人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程 练习题

人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程 综合专题练习题1今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值2如图，ABC中，C90，BC5厘米，AB5厘米，点P从点A出发沿AC边以2厘米/秒的速度向终点C匀速移动，同时，点Q从点C出发沿CB边以1厘米/秒的速度向终点B匀速移动，P、Q两点运动几秒时，P、Q两点间的距离是2厘米？3已知关于x的一元二次方程：x2（2k+1）x+4（k）0（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰ABC的一边长a4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求ABC的周长4当m为整数时，关于x的方程（2m1）x2（2m+1）x+10是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由5每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某文具店老板开学前某日去批发市场进货，购进甲乙丙三种不同款式的笔记本共950本，已知甲款笔记本的进价为2元/本，乙款笔记本的进价是4元/本，丙款笔记本的进价是6元/本（1）本次进货共花费3300元，并且甲款的笔记本数量是乙款笔记本数量的2倍，请问本次购进丙款笔记本多少本？（2）经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为4元/本、6元/本和10元/本时，每天可分别售出甲款笔记本30本，乙款笔记本50本和丙款笔记本20本如果将乙款笔记本的零售价提高元（a25），甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变，那么乙款笔记本每天的销售量将下降a%，丙款笔记本每天的销售量将上升a%，甲款笔记本每天的销量仍保持不变；若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元，求a的值6如图，在矩形ABCD中，AB10cm，AD8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）几秒后，DPQ的面积是24cm27某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？8我市某社会团体组织人员参观皇窑瓷展，主办方对团体购票实行优惠：在原定票价的基础上，每张降价40元，则按原定票价需花费6000元购买门票，现在只花了4000元（1）求每张门票原定的票价；（2）在展览期间，平均每天可售出个人票2000张，现主办方决定对个人购票也采取优惠措施，发现原定票价每降低2元，平均每天可多售出个人票40张，若要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低多少元？9已知关于x的方程（12k）x22x10（1）若此方程为一元一次方程，求k的值（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围10已知关于x的一元二次方程x2x+m0有两个实数根（1）若m为正整数，求此方程的根（2）设此方程的一个实数根为b，若y4b24b3m+3，求y的取值范围11如图所示，ABC中，B90，AB6cm，BC8cm（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，PBQ的面积为1cm2？12已知 x1、x2是一元二次方程4kx24kx+k+10的两个实数根（1）求k的取值范围（2）是否存在实数k，使（2x1x2）（x12x2）成立？若存在求出k的值；若不存在，请说明理由13已知关于x的一元二次方程x23x+m20有两个实数根x1，x2（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2满足2x1|x2|+1，求m的值14某楼盘2018年2月份以每平方米10000元的均价对外销售，由于炒房客的涌入，房价快速增长，到4月份该楼盘房价涨到了每平方米12100元5月份开始政府再次出台房地产调控政策，逐步控制了房价的连涨趋势，到6月份该楼盘的房价为每平方米12000元（1）求3、4两月房价平均每月增长的百分率；（2）由于房地产调控政策的出台，购房者开始持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对于一次性付清购房款的客户给予以下两种优惠方案以供选择：打9.8折销售；不打折，总价优惠10000元，并送五年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，小颖家在6月份打算购买一套100平方米的该楼盘房子，她家该选择哪种方案更优惠？15已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k40有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是该方程的两个根，且（x1x2）2的值为12，求k的值16黄岩某校搬迁后，需要增加教师和学生的寝室数量，寝室有三类，分别为单人间（供一个人住宿），双人间（供两个人住宿），四人间（供四个人住宿）因实际需要，单人间的数量在20至30之间（包括20和30），且四人间的数量是双人间的5倍（1）若2018年学校寝室数为64个，以后逐年增加，预计2020年寝室数达到121个，求2018至2020年寝室数量的年平均增长率；（2）若三类不同的寝室的总数为121个，则最多可供多少师生住宿？