高中数学定积分的概念新人教A选修

会计学1高中数学定积分的概念高中数学定积分的概念 新人教新人教A选修选修 1.曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线，直线x=a、x=b及及x x轴所围成的图形叫做曲边轴所围成的图形叫做曲边梯形。梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积x=ax=b第1页/共24页 因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线L来代替点来代替点P附附近的曲线，也就是说：在点近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）看作直线（即在很小范围内以直代曲）P放大放大再放大再放大PP第2页/共24页 y = f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得第3页/共24页A A1+ A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y = f(x)bax yOA1A2第4页/共24页A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4第5页/共24页 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边于是曲边梯形的面积梯形的面积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 第6页/共24页（1 1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每个区间的长度为过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作.S,S,S,Sni21 n1n2nknnxOy2xy 例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线直线x=1和和x轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积。几何画板几何画板第7页/共24页（2 2） 以直代曲以直代曲n1)n1i(x)n1i(fS2i（3 3）作和）作和) 1n(210n1 n1)n1- i(n1)n1- if( SSSSS22223n1i2n1in1iin21 第8页/共24页（4 4）逼近）逼近。面积为，即所求曲边三角形的所以时，亦即当分割无限变细，即3131S31)n12)(n11 (61) 12n(n) 1n(61n1) 1n(210n1)n(0 x322223 小结小结: :求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法（1 1）分分割割 （2 2）求面积的和求面积的和 （3 3）取极限取极限 n 第9页/共24页利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题反之，如果间的关系，求物体运动速度”的问题反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？间内经过的路程呢？ 问题：问题： 汽车以速度汽车以速度v组匀速直线运动时， 经过时间组匀速直线运动时， 经过时间t所行驶的路程为所行驶的路程为Svt 如果汽车作变速直线运动， 如果汽车作变速直线运动，在时刻在时刻t的速度为的速度为 22v tt （单位：（单位：kmkm/ /h h） ，那） ，那么它在么它在 0 0t1(1(单位：单位： h)h)这段时间内行驶的路程这段时间内行驶的路程S（单位：（单位：kmkm）是多少？是多少？ 引入引入二、汽车行驶的路程二、汽车行驶的路程第10页/共24页分析：分析：与求曲边梯形面积类似，采取与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代“以不变代变”变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题把区间为匀速直线运动的路程问题把区间0,1分成分成n个小个小区间，在每个小区间上，由于区间，在每个小区间上，由于( )v t的变化很小，可以的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S（单位：（单位：kmkm）的近似值，最后让）的近似值，最后让n趋紧于无穷大就得到趋紧于无穷大就得到S（单（单位：位：kmkm）的精确值）的精确值 （思想：思想：用化归为各个小区间上用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程） 速直线运动的路程） 第11页/共24页解：解：1 1分割分割 在时间区间在时间区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入1n个点，个点，将区间将区间0,1等分成等分成n个小区间：个小区间： 10,n，1 2,n n，1,1nn 记第记第i个区间为个区间为1,(1,2, )iiinnn，其长度为，其长度为11iitnnn 把汽车在时间段把汽车在时间段10,n，1 2,n n，1,1nn上行上行驶的路程驶的路程分别记作：分别记作：1S，2S，nS 显然，显然，1niiSS 第12页/共24页（2 2）近似代替）近似代替 当当n很大，即很大，即t很小时，在区间很小时，在区间1,iinn上，可以认为函数上，可以认为函数 22v tt 的值变化很的值变化很小， 近似的等于一个常数， 不妨认为它近似的等于左端小， 近似的等于一个常数， 不妨认为它近似的等于左端点点1in处的函数值处的函数值2112iivnn ，从从物理意义物理意义上看，上看，即使汽车在时间段即使汽车在时间段1,iinn(1,2, )in上的上的速度变化很小， 不妨认为它近似地以时刻速度变化很小， 不妨认为它近似地以时刻1in处的速度处的速度2112iivnn 作匀速直线运动作匀速直线运动 第13页/共24页即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变速” ，于是的用小矩形的面积速” ，于是的用小矩形的面积iS近似的代替近似的代替iS，则有则有 21112iiiiSSvtnnn 2112(1,2, )iinnnn 第14页/共24页（3 3）求和）求和 由由得，得， 21111112nnnniiiiiiSSvtnnnn = =221111102nnnnnn = =222311212nn = = 3121126nnnn= =11111232nn 从而得到从而得到S的近似值的近似值 11111232nSSnn 第15页/共24页（4 4）取极限）取极限 当当n趋向于无穷大时，即趋向于无穷大时，即t趋向于趋向于 0 0 时，时，11111232nSnn 趋向于趋向于S， 从而有从而有111limlimnnnniiSSvnn 1115lim112323nnn 第16页/共24页思考：思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程为汽车行驶的路程S 与与由直线由直线0,1,0ttv和曲线和曲线22vt 所围成的曲边梯形的面积有什所围成的曲边梯形的面积有什么关系？么关系？ 结合上述求解过程可知结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程，汽车行驶的路程limnnSS在数据上等于在数据上等于由直线由直线0,1,0ttv和曲线和曲线22vt 所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积 思考思考第17页/共24页一般地，如果物体做变速直线运动，速度函一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为数为 vv t， 那么我们也可以采用分割、 近似代， 那么我们也可以采用分割、 近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在的方法及无限逼近的思想，求出它在a atb b内内所作的位移所作的位移S 结论结论第18页/共24页练习：练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 即力成正比， 即力 F xkx（k为常数，为常数，x是伸长量） ，是伸长量） ，求弹簧从平衡位置拉长求弹簧从平衡位置拉长b所作的功所作的功 分析：分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解 练习练习第19页/共24页解：解： 将物体用常力将物体用常力F沿力的方向移动距离沿力的方向移动距离x，则所，则所作的功为作的功为WF x （1 1） 分割 分割 在区间在区间0,b上等间隔地插入上等间隔地插入1n个点，个点，将区间将区间0,1等分成等分成n个小区间：个小区间： 0,bn，2,bbnn，1,nbbn 记第记第i个区间为个区间为1,(1,2, )ib i binnn， 其长度为其长度为1ibi bbxnnn 把在分段把在分段0,bn， 第20页/共24页（2 2）近似代替）近似代替 有条件知：有条件知：11iibib bWFxknnn (1,2, )in 2,bbnn，1,nbbn上所作的功上所作的功分别记作：分别记作：1W，2W，nW （3 3）求和）求和 111nnniiiib bWWknn 第21页/共24页= =220 121kbnn 22211122n nkbkbnn 从而得到从而得到W的近似值的近似值 2112nkbWWn （4 4）取极限）取极限 2211limlimlim122nninnnikbkbWWWn 所以得到弹簧从平衡位置拉长所以得到弹簧从平衡位置拉长b所作的功为：所作的功为：22kb 第22页/共24页2)(xxfnini,1C1、当、当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.)1(nf)2(nf)(nif 0f1,iixx2、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上上的近似值等于（的近似值等于（ ）A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确以上答案均不正确)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxfC第23页/共24页