医用高等数学第六章

会计学1医用高等数学第六章医用高等数学第六章第1页/共45页一、微分方程概念一、微分方程概念 定义定义: : 把联系自变量、未知函数及把联系自变量、未知函数及未知函数导未知函数导数数（或（或微分微分）的关系式称为微分方程）的关系式称为微分方程. . ; 2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd; sin35 )4(2244txdtxddtxd; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu例例：判断：判断下列关系式是否是微分方程下列关系式是否是微分方程1)7(22 yx第2页/共45页注意：注意： 一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必须含有未知函数的导数或微分，但其中的自变量或必须含有未知函数的导数或微分，但其中的自变量或未知函数可以不显含未知函数可以不显含. 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为个，则这样的微分方程称为常微分常微分方程。方程。;2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txdtxddtxd第3页/共45页如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分偏微分方程方程。; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu微分方程：微分方程：含有未知函数的导数含有未知函数的导数（或微分）的方程。（或微分）的方程。常微分方程：常微分方程：未知函数是一元函数未知函数是一元函数的微分方程的微分方程。偏微分方程：偏微分方程：未知函数是多元函数未知函数是多元函数的微分方程。的微分方程。第4页/共45页二、微分方程的阶二、微分方程的阶（Order） 定义：微分方程中出现的未知函数的定义：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或最高阶导数或微分微分的阶数称为微分方程的阶数的阶数称为微分方程的阶数. . 2 ) 1 (xdxdy 0 (2) ydxxdy 0 )3(322xdtdxtxdtxd sin35 )4(2244txdtxddtxd第5页/共45页三、微分方程的解三、微分方程的解（Value）第6页/共45页第7页/共45页积分曲线：积分曲线：微分方程的特解微分方程的特解 )(xfy 的几何图形，称为微分方程的的几何图形，称为微分方程的一条积分曲线。一条积分曲线。第8页/共45页6.2 6.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程一、变量可分离的微分方程一、变量可分离的微分方程行如：行如：)()(ygxfdxdy解法：解法：dxxfdyyg)()(1两边积分有两边积分有dxxfdyyg)()(1第9页/共45页例：例：1 1、求微分方程、求微分方程 的通解。的通解。xydxdy22 2、求微分方程、求微分方程yxycos满足初始条件满足初始条件 的特解的特解210 xy第10页/共45页二、齐次微分方程二、齐次微分方程)(,xyfyxfy解法：令解法：令xyu 则则xuyuxuy代入有代入有)(ufuxuxdxuufdu)(第11页/共45页例例3 3. .求微分方程的特求微分方程的特解解21xyxyyxy例例4 4. .求解微分方程求解微分方程0,xxeyyxxy第12页/共45页一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程 二、柏努利方程二、柏努利方程 第13页/共45页定义定义 形如形如 其中其中 P(x),Q(x)为已知函数为已知函数. . 当当 时时, ,有有 称其为称其为齐次齐次线性方程；线性方程； 当当 时时, ,称称 为为非齐次非齐次线线性方程性方程. . 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程 xQyxPdxdy 0 xQ 0 yxPdxdy xQyxPdxdy 0 xQ第14页/共45页分离变量得分离变量得 两边积分得两边积分得 即即 1.1.一阶线性一阶线性齐次齐次微分方程的解法微分方程的解法 dxxPydy 1lnCdxxPy dxxPCey第15页/共45页2.2.