因动点产生的面积问题

-因动点产生的面积问题1.如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)点D是线段BC上的动点与端点B、C不重合，过点D作直线交折线OAB于点E1记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；2当点E在线段OA上时，假设矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠局部的面积是否发生变化.假设不变，求出重叠局部的面积；假设改变，请说明理由图12. 如图1，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在*轴的正半轴上，OAAB2，OC3，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、*轴的正半轴于E和F1求经过点A、B、C三点的抛物线的解析式；2当BE经过1中抛物线的顶点时，求CF的长；3连结EF，设BEF与BFC的面积之差为S，问当CF为值时S最小，并求出最小值图1 3.如图1，在ABC中，C90，AC3，BC4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与ABC的直角边相交于点F，设AE*，AEF的面积为y1求线段AD的长；2假设EFAB，当点E在斜边AB上移动时，求y与*的函数关系式写出自变量*的取值围；当*取值时，y有最大值.并求出最大值3假设点F在直角边AC上点F与A、C不重合，点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将ABC的长和面积同时平分.假设存在直线EF，求出*的值；假设不存在直线EF，请说明理由图1 备用图4. 如图1，：抛物线y*2b*3与*轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，并且OA = OC1求这条抛物线的解析式；2过点C作CE / *轴，交抛物线于点E，设抛物线的顶点为点D，试判断CDE的形状，并说明理由；3设点M在抛物线的对称轴l上，且MCD的面积等于CDE的面积，请写出点M的坐标无需写出解题步骤图15.如图1，在平面直角坐标系*Oy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在*轴、y轴的正半轴上，CBOA，OC4，BC3，OA5，点D在边OC上，CD3，过点D作DB的垂线DE，交*轴于点E1求点E的坐标；2二次函数y*2b*c的图像经过点B和点E求二次函数的解析式和它的对称轴；如果点M在它的对称轴上且位于*轴上，满足SCEM2SABM，求点M的坐标图16.如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(*0)交于点B(2，1)过点(p1)作*轴的平行线分别交曲线(*0)和(*0)于M、N两点1求m的值及直线l的解析式；2假设点P在直线y2上，求证：PMBPNA；3是否存在实数p，使得SAMN4SAMP.假设存在，请求出所有满足条件的p的值；假设不存在，请说明理由图1因动点产生的面积问题1.2021年市中考第25题如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)点D是线段BC上的动点与端点B、C不重合，过点D作直线交折线OAB于点E1记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；2当点E在线段OA上时，假设矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠局部的面积是否发生变化.假设不变，求出重叠局部的面积；假设改变，请说明理由图1思路点拨1数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长2求ODE的面积，要分两种情况当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求ODE的面积3第2题中的重叠局部是邻边相等的平行四边形4图形翻折、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理总分值解答(1)如图2，当E在OA上时，由可知，点E的坐标为(2b,0)，OE2b此时SSODE如图3，当E在AB上时，把y1代入可知，点D的坐标为(2b2,1)，CD2b2，BD52b把*3代入可知，点E的坐标为，AE，BE此时SS矩形OABCSOAE SBDE SOCD (2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DMDN，则重叠局部是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形作DHOA，垂足为H由于CD2b2，OE2b，所以EH2设菱形DMEN的边长为m在RtDNH中，DH1，NH2m，DNm，所以12(2m)2m2解得所以重叠局部菱形DMEN的面积为图2 图3 图4考点伸展把此题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠局部的形状是菱形如图5，则这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示图5 图6 图72. 2021年市中考第24题如图1，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在*轴的正半轴上，OAAB2，OC3，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、*轴的正半轴于E和F1求经过点A、B、C三点的抛物线的解析式；2当BE经过1中抛物线的顶点时，求CF的长；3连结EF，设BEF与BFC的面积之差为S，问当CF为值时S最小，并求出最小值图1 图2思路点拨1过点B向坐标轴作垂线，图形中就构造出丰富的余角，从而构造出相似三角形此题中因为点B的坐标特殊，因此构造出全等三角形2用CF表示BEF与BFC的面积之差，首先要判断BEF是等腰直角三角形，这样BEF的面积就转化为求BF2的问题总分值解答(1)根据题意可得A(0,2)，B(2,2)，C(3,0)设抛物线的解析式为ya*2b*c，则 解得，所以抛物线的解析式为(2)由，得抛物线的顶点G的坐标为如图2，过点B作*轴的垂线，垂足为M，过点E作y轴的垂线，交BM于N因为BEN与FBM都是EBN的余角，所以BENFBM又因为BMEN2，所以BMFENB因此BEBF，BNFM当BE经过抛物线的顶点G时，此时(3)设CF的长为a在RtBFM中，因为BEF是等腰直角三角形，所以因此所以当CF2时，S取得最小值，最小值为考点伸展：图2是一个典型图，在这个图形中，BMCBAD，BFCBED，BFMBEAENB，BEF与BDC、BAM都是等腰直角三角形如果把此题中的条件角的两边分别交y轴的正半轴、*轴的正半轴于E和F改为角的两边分别交y轴、*轴于E和F，则上述结论依然成立如图3，图4图3 图43. 