17某文具店销售A、B两种文具，其中A文具的定价为20元/件，B产品的定价10元/件（1）若该文具按定价售出A、B两种文具共400件，若销售总额不低于5000元，则至少销售A产品多少件？（2）该文具店2018年2月按定价销售A文具280件，B文具120件，2018年3月，市场情况发生变化，A文具销售价与上个月持平，但这个月的销售量比上个月减少了m%；B文具的销售价比上个月减少了m%，但销售量增加了m%；3月份的销售总金额与2月份保持不变求m的值18已知关于x的一元二次方程x2（2k2）x+k20有两个实数根x1，x2（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|x1x21，求k的值参考答案1今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值【解答】解：（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%，由题意得：10%，x8.8，答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；（2）由题意得：5000（1+m%）50（13m%）+m4049000，5（1+）（50m+m40）49，m25m60，m16，m21（舍）2如图，ABC中，C90，BC5厘米，AB5厘米，点P从点A出发沿AC边以2厘米/秒的速度向终点C匀速移动，同时，点Q从点C出发沿CB边以1厘米/秒的速度向终点B匀速移动，P、Q两点运动几秒时，P、Q两点间的距离是2厘米？【解答】解：设P、Q两点运动x秒时，P、Q两点间的距离是2厘米在ABC中，C90，BC5厘米，AB5厘米，AC10（厘米），AP2x 厘米 CQx厘米 CP（102x）厘米，在RtCPQ内有PC2+CQ2PQ2，（102x）2+x2（2）2，整理得：x28x+120，解得：x2或x6，当x6时 CP102x20，x6不合题意舍去P、Q两点运动2秒时，P、Q两点间的距离是2厘米3已知关于x的一元二次方程：x2（2k+1）x+4（k）0（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰ABC的一边长a4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求ABC的周长【解答】（1）证明：（2k+1）2414（k）4k212k+9（2k3）2，无论k取什么实数值，（2k3）20，0，无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：x，x12k1，x22，b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b2k1，c2，当a、b为腰，则ab4，即2k14，解得k，此时三角形的周长4+4+210；当b、c为腰时，bc2，此时b+ca，故此种情况不存在综上所述，ABC的周长为104当m为整数时，关于x的方程（2m1）x2（2m+1）x+10是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由【解答】解：当m为整数时，关于x的方程（2m1）x2（2m+1）x+10没有有理根理由如下：当m为整数时，假设关于x的方程（2m1）x2（2m+1）x+10有有理根，则要b24ac为完全平方数，而（2m+1）24（2m1）4m24m+5（2m1）2+4，设n2（n为整数），即（2m1）2+4n2（n为整数），所以有（2m1n）（2m1+n）4，2m1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以或，解得m，2m10时，m（不合题意舍去）所以当m为整数时，关于x的方程（2m1）x2（2m+1）x+10没有有理根5每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某文具店老板开学前某日去批发市场进货，购进甲乙丙三种不同款式的笔记本共950本，已知甲款笔记本的进价为2元/本，乙款笔记本的进价是4元/本，丙款笔记本的进价是6元/本（1）本次进货共花费3300元，并且甲款的笔记本数量是乙款笔记本数量的2倍，请问本次购进丙款笔记本多少本？（2）经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为4元/本、6元/本和10元/本时，每天可分别售出甲款笔记本30本，乙款笔记本50本和丙款笔记本20本如果将乙款笔记本的零售价提高元（a25），甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变，那么乙款笔记本每天的销售量将下降a%，丙款笔记本每天的销售量将上升a%，甲款笔记本每天的销量仍保持不变；若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元，求a的值【解答】解：（1）设乙款笔记本的数量为x本，则甲款2x本，丙款（9503x）本，根据题意，得22x+4x+6（9503x）3300解得x240，9503x230答：本次购进丙款笔记本230本（2）根据题意，得（42）30+（6+4）50（1a%）+（106）20（1+a%）260整理得a270a+10000解得a150，a220（不符合题意，舍去）答：a的值为506如图，在矩形ABCD中，AB10cm，AD8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）几秒后，DPQ的面积是24cm2【解答】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，PD2PQ，四边形ABCD是矩形，AB90，PD2AP2+AD2，PQ2BP2+BQ2，PD24 