一阶非齐次线性微分方程的解一阶非齐次线性微分方程的解 令令 为非齐次线性方程的解为非齐次线性方程的解, ,代入得代入得 即即 两边积分得两边积分得 一阶线性非齐次方程的通解公式一阶线性非齐次方程的通解公式. . dxxPexCy xQexCdxxP dxxPexQxC CdxexQxCdxxP dxxPdxxPeCdxexQy第16页/共45页上述求解方法称为常数变易法上述求解方法称为常数变易法, ,用常数变易法求一阶非齐用常数变易法求一阶非齐次线性方程的通解的步骤为：次线性方程的通解的步骤为： （1 1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解解 . . （2 2）根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性）根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解方程的解( (将所求出的齐次方程的通解中的任意常数将所求出的齐次方程的通解中的任意常数 C 改改为待定函数为待定函数 C(x)即可即可) ). . （3 3）将所设解代入非齐次线性方程）将所设解代入非齐次线性方程, ,解解出出 C(x), ,并写并写出非齐次线性方程的通解出非齐次线性方程的通解. . 第17页/共45页例例 1 1 求方程求方程 的通解的通解. . 解解 原方程变形为原方程变形为 (1)(1) 首先对首先对(1)(1)式所对应的齐次方程求解式所对应的齐次方程求解 (2)(2) 方程方程(2)(2)分离变量得分离变量得 两边积分得两边积分得 , ,即即 所以所以, ,齐次方程（齐次方程（2 2）的通解为）的通解为 (3)(3) xxxyylnxxyyln0 xyyxdxydyCxy lnlnCxylnlnCxy 第18页/共45页将通解中的任意常数将通解中的任意常数 C 换成待定函数换成待定函数 C(x), ,即令即令y=C(x)x 为方程（为方程（1 1）的通解）的通解, ,将其代入方程将其代入方程(1)(1)得得. . 所以所以 将所求的将所求的 C(x)代入式代入式(3)(3), ,得原方程的通解为得原方程的通解为 xxxCln1 CxdxxxxC2ln21lnCxxxy2ln2第19页/共45页例例2. .求解微分方程求解微分方程10121027xyxyyx第20页/共45页 nyxQyxPdxdynyz1 xQnzxPndxdz11令：第21页/共45页5xyydxdy第22页/共45页1.)()(xfyn型的微分方程型的微分方程 方程解法：通过方程解法：通过 n 次积分次积分 就可得到方程的通解就可得到方程的通解. . 第23页/共45页例例 1 1 求方程求方程xycos)3(的通解的通解 . . 解解 因为因为xycos)3(, , 所以所以 1sindcosCxxxy, , 211cosd)(sinCxCxxCxy, , 2121231( cos)dsin.2yxC xCxxC xC xC 第24页/共45页)0),(),(. 2 yyxFyxfy或或型型方方程程特点：方程中不显含未知函数特点：方程中不显含未知函数 y. 解上述一阶方程，得解上述一阶方程，得 , py 为为降降阶阶，令令,dxdpy 则则原方程变为原方程变为),(pxfp 这是一个以这是一个以 p 为为未知函数的一阶方程；未知函数的一阶方程；),(1Cxpy 解法解法 再积分一次，得通解：再积分一次，得通解： .),(21CdxCxy 第25页/共45页例例2 2 求方程求方程 的通解的通解.12 yxyx例例 3 3 求方程求方程2)(12yyyx 的通解的通解. . 第26页/共45页),(yyfy 3. 3. 型的微分方程型的微分方程特点：特点：方程的右端不显含方程的右端不显含x解法：解法：设设py 则则dydppdxdydydpdxdpy 于是方程化为于是方程化为),(pyfdydpp此方程为一阶微分方程。此方程为一阶微分方程。第27页/共45页例例4 4 解方程解方程yyy2)(12 dydppy 则则,212ypdydpp ,122ydydppp 解解xyyfy型型，不不显显含含),( ),(ypy 令令,lnln)1ln(2Cyp 即即代入原方程得代入原方程得 两边积分两边积分 第28页/共45页,112yCdxdy 最后得原方程的通解最后得原方程的通解, (含两个任意常数含两个任意常数),.)