安徽省芜湖市高三数学上学期期末考试一模试题理

安徽省芜湖市2018届高三数学上学期期末考试（一模）试题 理一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的1. 已知全集 U =x Z |x2-5x-6 ： 0，A 二x Z|-1：xe2，B 二2,3,5，贝U （CuA）PlB 二（）A. 2,3,5 B . 3,5 C . 2,3,4,5 D 3,4,52. 已知复数z满足（1 -i）z - -3 i，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B 第二象限 C第三象限D 第四象限3. 下图是一个算法的程序框图，当输入值x为10时，则其输出的结果是（）i1 1A.B . 2 C . - D . 42 44. 某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选 1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（）A. 96 种 B . 84 种 C.78 种 D . 16 种25. 已知 a =20.9, b =33 , c=log13，则 a,b,c 的大小为（）2A. b c a B . a c b C. b a c D . a b c6. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）乜 C.D . 1一仝2 427“ m 0”是“函数f（x） =|x（mx 2）|在区间（0,：）上为增函数”的（A.充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件-16 -y _x -1I8.已知实数x, y满足条件 x乞3 ，令z = In xIn y，则z的最小值为（x 5y _4Alnl Bln- C. In15 D3-In 159.若 i-cos2r =、3s巾 2则 sin2,=() cos( )C.4A.10.某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（11.已知直线x=3与双曲线俯视图C.2C冷-八1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点,若OPaOA bOB （ a,bR,O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）2 2A a b _1B . |ab|_1C. |a b|_i D . |a-b|_112.已知函数f(x) = 1 nx, x 0 ，若方程f(x)二ax有三个不同的实数根 x1,x2, x3，且、2x+1,xW0xi: X2 :X3，则Xi -X2的取值范围是()A.1 e(e 卡口e)2e23(1 2e，一2C.1 -e2e 11 1D. -e-1)2 e二、填空题(每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知向量 a =(1,m), b = (3, 2)，且 | a +b |2=| a |2 十 | b |2，则 m = 14.已知抛物线y2 = 2 px( p 0)的弦AB过焦点F，若| AB |= 8，且AB中点的横坐标为3,则抛物线的方程为15将函数y =sin x图像上所有点向左平移 纵坐标不变，得到函数 y = f (x)图像若TTd个单位，再将横坐标变为原来的-倍0),4()，且f (x)在(2)上单调递减，16.四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面 SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若 SC = 2 迈，则四棱锥S - ABCD的外接球的表面积为 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列an的首项a1 =1, Sn是数列an的前n项和，且满足2(Sn 1(n 3)a.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足bn =，记数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn ： 3 .anan 118.某校高一 200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布N（70,7.5求证：平面PEF _平面POA ； 求平面PEF与平面PAB所成二面角的余弦值），数学成绩的频数分布直方图如下：（1）计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）；（2）如果成绩大于85分的学生为优秀，这 200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大 约各多少人？（3） 如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从（2）中的这些同学中随机抽取 3人，设三 人中两科都优秀的有 X人，求X的分布列和数学期望.（附参考公式）若 X - N（；），则 P（-；： X ：；） 0.68，P（）2二：:：X ：2二）：0.9619.在边长为4的菱形ABCD中， DAB =60，点E, F分别是边CD,CB的中点，AC PlEF =0 ,沿EF将ACEF翻折到 PEF，连接PA,PB,PD，得到如图所示的五棱锥，且PB f ；而.20.在 ABC 中,31AB = 2, C =，且 S abc3，若以A, B为左右焦点的椭圆M经过点C .(1) 求M的标准方程；(2) 设过M右焦点且斜率为k的动直线与 M相交于E、F两点，探究在x轴上是否存在定 点D，使得DE DF*为定值？若存在，试求出定值和点D的坐标；若不存在，请说明理由21.已知函数 f(x)=l nx-x-m ( m”2,m 为常数).1(1) 求函数f (x)在,e的最小值；e，(2) 设x-1, x2是函数f (x)的两个零点，且 捲：:血，证明：x1 x2 : 1.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.选修4-4 :坐标系与参数方程X = t + 1平面直角坐标系中，直线 I的参数方程为_，( t为参数).以原点为极点，x轴正+1半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 p厂1-cos2 日(1)写出直线I的极坐标方程与曲线 C的直角坐标方程；(2)已知与直线l平行的直线l 过点M(2,0)，且与曲线C交于A, B两点，试求|AB|.23.选修4-5 :不等式选讲 已知函数f (x) =|3x2|.