简单数学之与圆有关的角的复习

简单数学之与圆有关的角的复习（含答案）3 / 9图11各部分设计意图说明一、入门：力求整合相关知识，减少学生记忆，增强认知，选用基本问题作为习题，提升学生基础 知识应用能力。二、提高：总结相关知识推衍出的常用结论，学生可以通过这些结论的证明实际演练基础知识的应 用，选择教学进度内、提升难度后的例题和练习再次强化学生分析问题、解决问题能力。三、中考视角：选题以中考考查范围为视角，提高学生各部分知识的综合应用能力。题目中将加入 部分原创试题，目的是让学生开拓视野，给老师中考复习增加素材。简单数学之与圆有关的角复习、入门（一）、定义:CO圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角。 如图1，/ AOB是圆心角，它所对的弧是劣弧 AB， 其实，这个图里还有一个圆心角，就是/AOB优弧AB所对的圆心角，很多时候我们都忽略它的存在，有时候它也很有用，比如，证明圆内接四边形性质时。圆周角：顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。换个角度看，圆周角就是两条有公共端点的弦所夹成的角。如图1,/ AOB是圆周角，它是由弦 AC、弦BC所夹成AB的，点C是它的顶点，而剩余的两个弦的端点，恰好构成了圆周角作对弧由此，可知，圆周角和圆心角同根同源，圆心角、圆周角的转化都以它们所对的弧为基础（二）、定理与性质：1、课本上，我们有弧、弦、圆心角的关系定理，还有圆周角定理及其推论，如果我们将它们整合一 下可以得到五量关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角，两个圆周角，两条弦，两条弦的弦心距、两条弧中，有一组量 相等，其余各组量分别对应相等。应用五量关系，证明圆中相关要素的相等关系是比较好的选择。例题1：如图2, O O中，弦 AB、CD交于点E，且AB=CD，求证：AC=BDOE图3解析：因为是在同圆中，已知弦相等，我们可以推出弦所对的弧相等，也可以推出 弦所对的圆周角相等方法一：证明：如图 2,v AB=CD二 AB = CD二 AC = BD AC=BD方法二：证明：如图 3,连OA, OB, OC, OD/ AB=CD/ AOB=/ COD/ AOC=/ BOD AC=BD2、由圆周角定理还可以得到半圆或（直径）所对的圆周角是90o； 900的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形对角互补。C这是圆中经常用到的推论，除了用于证明，遇直径经常连接直径所对的圆周角。例2:如图4, AB是O O的直径，BD是O O的弦，延长 BD到C,使AC=AB, BD 与CD的大小有什么关系？为什么？解析：AB是O O的直径，则连 AD后，/ BDA=90，即AD丄BC,因AC=AB，由 等腰三角形三线合一，BD=DC （证略）3、练习1. 如图5,已知点E是O O上的点，B、C分别是劣弧 AD的三等分点，.BOC =46 ,则.AED的度数为2.如图6,O O中OA _ BC , CDA二25，则.AOB的度数为 3.如图7点C、D在以AB为直径的O O上，若.BDC =28，则.ABC二度.4.如图8,O O中，弦AB, DC的延长线相交于点 P，如果.AOD =120； , BDC二25；，那么P .5. 如图 9, AB=OA=OB=OC，则/ ACB 的大小是（）A. 40B. 30C. 20 D. 35A二、提高（一）、典型结论：1、将圆周角、圆心角与圆内其它知识整合在一起，可以得到许多结J论：如图10,O O内切于 ABC , D、E、F分别为切点，为&上 任意一点。将相应各点连接在一起可以得到如下结论：190& + -jLA（1）/ BOC =1剜-（2）/ DEF=事实上，当点 E在优弧DF上（与D、F不重合）运动时，总有该结 论成立1+ （3）/ D F=2、实际计算中，我们还可以发现弦长、半径与弦所对圆心角之间的关系： 已知，O O半径为R,当弦AB=R时，圆心角/ AOB=60 ;图10当弦 AB= R时，圆心角/ AOB=90 ;简单数学之与圆有关的角的复习（含答案）当弦AB= R时，圆心角/ AOB=120 （本条结论应用程度相当高一定要熟记）；3、圆内接四边形外角等于内对角（二）、例题例3：如图11，A、B、C、D四点均在一圆弧上，弦BC / AD，且直线 AB与直线CD相交于 E 点。若.BCA=10，. BAC=60，则.BEC=（） A、35 B、40 C、60 D、70。分析：由三角形外角知识可知 .EBC= BCA+ BAC=70，由BC/ AD，可得.EAD= . EBC=70， 由 A、B、C、D 四点共圆，.EAD+ BCD=180，又因.BCE+ BCD=180 可得.BCE=70，贝BEC=40例4:如图12,0OABC的外接圆，其中D点在AC上，且OD丄AC .