PQ2，82+（2t）24（102t）2+t2，解得：t13，t27；t7时102t0，t3，答：3秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）设x秒后DPQ的面积是24cm2，则82x+（102x）x+（8x）108024，整理得x28x+160解得x1x24，答：4秒后，DPQ的面积是24cm27某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？【解答】解：设每件衬衫应降价x元，由题意得：（40x）（20+2x）1200，即2x260x+4000，x230x+2000，（x10）（x20）0，解得：x10或x20为了减少库存，所以x20故每件衬衫应应降价20元8我市某社会团体组织人员参观皇窑瓷展，主办方对团体购票实行优惠：在原定票价的基础上，每张降价40元，则按原定票价需花费6000元购买门票，现在只花了4000元（1）求每张门票原定的票价；（2）在展览期间，平均每天可售出个人票2000张，现主办方决定对个人购票也采取优惠措施，发现原定票价每降低2元，平均每天可多售出个人票40张，若要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低多少元？【解答】解：（1）设每张门票的原定的票价是x元，解得，x120经检验x120是原分式方程的解，即每张门票的原定的票价是120元；（2）要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低x元，（120x）（2000+40）241500，解得，x15，x215，能有效控制游览人数，x5时，购买的人数较少，可以较好的控制，即要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低5元9已知关于x的方程（12k）x22x10（1）若此方程为一元一次方程，求k的值（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围【解答】解：（1）由（12k）x22x10是一元一次方程，得12k0，解得k；（2）由（12k）x22x10为一元二次方程，且有实数根，得（2）24（12k）（1）0，且12k0，k+10，4k+4+4（12k）0，4k8，k2，即1k2，k此方程为一元二次方程，且有实数根，k的取值范围为1k2且k10已知关于x的一元二次方程x2x+m0有两个实数根（1）若m为正整数，求此方程的根（2）设此方程的一个实数根为b，若y4b24b3m+3，求y的取值范围【解答】解：（1）一元二次方程x2x+m0有两个实数根，1m0，又m为正整数，m1，方程的根为；（2）1m0，m1，b是方程的一个实数根，b2b+m0，4b24b+m0，y4b24b3m+334m，y34m1即y的取值范围是：y111如图所示，ABC中，B90，AB6cm，BC8cm（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，PBQ的面积为1cm2？【解答】解：（1）设经过x秒，使PBQ的面积等于8cm2，依题意有（6x）2x8，解得x12，x24，经检验，x1，x2均符合题意故经过2秒或4秒，PBQ的面积等于8cm2；（2）设经过y秒，线段PQ能否将ABC分成面积相等的两部分，依题意有ABC的面积6824，（6y）2y12，y26y+120，b24ac36412120，此方程无实数根，线段PQ不能否将ABC分成面积相等的两部分；（3）点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0x4），设经过m秒，依题意有（6m）（82m）1，m210m+230，解得m15+，m25，经检验，m15+不符合题意，舍去，m5；点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4x6），设经过n秒，依题意有（6n）（2n8）1，n210n+250，解得n1n25，经检验，n5符合题意点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x6），设经过k秒，依题意有（k6）（2k8）1，k210k+230，解得k15+，k25，经检验，k15不符合题意，舍去，k5+；综上所述，经过（5）秒，5秒，（5+）秒后，PBQ的面积为1cm212已知 x1、x2是一元二次方程4kx24kx+k+10的两个实数根（1）求k的取值范围（2）是否存在实数k，使（2x1x2）（x12x2）成立？