浙江省2018年中考数学总复习 第七章 数学思想与开放探索问题 第35讲 方程、函数思想型问题讲解篇

第35讲方程、函数思想型问题(建议该讲放第16讲后教学)内容特性1.在解决问题时，把某一个未知量或几个未知量用字母来表示，根据已知的条件或有关的性质、定理或公式，建立起未知量和已知量之间的等量关系，列出方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想2函数思想是指用变量和函数来思考问题的一种方法，借助函数知识来探求变量之间关系的一种思维方式，以生产、生活和学科问题为背景，结合方程、几何图形等知识进行问题解决的一种解题策略，是刻画现实世界的一个有效的数学模型.解题策略(1)解决函数综合问题时，注意数形结合，在函数、方程、不等式之间灵活转化；(2)解决几何综合问题时，常从面积关系，勾股定理、相似性质寻求关系列方程、函数求解；(3)解决生活中应用问题时，从一些常见数量关系模型入手，建立方程、函数求解；(4)对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，运用函数基本性质和方法，从而更快更好地解决问题.基本思想利用方程思想解决问题时，经常涉及函数思想和数形结合思想；利用函数思想解决问题时，充分运用函数数学思想分析问题，经常涉及函数与方程、不等式，函数与图象.类型一运用方程思想求解几何综合性问题如图，在ABC中，BABC20 cm，AC30 cm，点P从点A出发，沿AB以每秒4 cm的速度向点B运动；同时Q点从C点出发，沿CA以每秒3 cm的速度向点A运动设运动的时间为x秒(1)当x为何值时，PQBC?(2)APQ能否与CQB相似？若能求出AP的长；若不能请说明理由【解后感悟】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏1 (2016舟山)如图，矩形ABCD中，AD2，AB3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是()A. B. C1 D.类型二运用函数思想求解方程、不等式问题(2017杭州)在平面直角坐标系中，设二次函数y1(xa)(xa1)，其中a0.(1)若函数y1的图象经过点(1，2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2axb的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若mn，求x0的取值范围 【解后感悟】二次函数关系式转化为方程，解(1)的关键是利用待定系数法；解(2)的关键是把点的坐标代入函数解析式；解(3)的关键是利用二次函数的性质，解不等量关系，同时要分类讨论，以防遗漏2(1)已知函数yx和y的图象如图，则不等式x的解集为()A2x2 B2x2 Cx2 (1)图 (2)图(2)如图，已知函数y与yax2bx(a0，b0)的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2bx0的解为.类型三运用方程、函数思想求解几何最值问题(2016黄冈模拟)如图，在ABC中，ACB90，ACBC6，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度(090)，旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H, 四边形CHOK是旋转过程中三角板与ABC的重叠部分(如图所示)，那么，在上述旋转过程中：(1)线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？证明你发现的结论；(2)连结HK，设BHx.当CKH的面积为时，求出x的值；试问OHK的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x的值，若不存在，请说明理由【解后感悟】本题利用方程、函数思想把问题构建为方程、函数模型，再用方程、函数知识来解决问题解题的关键是根据题意列出方程、函数关系式3 (2015德州模拟)一个包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形的包装盒，E、F是在AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBxcm.若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取的值为cm.类型四运用方程、函数思想求解三角形、四边形与圆问题(2015汕尾)如图，已知直线yx3分别与x、y轴交于点A和B.(1)求点A、B的坐标；(2)求原点O到直线l的距离；(3)若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标【解后感悟】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，以及点到直线的距离公式，借助这些知识，再利用方程、函数思想来解决问题以此设计问题在中考中出现的频率很高，是中考中比较典型的题型4 如图，已知抛物线yx2bx与直线y2x交于点O(0，0)，A(a，12)点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E.(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点C为OA的中点，求BC的长；(3)以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为(m，n)，求出m，n之间的关系式 类型五运用方程、函数思想求解实际问题某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y2x100.(利润售价制造成本)(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？【解后感悟】本题是通过方程、函数思想解决实际问题，一是通过方程思想列函数解析式，二是通过函数思想解决变量间关系5(2015济宁)小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件(1)若购进这100件服装的费用不得超过7500元，则甲种服装最多购进多少件？(2)在(1)的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a(0a20)元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？【开放探究题】实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数y200x2400x刻画；1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反比例函数y(k0)刻画(如图所示)(1)根据上述数学模型计算：喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？