曲线的切线和法面、密切面

word1.2 曲线的切向量、切线和法面、密切平面假设中的三个分量具有我们所需要的各阶导数。一、 切向量的定义与求法z 对曲线进展研究，从曲线的割线与割线的极限入手。（1）定义 如图 给出曲线上一点，点是曲线上邻近的一点，经过和的直线称为曲线的一条割线。当点沿着曲线趋近于点时，假如割线趋近于一定的位置，如此我们把这个割线的极限位置称为曲线在点处的切线。而定点叫做切点。直观上看，切线是通过点的所有直线当中最贴近曲线的直线。设曲线的参数方程是，。设是该曲线上的一点，记为，给一个增量，考虑曲线上的另外一点记 ， ；如此有，在割线上作向量，使得；当即时，如果有着确定的极限，如此，根据曲线的切线的定义，那么这个极限就是切线上的一向量，称它为曲线在点处的切向量。也就是说，定义为曲线的切向量，用来表示。2切向量的求法 因为，令得。特别，对平面曲线，：，切向量为切线的斜率。曲线切向量为切线的斜率。平面曲线的切线方程和法线方程。例 1、求圆的切向量。解：切向量是所以，这明确与垂直。二、切线方程曲线在点处的切线方程为，这称为切线方程的点向式。三、曲线的法平面经过切点而垂直于切线的平面，称为曲线的法平面或法面。下面导出曲线的法平面方程。设曲线上一点，它所对应的参数为，点的向径是，是法面上的任一点，如此由，得， 假如设，如此得法面方程为。四、光滑曲线 定义 8.2 设曲线，如果，如此称是曲线的一个奇点。如果,称为是曲线的一个正如此点或正常点。例如 ，是曲线的一个奇点，其它点为正如此点。由 ，得，在处不可导。画出曲线图象。例 曲线，当时，有，均为曲线的奇点，其它点为正如此点画出曲线图形。注：，是奇点，不是奇点，表示同一条曲线，原因是变换不是正如此的。定义 如果曲线全由正如此点组成，如此称这条曲线是一条正如此曲线。设曲线，如果切向量的三个分量都是上的连续函数，并且，如此称曲线是一条光滑曲线。设曲线，如果在上连续，并且，如此称曲线是一条光滑曲线。如果曲线表示式中的函数是阶连续可微的函数，如此把这曲线称为类曲线。记号，等的涵义。例如：圆柱螺线是一条光滑曲线，且是类曲线任意正整数。这种曲线，也称为无穷次光滑曲线。分段光滑的曲线概念。分段光滑的曲线的图例，出现被使用的场合。例1 . 求曲线在点处的切线和法平面方程.解 因与点对应参数所以曲线在点M处的切向量为于是所求的切线方程为；法平面方程为即 例2 、 求曲线上平行于直线的切线方程.解 直线的方向向量由于曲线的切向量 平行于向量所以 解得 切点坐标为切向量为所以切线方程为即 例3. 设曲线在任一点的法平面都过原点, 证明此曲线必在以原点为球心的某个球面上.解 任取曲线上一点曲线过该点的法平面方程为:由于法平面过原点，得 于是 ，即曲线在球面上.例4 .设参数曲线段，它的分量和在上连续，在内可导，并且对，有，我们称由与两点决定的直线段为这条参数曲线段的弦.求证：曲线上至少有一点使得曲线在这点上的切线与弦平行. 证: 由柯西中值定理,存在,使得, 弦的斜率为,曲线上点处的切线斜率为, 两者相等, 故弦线与点处的切线平行, 结果得证.五、空间曲线的密切平面 经过上面的讨论， 我们知道，在类曲线的正常点处，总存在一条切线，它是最贴近曲线的直线。下面我们将指出，对于一条类空间曲线而言，过曲线上一点有无数多个切平面，其中有一个最贴近曲线的切平面，它在讨论曲线的性质时起很重要的作用。 定义1 过空间曲线上点的切线和点邻近一点可作一平面，当点沿着曲线趋于时，平面的极限位置称为曲线在点的密切平面。 现在我们找出密切平面的方程。 给出类的空间曲线： 。设曲线上的和点分别对应参数和。 根据泰勒公式，有，其中，。 因为向量和都在平面上，所以它们的线性组合也在平面上。当点沿着曲线趋于时，这时不动，但，这个线性组合向量就趋于，所以平面的极限位置是向量和所确定的平面。 也就是说，如果和不平行，即，这两个向量与点就完全确定了曲线在点的密切平面。根据以上的讨论，曲线在点的密切平面的方程是，其中表示点的密切平面上任意一点的向径。 上式也可以用行列式表示为 。定义2 给出类的空间曲线： 。设曲线上的和点分别对应参数和。过点作由X成的切平面，当点沿着曲线趋于时，平面的极限位置称为曲线在点的密切平面。 现在我们找出密切平面的方程。的方程为，其法方向为，当点沿着曲线趋于时，平面的法向量的极限为，就是的法方向，故曲线在点的密切平面的方程是，其中表示点的密切平面上任意一点的向径。密切平面的几何意义：设曲线上的和点分别对应参数和。过点作一平面，考查点到平面的距离的接近情况，设为平面的单位法向量，由作平面的垂线，垂足为，如此，其中从平面到点有向距离。由于，其中，。 所以有，欲使，需要，此时可为任一过切线的平面；欲使，需要，也就是需要的法方向为，此时的平面是一个切平面，并且与曲线的接近程度较高，所以称这种平面为曲线的密切平面。例 求螺线上点的密切平面。解 把点代入所给曲线方程，得。直接计算，得，把代入，得，；所求密切平面的方程为，即 。曲线，的物理意义。21 / 21