(1) 解不等式 f(x) ：4-|x-1| ；1 11(2) 已知m，n =1(m, n 0)，若|xa| f (x)(a 0)恒成立，求实数a的取值3 m n范围.试卷答案二、填空题13.314.y2 =4x15.3162三、解答题17. 解: (1) 2(Sn 1)=(n - 3总，283一、选择题1-5:BBDBC6-10:DAACC 11、12: CB当 n 一2时，2(Sn11(n 2)and，-得，(n 1)an =(n 2)an,所以卫 也(门_ 2).n 2 n 1 ai1故是首项为丄的常数列，所以an(n 2)n 233bnanan 19(n 2)(n 3)=9(二 Tn =9(1匚)=3-3.3 n 3 n 318.解：(1)数学成绩的平均分为0.012 45 0.02 55 0.025 65 0.035 75 0.006 85 0.002 95 10=65.9根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些.1(2) 语文成绩优秀的概率为p_, =P(X 一 85) =1 - 0.960.02,1数学成绩优秀的概率为p2二(0.0060.002) 10二0.05 ,语文成绩优秀人数为 200 0.02 =4人，数学成绩优秀人数为 200 0.05=10人(3) 语文数学两科都优秀的4人，单科优秀的有 6人，X所有可能的取值为 0, 1, 2, 3,p(x)=0 二 C6,G3。6，1 2P(X) =1 二CC6C10cP 3C330P(X)CC10X的分布列为X0123PPOiI16210301131 6数学期望E(X) =0123.621030 519.解：(1)因为点E,F分别是边CD,CB的中点，所有BD /EF ,因为菱形 ABCD的对角线互相垂直，所以 BD _ AC，故EF _ AC.翻折后即有EF _ AO,EF _ PO因为AO 平面PAO， PO 平面PAO，AO PO =0，所以EF _平面PAO， 又因为EF 平面PEF，所以平面PEF _平面POA.(2)分别延长EF和AB相交于点G，连PG，设AOR BD二K，连接BO , v . DAB二60 ABD 为等边三角形 BD =4, BK =2 , KA =2.3 , KO = PO 二：$3，在 Rt BKO中，BO =汨 KO .7，在 PBO 中，BO2 PO2 =10 =PB2, PO _ BO ,/ PO _ EF , EF BO =0 PO _平面 BFED ,又 EF _ AO , AO _ 平面 PFE ,过点O做OH _ PG，连AH，则.AHO为平面PEF与平面PAB所成二面角的平面角.在 POG 中，OP3 , OG=3, PG=2、3 , oh =OP OG =?,PG 2 tan = - AHO = 0A = 2 J3OH13c20.解：(1)在 ABC 中，由余弦定理 AB2 二 CA2 CB2 -2CA CB cosC4 CA CB 一 ,3=CA CB2 -3CA CB =4.又 S.AbcJcA CB sinC 3CA CB 3 ,2 43代入上式得CACB =2、2，即椭圆长轴22.2，焦距2c = AB =2,2所以椭圆M的标准方程为y1.x22(2)设直线方程y =k(x1)，联立7=1 ,y =k(x-1)得(1 2k2)x2 -4k2x 2k2 -2 =0 ,厶=8k2 8 0 ,2k2 一21 2k24k2设交点 E(X1,yJ，F(X2,y2)，二为 x?2， x1 +2k假设x轴上存在定点 D(xo,O)，使得DE dF为定值，r - 2-DE DF =(为Xo,yJ(X2 Xo, y2)= X1X2 Xo(Xi X2) Xo 讨诃22 2= X!X2 -Xo(X!X2) Xok (为-1)(X2 -1)2222=(1 k )X1X2 -(X。 k )任 X2) Xok(2xo -4xo 1)k2 (Xo -2)21 2k2要使DE DF为定值，则忑示的值与k无关,2xo -4xo 1 = 2(对 -2),575解得xo，此时DE DF为定值，定点为(,O).4 16411 x x =121.解：(1) f x；=lnx-x-m, m”2 的定义域为,e，且 f (x)0,ex当 x (0,1)时，f(x)0，所以 y=f(x)在(0,1)递增;当 x (1：)时，f (x) ：0，所以 y = f (x)在(1,r)递减,且 f () = -1 -1 -m , f (e) =1 - e -m，因 f (丄)- f(e) = -2-丄 e 0, eeee1函数f (x )在-，e的最小值为1-e-m.e，由(1 )知 x1, x2 满足 ln xxm = 0，且 0 ：为：1, x2 1,ln 捲x1m = lnx2-x2- m = 0，由题意可知lnx2-x2二 m ： -2 ： ln 2 - 21又由（1）可知f（x） =ln x X在（1, ：）递减，故x2 2，所以0 :：为,1 ,1 1 1=ln 为一为 一(ln) = ln x2 - x2 -(ln -x2x2X2-x2 2ln2ln x(x) 2,x1 2则 g(x) - -12 -x x-x2 2x -1x2壬12岂0,x2当x 2时，g x是减函数，所以g x :： g 2 - 一 I I n43m 3e2因 ln 4 = ln ln2432.562,ln41.6221.63二 ln4.ln 4.096 卄0,4即g x ： 0 ,所以当x 2 时，f （xj - f （丄）：0，即 x2f (xj ： f ()X21因为0 ：捲,1 ,f X在（0,1）上单调递增，所以人：丄，故捲X : 1.X222.解：（1）将x =cost , y=si代入直线方程得、-3cost - n - . 3 1=0 ,2cos J由2可得2(1 _cos2 丁)二 2cos丁 ,1 -cos2 日曲线C的直角坐标方程为 y2 =2x.（2）直线I的倾斜角为，直线l的倾斜角也为3，又直线l过点M （2,0）,3直线I的参数方程为-仃-2（t为参数），3t.将其代入曲线C的直角坐标方程可得2 3t -4t-16=0，设点A,B对应的参数分别为t1,t2.由一元二次方程的根与系数的关系知3216 4r =4 13IIf II QI I I AB|=|t1 “2 F ,(t1 t2) -4址2 =23.解：(1)不等式 f (x) ：4_|x_1| 可化为：|3x 2| |x_1|：4 2 52当x 时，式为-3x - 2 - x 1 ： 4，解得 x ：3 432 21当 x岂1时，式为3x 2 - x 1 ： 4，解得 x ：；3 32当x 1时，式为3x 2 x -1 ： 4，无解5 1 综上所述，不等式f (x) ：4_|x1|的解集为(-二丄).4 2 11/11nm,(2)解：()(m n) = 24m nm nmn1222令 g(x) =|x-a|_3f(x) =|x-a| -|x 3$|(x-a)-(x 2)|十 33 33310a -322二g(X)max，要使不等式恒成立，只需g(X)max = 4，即0 :3 310实数a取值范围是(0,.3