若存在求出k的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）x1、x2是一元二次方程4kx24kx+k+10的两个实数根，b24ac16k244k（k+1）16k0，且4k0，解得k0；（2）x1、x2是一元二次方程4kx24kx+k+10的两个实数根，x1+x21，x1x2，（2x1x2）（x12x2）2x124x1x2x1x2+2x222（x1+x2）29x1x221292，若2成立，解上述方程得，k，（1）中k0，（2）中k，矛盾，不存在这样k的值13已知关于x的一元二次方程x23x+m20有两个实数根x1，x2（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2满足2x1|x2|+1，求m的值【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x23x+m20有两个实数根，0，即94（m2）0解得m答：m的求值范围为m（2）根据根与系数的关系：x1+x23，x1x2m2，x1，x2满足2x1|x2|+1，当x20时，2x1x2+1把x23x1代入，得2x13x1+1解得x1，x2，m2x1x2m当x20时，2x1x2+12x1+3x11解得x12，x25，2x1|x2|+1，x12，x25（不符合题意，舍去）答：m的值为14某楼盘2018年2月份以每平方米10000元的均价对外销售，由于炒房客的涌入，房价快速增长，到4月份该楼盘房价涨到了每平方米12100元5月份开始政府再次出台房地产调控政策，逐步控制了房价的连涨趋势，到6月份该楼盘的房价为每平方米12000元（1）求3、4两月房价平均每月增长的百分率；（2）由于房地产调控政策的出台，购房者开始持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对于一次性付清购房款的客户给予以下两种优惠方案以供选择：打9.8折销售；不打折，总价优惠10000元，并送五年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，小颖家在6月份打算购买一套100平方米的该楼盘房子，她家该选择哪种方案更优惠？【解答】解：（1）设3、4两月房价平均每月增长的百分率为x，根据题意得：10000（1+x）212100，解得：x10.110%，x22.1（舍去）答：3、4两月房价平均每月增长的百分率为10%（2）选择第一种优惠总额10012000（10.98）24000（元），选择第二种优惠总额1001.5125+1000019000（元）2400019000，选择第一种方案更优惠15已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k40有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是该方程的两个根，且（x1x2）2的值为12，求k的值【解答】解：（1）由题意可得44（2k4）0，解得k；（2）x1，x2为该方程的两个实数根，x1+x22，x1x22k4，（x1x2）212，（x1+x2）24x1x212，44（2k4）12，解得k1k，k1符合题意16黄岩某校搬迁后，需要增加教师和学生的寝室数量，寝室有三类，分别为单人间（供一个人住宿），双人间（供两个人住宿），四人间（供四个人住宿）因实际需要，单人间的数量在20至30之间（包括20和30），且四人间的数量是双人间的5倍（1）若2018年学校寝室数为64个，以后逐年增加，预计2020年寝室数达到121个，求2018至2020年寝室数量的年平均增长率；（2）若三类不同的寝室的总数为121个，则最多可供多少师生住宿？【解答】解：（1）设2018至2020年寝室数量的年平均增长率为x，根据题意得：64（1+x）2121，解得：x10.37537.5%，x22.375（不合题意，舍去）答：2018至2020年寝室数量的年平均增长率为37.5%（2）设双人间有y间，可容纳人数为w人，则四人间有5y间，单人间有（1216y）间，单人间的数量在20至30之间（包括20和30），解得：15y16根据题意得：w2y+20y+1216y16y+121，当y16时，16y+121取得最大值为377答：该校的寝室建成后最多可供377名师生住宿17某文具店销售A、B两种文具，其中A文具的定价为20元/件，B产品的定价10元/件（1）若该文具按定价售出A、B两种文具共400件，若销售总额不低于5000元，则至少销售A产品多少件？（2）该文具店2018年2月按定价销售A文具280件，B文具120件，2018年3月，市场情况发生变化，A文具销售价与上个月持平，但这个月的销售量比上个月减少了m%；B文具的销售价比上个月减少了m%，但销售量增加了m%；3月份的销售总金额与2月份保持不变求m的值【解答】解：（1）设销售A产品x件，则销售B产品（400x）件，由题意得：20x+10（400x）5000，解得：x100答：至少销售A产品100件（2）根据题意得：20280（1m%）+10（1m%）120（1+m%）28020+12010，整理得：8m2120m0，解得：m115，m20（不合题意，舍去）答：m的值为1518已知关于x的一元二次方程x2（2k2）x+k20有两个实数根x1，x2（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|x1x21，求k的值【解答】解：（1）方程有两个实数根x1，x2，（2k2）24k20，解得k；（2）由根与系数关系知：x1+x22k2，x1x2k2，k，2k20，又|x1+x2|x1x21，代入得，|2k2|k21，可化简为：k2+2k30解得k1（不合题意，舍去）或k3，k318 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