已知/ A=36/ C=60则/ BOD的度数为何？（）A、 132B、 144C、 156 D、 168分析：本题一种解法 是连接CO,由圆周角定理可得/ BOC=72，由等腰三角形内角和求/ BCO =54，则/ OCA=6 ，由 0D丄 AC 可得/ COD=84，则/ BOD = Z BOC + ZCOD=156本题另一种解法，连接CO,由圆周角定理可得/ BOC=72，因为OD丄AC,由垂径图12定理，DC= AC1,则有/ COD/ AOC = Z ABC=180?36 -60 84 / BOD=Z BOC + Z COD=156S例5:如图13, BC为O O的直径，AD丄BC于D , P是AC上一动点，连接 PB分别交AD、B于点E, F .（1）当 Pa=Ab时，求证：ae=be；图13D O（2）当点P在什么位置时，AF=EF ?证明你的结论.分析：（1）可连AB，由BC是直径，AD丄BC,由同角的余角相等可知Z BAD=Z C,由A=AB可得Z ABE=Z BAD。我们可以通过倒推的方法解决这类问题。当AE=BE时，可得Z AEF = Z AFE ,由（1）可知，Z ABP+Z AFB=90 , Z PBD+Z BED=90，由此可知，Z ABP=Z PBD，所以PA=PC。按此思路，正推回去 即可。（1）证明：连接AB,/ BC为O O的直径， AB丄 AC.又 AD 丄 BC, Z BAD+Z DAC = Z C+Z DAC=90 Z BAD=Z C. PA=AB Z ABE=Z C. Z ABE=Z BAD . AE=BE.,c c ,(2 )当pa=pc 时，AF=EF.证明:c cPA=PC Z PBC=Z C. 90 - Z PBC=90 - Z C.5 / 9即/ BED=/ DAC / BED=Z AEF / DAC=Z AEF AF=EF(三) 、学段练习1.如图15，在O O中，圆心角.BOC =60，则圆周角.BAC等于（A 60B. 50C 40D 302.如图16,量角器外缘边上有A, P, Q三点，它们所表示的读数分别是180,70,30，则/ PAQ的大小为（)A 10：B. 20 C. 30 D 403.如图17,正方形ABCD内接于O O,点E在劣弧AD上，则/ BEC等于（）A . 45B 60JC 30 D . 554. 如图18,已知CD为O O的直径，过点 D的弦DE平行于半径 OA,若/ D的度数是50,则/ C的度数是（）C. 30A.505.如图19所示,i弟&北梅B. 40 oE D.25DCOA图16小华从一个圆形场地 A点出发,图17沿着与半径 OA夹角为:D图18的方向行走，走到场边缘B后，再沿着与半径 OB夹角为:-的方向折向行走，按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧 AB上，此时.AOE =56：，则的度数是（）图19A. 52B. 60C. 72flD. 766. 如图20,已知在O O中，半径 OA丄OB, C是OB延长线上一点， AC交O O于D，求证: 弧AD的度数是/ C的2倍.三、中考视角1.如图21,四边形ABCD内接于O O,Z DAB=130连接OC,点P是半径OC上任意一点, 连接DP, BP,则/ BPD可能为度（写出一个即可）.2. 如图22, MN是O O的直径，MN=4,/ AMN=40点B为弧 AN的中点，点P是直径 MN 上的一个动点，则 PA+PB的最小值为n3. 如图23,等边 ABC内接于O O, P是AB上任一点（点 P不与点A、B重合），连AP、BP,过点 C作CM / BP交PA的延长线于点 M .图20图21图22A（1 ）填空：/ APC=，/ BPC=;(2) 求证： ACM S BCP;(3) 若PA=1, PB=2,求梯形 PBCM的面积.4 .如图，AD是O O的直径.（1）如图24-1，垂直于AD的两条弦BiCi, B2C2把圆周4等分，则/ Bi的度数是 ，/ B2的度数是;如图24-2，垂直于 AD的三条弦 BiCi, B2C2, B3C3把圆周6等分，分别求/ Bi, / B2,/ B3的度数；图 24-i3n-2O为圆心,5.如图25,射线PG平分/ EPF ,O为射线PG上一点，以io为半径作O O,分别与/EPF两边相交于A、B和C、D，连结 OA，此时有 OA / PE.(i)求证：AP = AO;(2) 若弦 AB = i2,求 tan/OPB 的值;（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形,则能构成菱形的四个点为.