即，解得PQ80x.SPNPQx(80x)x280x(x60)22400，S的最大值为2400mm2，此时PN60mm，PQ806040(mm)【错误警示】AABCDBA，AB2BDBC.12