()1(422121CxyCC ,11dxyCdy 21112CxyCC 分离变量分离变量 两边积分两边积分 即即第29页/共45页6.5 6.5 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程形如：形如：)()()(xfyxqyxpy 称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程0)()( yxqyxpy当当 时，方程时，方程0)(xf称为二阶线性齐次微分方程称为二阶线性齐次微分方程第30页/共45页一、线性微分方程解的结构一、线性微分方程解的结构定理定理1 1：如果如果 是线性是线性 齐次方程齐次方程)(),(21xyxy0)()( yxqyxpy的解，则的解，则 和和)(1xcy)()(21xyxy也是线性齐次方程的解。也是线性齐次方程的解。第31页/共45页线性相关线性相关：如果：如果 与与 之比之比为常数。为常数。)(1xy)(2xy线性无关线性无关：如果：如果 与与 之比之比不为常数。不为常数。)(1xy)(2xy第32页/共45页)(),(21xyxy定理定理2 2：如果如果 是线性齐次是线性齐次方程方程0)()( yxqyxpy的两个线性无关解，则该方的两个线性无关解，则该方程的通解为程的通解为)()(2211xyCxyCy第33页/共45页定理定理3 3：如果如果 是二阶线性非齐次是二阶线性非齐次y方方程程)()()(xfyxqyxpy 齐次方程齐次方程0)()( yxqyxpy的通解，则的通解，则非齐次方程的通解为非齐次方程的通解为的一个特解，的一个特解， 是相应的是相应的2211ycyc2211ycycyy第34页/共45页二、二阶线性常系数齐次微分方程二、二阶线性常系数齐次微分方程形如：形如：0 qyypy特征根法：特征根法：1 1、特征方程、特征方程02qp2 2、求特征方程的根，即特征根、求特征方程的根，即特征根3 3、根据特征根的不同情况，写、根据特征根的不同情况，写出相应的齐次方程的通解。出相应的齐次方程的通解。第35页/共45页若特征根为若特征根为21,（1 1）当）当 是两个不相等的实根是两个不相等的实根21齐通解为：齐通解为：xxececy2121（2 2）当）当 是两个相等的实根，是两个相等的实根， 齐通解为齐通解为21xexccy)(21（3 3）当）当)0(i是一对共轭是一对共轭复根，齐通解为复根，齐通解为)sincos(21xcxceyx第36页/共45页例：例：1 1、求微分方程、求微分方程096 yyy的通解。的通解。2 2、求微分方程、求微分方程0136 yyy的通解。的通解。3 3、求微分方程、求微分方程02 yyy满足满足3, 000 xxyy的特解。的特解。第37页/共45页6.6、二阶线性常系数非齐次微分方程、二阶线性常系数非齐次微分方程)(xfqyypy 非齐通解非齐通解= =非齐特解非齐特解+ +齐通解齐通解因此求二阶常系数非齐次微分方程因此求二阶常系数非齐次微分方程的通解时，须先求出相应的齐次方的通解时，须先求出相应的齐次方程的通解，再求出非齐次微分方程程的通解，再求出非齐次微分方程的一个特解即可。的一个特解即可。第38页/共45页（1 1）自由项）自由项xmexpxf)()(的的 m m 次多项式次多项式其中其中 是常数，是常数， 是关于是关于 x x)(xpm特解形式为特解形式为xmkexQxy)(其中其中 是与是与 同次的多项式同次的多项式)(xQm)(xpm210k不是特征根不是特征根是单特征根是单特征根是重根是重根第39页/共45页例：例：1 1、求微分方程、求微分方程xexyyy) 1(32 的通解的通解2 2、求微分方程、求微分方程xeyyy244 的通解的通解第40页/共45页（2 2）当自由项）当自由项xxpxxpexfnlxsin)(cos)()(其中其中 是常数，是常数， 和和 分别分别,)(xpl)(xpnl是是 次和次和 次多项式次多项式n特解形如：特解形如：xxQxxQexymmxksin)(cos)(第41页/共45页xxQxxQexymmxksin)(cos)(其中其中 是两个待定的是两个待定的 m m 次次)(),(xQxQmm多项式，多项式，nlm,max10ki不是特征根不是特征根i是特征根是特征根第42页/共45页例：例：1 1、求微分方程、求微分方程xyysin3 的通解的通解2 2、求微分方程、求微分方程xxyyysin3cos2 满足满足2, 100 xxyy的特解。的特解。第43页/共45页总结：总结：可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程几种类型的高阶微分方程几种类型的高阶微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程第44页/共45页