如图1，在ABC中，C90，AC3，BC4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与ABC的直角边相交于点F，设AE*，AEF的面积为y1求线段AD的长；2假设EFAB，当点E在斜边AB上移动时，求y与*的函数关系式写出自变量*的取值围；当*取值时，y有最大值.并求出最大值3假设点F在直角边AC上点F与A、C不重合，点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将ABC的长和面积同时平分.假设存在直线EF，求出*的值；假设不存在直线EF，请说明理由图1 备用图思路点拨1第1题求得的AD的长，就是第2题分类讨论*的临界点2第2题要按照点F的位置分两种情况讨论3第3题的一般策略是：先假定平分长，再列关于面积的程，根据程的解的情况作出判断总分值解答(1) 在RtABC中， AC3，BC4，所以AB5在RtACD中，(2) 如图2，当F在AC上时，在RtAEF中，所以如图3，当F在BC上时，在RtBEF中，所以当时，的最大值为；当时，的最大值为因此，当时，y的最大值为图2 图3 图4(3)ABC的长等于12，面积等于6先假设EF平分ABC的长，则AE*，AF6*，*的变化围为3*5因此解程，得因为在3*5围如图4，因此存在直线EF将ABC的长和面积同时平分考点伸展如果把第3题的条件点F在直角边AC上改为点F在直角边BC上，则就不存在直线EF将ABC的长和面积同时平分先假设EF平分ABC的长，则AE*，BE5*，BF*1因此解程整理，得此程无实数根4.如图1，：抛物线y*2b*3与*轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，并且OA = OC1求这条抛物线的解析式；2过点C作CE / *轴，交抛物线于点E，设抛物线的顶点为点D，试判断CDE的形状，并说明理由；3设点M在抛物线的对称轴l上，且MCD的面积等于CDE的面积，请写出点M的坐标无需写出解题步骤思路点拨1求抛物线的解析式，关键是求点A的坐标，根据条件，数形结合2判断CDE的形状是等腰直角三角形，可以便第3求解点M的坐标总分值解答1因为抛物线y*2b*3与y轴交于点C(0，3)，OAOC，所以点A的坐标为(3，0)将A (3，0)代入y*2b*3，解得b2因此抛物线的解析式为y*22*32由y*22*3(*1) 24，得顶点D的坐标为(1，4) 因为CE / *轴所以点C与点E关于抛物线的对称轴对称因此CE2，DEDC由两点间的距离公式，求得DC于是可得DE2DC2CE2所以CDE是等腰直角三角形3M11，2，M21，6考点伸展第3题的解题思路是这样的：如图2，如图3，因为MCD与CDE是同底的两个三角形，如果面积相等，则过点E作CD的平行线，与抛物线的对称轴的交点就是要探求的点M再根据对称性，另一个符合条件的点M在点D的下，这两个点M关于点D对称还有更简单的几说理法：因为CDE是等腰直角三角形，对于点D上的点M，四边形CDEM是正形，容易得到点M的坐标为1，2再根据对称性，得到另一个点M的坐标为1，6图2 图35.如图1，在平面直角坐标系*Oy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在*轴、y轴的正半轴上，CBOA，OC4，BC3，OA5，点D在边OC上，CD3，过点D作DB的垂线DE，交*轴于点E1求点E的坐标；2二次函数y*2b*c的图像经过点B和点E求二次函数的解析式和它的对称轴；如果点M在它的对称轴上且位于*轴上，满足SCEM2SABM，求点M的坐标图1思路点拨1这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算2点M在抛物线的对称轴上且位于*轴上，要分两种情况讨论，分别为点M在线段FB和FB的延长线上因为用点M的纵坐标表示ABM的底边长，因点M的位置不同而不同总分值解答1因为BCOA，所以BCCD因为CDCB3，所以BCD是等腰直角三角形因此BCD45又因为BCCD，所以ODE45所以ODE是等腰直角三角形，OEOD1所以点E的坐标是1，02因为抛物线y*2b*c经过点B3，4和点E1，0，所以 解得所以二次函数的解析式为y*26*5，抛物线的对称轴为直线*3如图2，如图3，设抛物线的对称轴与*轴交于点F，点M的坐标为3，t如图2，当点M位于线段BF上时，解程，得此时点M的坐标为3，如图3，当点M位于线段FB延长线上时，解程，得此时点M的坐标为3，8图2 图3考点伸展对于图2，还有几个典型结论：此时，C、M、A三点在同一条直线上；CEM的长最小可以求得直线AC的解析式为，当*3时，因此点M3，在直线AC上因为点A、E关于抛物线的对称轴对称，所以MEMCMAMC当A、M、C三点共线时，MEMC最小，CEM的长最小6.如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(*0)交于点B(2，1)过点(p1)作*轴的平行线分别交曲线(*0)和(*0)于M、N两点1求m的值及直线l的解析式；2假设点P在直线y2上，求证：PMBPNA；3是否存在实数p，使得SAMN4SAMP.假设存在，请求出所有满足条件的p的值；假设不存在，请说明理由思路点拨1第2题准确画图，点的位置关系尽在图形中2第3题把SAMN4SAMP转化为MN4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论总分值解答1因为点B(2，1)在双曲线上，所以m2设直线l的解析式为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得 解得 所以直线l的解析式为2由点(p1)的坐标可知，点P在直线上*轴的上如图2，当y2时，点P的坐标为(3，2)此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(1，2)由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知PMB为等腰直角三角形由P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知PNA为等腰直角三角形所以PMBPNA图2 图3 图43AMN和AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上当SAMN4SAMP时，MN4MP如图3，当M在NP上时，*M*N4(*P*M)因此解得或此时点P在*轴下，舍去此时如图4，当M在NP的延长线上时，*M*N4(*M*P)因此解得或此时点P在*轴下，舍去此时考点伸展在此题情景下，AMN能否成为直角三角形.情形一，如图5，AMN90，此时点M的坐标为1，2，点P的坐标为3，2情形二，如图6，MAN90，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半不存在ANM90的情况图5 图6. z.