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会计学1D多元数量值函数积分的概念与性质多元数量值函数积分的概念与性质三、积分存在的条件和性质三、积分存在的条件和性质 一、引例一、引例 二、多元数量值函数积分的概念二、多元数量值函数积分的概念 多元数量值函数积分的概念与性质 第六章 第1页/共25页有一个平面薄片有一个平面薄片, 在在 xOy 平面上占有区域平面上占有区域 D ,),(Cyx计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M .度为度为),(),(常数若yx设设D 的面积为的面积为 ,则则M若若),(yx非常数非常数 ,则可用则可用其面密其面密 “分分, 匀匀,合合, 精精” 解决解决.1)“分分”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域,21n相应把薄片也分为小块相应把薄片也分为小块 .DyxO一、引例一、引例第2页/共25页yx2)“匀匀”中中任取任取一点一点k在每个),(kk3)“合合”nkkMM1nkkkk1),(4)“精精”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk则第则第 k 小块的质量小块的质量O第3页/共25页解法解法: 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:2.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xOy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线 , 母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“分分, 匀匀, 合合, 精精” D),(yxfz 第4页/共25页D),(yxfz 1)“分分”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“匀匀”在每个在每个k, ),(kk3)“3)“合合”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体k),(kk第5页/共25页4)“4)“精精”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk第6页/共25页两个问题的两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同所求量的结构式相同“分分, 匀匀, 合合,精精”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积曲顶柱体体积: 平面薄片的质量平面薄片的质量: 第7页/共25页例如例如: : 物体为空间物质块。物体为空间物质块。1.( ):(1,2, )kVV kn分2.(,),(,)kkkkkkkkMVf 取oxyz( )VkV013. lim(,)nkkkkkmfV (,)kkkkkmfV 则一般说来，设有一质量非均匀分布在某一几何形体一般说来，设有一质量非均匀分布在某一几何形体()f M上的物体，（这里几何形体可以是上的物体，（这里几何形体可以是直线段、平面或直线段、平面或()连续，都可以按照以上四个步骤来计算其质量。连续，都可以按照以上四个步骤来计算其质量。空间区域，一片曲面或一段曲线空间区域，一片曲面或一段曲线），密度函数），密度函数第8页/共25页定义定义:()()f MM为一闭有界域,(1):(1,2, );kkn为 个分n子域(2),();kkkkMf M积取做乘1(3)();nkkkf M求和1(4)max,0kk n 记当01lim()nkkkf M抽抽象象其其共共性性如果不论如果不论 怎样划分，点怎样划分，点 怎样选取，极限怎样选取，极限()kM都存在，则称都存在，则称f 在在 上可积，且上可积，且()()()()d .f Mf M积记分,作在上的称此极限值为称此极限值为第9页/共25页01lim()nkkkf M()()f M d积分域被积函数被积式或积分微元()()f M d即：注意：注意：当积分域类型不同时，积分的具体表达式和名称也不相同第10页/共25页01lim(,)nkkkkf 01lim()nkkkfx( )dbaf xx( , )dDf x y(1)当 为区间a,b时，M为x，积分为定积分定积分 (2)当 为平面域()时，M为(x, y)，积分为二重积分二重积分 d称为面积微元面积微元，在直角坐标系下常写作,ddyxDyxMd),(引例1中平面薄板的质量:Dyxyxdd),(DyxfVd),(引例2中曲顶柱体体积:Dyxyxfdd),(第11页/共25页01lim(,)nkkkkkfv ()( , , )dVf x y zv(3)当 为空间域(V)时，M为(x, y, z)，积分为三重积分三重积分称为体积元素体积元素, vd.dddzyx在直角坐标系下常写作( , , )dcf x y zs ()dS=Sf x,y,z(4)当 为一条曲线弧段(C)时，积分为对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分也称为第一型线积分第一型线积分,其中(C)称为积分路径积分路径(5)当 为一片曲面(S)时，积分为对面积的曲面积分对面积的曲面积分也称为第一型面积分第一型面积分01lim(,)nkkkkkfs 01lim(,)nkkkkkfS 第12页/共25页定理定理1：上可积。函数f 在上可积的必要条件是f 在 上有界。()()定理定理2：若 是紧的且可度量，()()fC，则f 在()、积分存在的条件、积分存在的条件第13页/共25页(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4abbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5、积分的性质、积分的性质第14页/共25页则.0d)(xxfba,0)(xf推论推论1. 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(xxfbad)(推论推论2.xxfbad)()(ba 7. 设, )(min, )(max,xfmxfMbaba则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 8. 积分中值定理积分中值定理, ,)(baCxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfba第15页/共25页积分的性质积分的性质设 是紧的、可度量且被积函数可积()1. 线性性质线性性质()()dkf M ()()d .kf M( (2) )() ()()df Mg M ()()()d()d .f Mg M( (1) )2. 对积分域的可加性对积分域的可加性()()df M 12()()()d()d .f Mf M12)()(),: 如果(那么第16页/共25页3. 积分不等式积分不等式()()df M ()()d .g M()(),(),f Mg MM (1)如果那么()()(2)()d() df Mf M 3(),( ),lf MLM ( )如果那么()()dlf ML 第17页/共25页4. 中值定理中值定理()()d( ),f Mf P C,( )f ( )若为一有界连通闭集，则至少存在( ),P 使得一点第18页/共25页d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 积分域 D 的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线.1相切 yx, 1 yx从而d)(d)(32DDyxyx而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上1y2x1OD第19页/共25页10:coscos100dd22yxDyxyxID解解: D 的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200 I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyO第20页/共25页被积函数相同, 且非负, yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解: 321,III由它们的积分域范围可知312III11xyO1. 比较下列积分值的大小关系:第21页/共25页,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示: 因 0 y 1, 故;212yyyD故在D上有, 03x又因323321xyxyxyyOx1D第22页/共25页5 . 04 . 0 I即1. 估计 的值, 其中 D 为DxyyxI162d22. 20, 10yx解解: 被积函数16)(1),(2yxyxf2D 的面积41)0 , 0( fM的最大值),(yxfD上在51431)2, 1 (22 fm),(yxf的最小值,4252 I故yOx2D1第23页/共25页220yx 0)ln(22 yx的正负.) 10(dd)ln(122yxyxyx解：解：当1yx时，故0)ln(22 yx又当时，1 yx于是2)(yx 10dd)ln(122yxyxyx1111xyOD第24页/共25页
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