如图24-3，垂直于AD的n条弦BiCi, B2C2, B3 C3,，BnCn把圆周2n等分，请你用含 n的代 数式表示/ Bn的度数（只需直接写出答案）.B图256.（原创）已知，O O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为.2cm,1cm，则直线AC、BD所夹的锐角:-=.（本题如果仔细分析情况较多需要仔细思考具体分析请看答案）简单数学之与圆有关的角的复习（含答案）7 / 90答案与解析一、入门3、练习1.69 2.50 3.55 度.4.35 5. B二、提高（三）、学段练习1. D2. B3. A4. D5. A6 .连接0D ,在直角 AOC 中，/ C=90 - /A 在厶 OAD 中，T OA=OD/ A=Z ADO/ AOD=180-2 / A/ AOD=2/C/ AOD的度数就等于弧 AD的度数弧AD的度数是/ C的2倍三、中考视角1. 802. 2 二解析：解：过 A作关于直线 MN的对称点A ，连接A B，由轴对称的性质可知 的最小值，连接 OB, OA , AA,v AA 关于直线 MN 对称，.=：.:/ AMN=40,A ON=80, / BON=40,A OB=120,过 O 作 OQ 丄A B 于 Q,在 RtA A OQ 中，OA =2,. A B=2A Q=2 .二,即PA+PB的最小值2百.:.故答案为：2_.3.( 1)解：/ APC=60，/ BPC=60 ;(2)证明：T CM / BP,/ BPM+Z M=180 ,/ PCM = Z BPC,A B 即为 PA+PBC简单数学之与圆有关的角的复习（含答案）/ BPC=/BAC=60 ,/ PCM=Z BPC=60 ,/ M=180 - / BPM=180 - (/APC+Z BPC) =180 -120 =60/ M = Z BPC=60 ,又 A、P、B、C四点共圆， Z PAC+Z PBC=180 ,vZ MAC+Z PAC=180 Z MAC=Z PBC/ AC=BC, ACM BCP ;(3) 解：作PH丄CM于H,/ ACM 也厶 BCP , CM=CP AM =BP, 又Z M=60 , PCM为等边三角形， CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3,在 RtA PMH 中，Z MPH=30 S 梯形 pbcm=( PB+CM) X PH= (2+3) X1-J l_4. 解：（1）垂直于AD的两条弦BiCi, B2C2把圆周4等分，则AC是圆的，因而度数是45 ，因而Z Bi的度数是22.5 ，同理AC?的度数是135度，因而，Z B2的度数是67.5 ;(2)圆周被 6 等分 Bc1=CC2=CC3=360 十 6=60 v直径 AD 丄 BC1 1 1 1360,则Z BnAD=：,在直角 ABnD中,Z Bn= 90 AC1B/1C1=30 ,二/02AC1=15 , Z B2aC2(30 +60。)=45 ，同理Z B3=75（3） BnCn把圆周2n等分，则b；d的度数是:360&450:=90。-.5. 证明：(1 ) PG 平分Z EPF , Z DPO=Z BPO , OA PE, Z DPO=Z POA , Z BPO = Z POA ,PA=OA;1解：(2)过点O作OH丄AB于点H ,则AH=HB = AB2OH 1 tan Z OPB= PH=2OHPH 2设 OH=X ,贝U PH=2X由(1)可知 PA=OA= 10 , AH=PH PA=2X 10 AH 2 OH 2 =OA2, (2x -10)2 x1Q2解得x, =0 （不合题意，舍去），X2 =8 AH=6, AB=2AH =12（3） P、A、O、C;6. 本题答案为15或75观察两条弦的位置关系，可以从四种情况来分析：首先，直线AC、BD设交点为P。根据前面所归纳结论，可以知道劣弧AB和CD所对圆心角分别是 45 30情况一：如图 1,连BC。由图可知，/ APB= / AOB+ / COD=75 Ml, n情况二：如图2,连BC。由图可知，劣弧 Ab和CD所对圆心角分别是 45 30贝y优弧ADB和cAD所对圆心角分别为 270。和300由圆周角定理，圆周角/ ACD=135 / CBD=150 这两个角对于PBC来说都是外角，由三角形内角和定理，/APB=105则锐角为75ABD图1图29 / 9情况三：如图3,连BC, AD。由前边分析可知，/ ACB=45 / CAD=30 根据圆内接四边形外角 等于内对角，则/ CBP= / CAD =30 PBC 中，/ APB=Z CBP-/ ACB=15情况四：如图 3,同情况三，/ APB= / CBP- / ACB=15