当x5时，y45.求k的值；(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由【方法与对策】本题实质是通过方程、函数思想解决反比例函数与二次函数综合应用问题，根据图象得出正确信息是解题关键， 这是中考中的新题型【忽视变量范围而出错】在矩形ABCD中，AB2，AD3，P是BC上的任意一点(P与B、C不重合)，过点P作APPE，垂足为P，PE交CD于点E.(1)连结AE，当APE与ADE全等时，求BP的长；(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？(3)若PEBD，试求出此时BP的长参考答案第35讲方程、函数思想型问题【例题精析】例1(1)根据题意AP4xcm，AQACQC(303x)cm，若PQBC，则.则，解得x.所以当运动时间为s时，PQBC. (2)因为AC，所以当或时，APQ能与CQB相似当时，解得x，所以AP4xcm.当时，解得x15，x210(舍去)所以AP4x20cm.所以当APcm或20cm时，APQ与CQB相似例2(1)函数y1的图象经过点(1，2)，得(a1)(a)2，解得a12，a21，函数y1的表达式为y(x2)(x21)，化简，得yx2x2；或函数y1的表达式为y(x1)(x2)化简，得yx2x2，综上所述：函数y1的表达式为yx2x2； (2)当y0时，(xa)(xa1)0，解得x1a，x2a1，y1的图象与x轴的交点是(a，0)，(a1，0)，当y2axb经过(a，0)时，a2b0，即ba2；当y2axb经过(a1，0)时，a2ab0，即ba2a； (3)当P在对称轴的左侧(含顶点)时，y随x的增大而减小，(1，n)与(0，n)关于对称轴对称，由mn，得0x0；当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，由mn，得x01，综上所述：x0的取值范围为0x01.例3(1)在旋转过程中，BHCK，四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为ABC面积的一半理由如下：连结OC.ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，COAB，OCKB45，COOB.又COK与BOH均为旋转角，COKBOH，在COK和BOH中，COKBOH，BHCK，S四边形CHOKSCOKSCOHSBOHSCOHSCOBSABC9. (2)由(1)知CKBHx，BC6，CH6x，根据题意，得CHCK，即(6x)x5，解这个方程得x11，x25，此两根满足条件：0x0，当x3时，函数SOKH有最小值，x3满足条件0x6，OKH的面积存在最小值，此时x的值是3.例4(1)当x0时，y3，B点坐标(0，3)；当y0时，有0x3，解得x4，A点坐标为(4，0)(2)过点O作OCAB于点C，则OC长为原点O到直线l的距离，在RtBOA中，OA4，OB3，由勾股定理可得AB5，SBOAOBOAABOC，OC，原点O到直线l的距离为.(3)过M作MDAB交AB于点D，当圆M在直线l下方与直线相切时，MD2，在BOA和BDM中，OBADBM，BOABDM，BOABDM，BM，OMOBBM，当M在直线l上方与直线相切时，同理可得OMOBBM，点M的坐标为M(0，)或M(0，)例5(1)z(x18)y(x18)(2x100)2x2136x1800，z与x之间的函数解析式为z2x2136x1800.(2)由z350，得3502x2136x1800，解这个方程得x125，x243.销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得350万元的利润z2x2136x18002(x34)2512，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元(3)结合(2)及函数z2x2136x1800的图象(如图所示)可知，当25x43时，z350.又由限价32元，得25x32.根据一次函数的性质，得y2x100中y随x的增大而减小，当x32时，每月制造成本最低最低成本是18(232100)648(万元)所求每月最低制造成本为648万元【变式拓展】1 D2.(1)A(2)x33.154. (1)点A(a，12)在直线y2x上，122a，解得：a6，又点A是抛物线yx2bx上的一点，将点A(6，12)代入yx2bx，可得b1，抛物线解析式为yx2x. (2)点C是OA的中点，点C的坐标为(3，6)，把y6代入yx2x，解得：x11，x21(舍去)，故BC132. (3)点D的坐标为(m，n)，点E的坐标为(n，n)，点C的坐标为(m，2m)，点B的坐标为(n，2m)，把点B(n，2m)代入yx2x，可得mn2n，m、n之间的关系式为mn2n.5.(1)设购进甲种服装x件，由题意可知：80x60(100x)7500，解得：x75.答：甲种服装最多购进75件 (2)设总利润为W元，因为甲种服装不少于65件，所以65x75.W(40a)x30(100x)(10a)x3000.方案1：当0a10时，10a0，W随x的增大而增大，所以当x75时，W有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件；方案2：当a10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；方案3：当10a20时，10a0，W随x的增大而减小，所以当x65时，W有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件【热点题型】【分析与解】(1)当x1时，y200，喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升当x5时，y45，且(5，45)在反比例函数y(k0)图象上，把(5，45)代入y得45，解得k225. (2)把y20代入反比例函数y得x11.25.喝完酒经过11.25时为早上7：15.第二天早上7：15以后才可以驾驶，7：00时不能驾车去上班【错误警示】(1)由APEADE可得APAD3，在RtABP中，运用勾股定理即可求得BP的长APEADE，APAD3.在RtABP中，AB2，BP. (2)由APPE，得RtABPRtPCE，根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式化为顶点式即可求得当x时，y的值最大，最大值是.APPE，RtABPRtPCE.，即，yx2x，yx2x(x)2，当x时，y的值最大，最大值是. (3)由PEBD，得CPECBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式求得BP的长设BPx，由(2)得CEyx2x，PEBD，CPECBD.，即，化简得3x213x120，解得x1或x23(不合题意，舍去)，当BP时，PEBD.12