多元函数积分小结课件

多元函数积分小结PPT课件多元函数积分小结多元函数积分小结多元函数积分小结PPT课件,)(lim)(10niiiMfdMf.)()(, badxxfdMfbaR 上上区区间间.),()(,2 DdyxfdMfDR 上上区区域域各种积分之间的联系各种积分之间的联系定积分定积分二重积分二重积分积分概念的联系积分概念的联系多元函数积分小结PPT课件 dVzyxfdMfR),()(,3 上上区区域域.)()(,32 dsMfdMfRR 上上（有有向向）曲曲线线或或.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 上上（有有向向）曲曲面面曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.),()( SdxdyzyxfdMf .)()( dxMfdMf 多元函数积分小结PPT课件二重积分二重积分(1). 直角坐标系下的计算(2). 极坐标系下的计算多元函数积分小结PPT课件1.直角坐标系下的计算(1). x型区域上的计算(2). y型区域上的计算(3). 二重积分的换序问题多元函数积分小结PPT课件xyOxyOxyOabD )(2xy )(1xyabD )(2xy )(1xyabD )(2xy )(1xy（1 1） x - -型区域型区域 dd),(dd),()( )( 21xyyxfyxyxfxxbaD)( )( 21d),(dxxbayyxfx 的两次定积分。，后对化为先对型区域上的二重积分可xyx多元函数积分小结PPT课件xyOxyOxyO )(2yhx )(1yhx D )(2yhx )(1yhx D )(2yhx )(1yhx (2). y - -型区域型区域cdDcdcd dd),(dd),()( )( 21yxyxfyxyxfyhyhdcD)( )( 21d),(dyhyhdcxyxfy 的两次定积分。，后对化为先对型区域上的二重积分可yxy多元函数积分小结PPT课件3.极坐标系下的计算 22计算。考虑运用极坐标系进行可时，或者被积函数含有形，当积分区域是圆盘、扇yx dd ),(),( )sin,cos(dd),( *DDrryxrrfyxyxf dd )sin,cos(*。Drrrrf多元函数积分小结PPT课件(1)(1)极点位于积分区域外极点位于积分区域外xO*D)(2rr )(1rr 方程为在极坐标系中，曲线的 )(。rr 如图所示， | ),(*，rD )()(21，rrr ),()()(21，则，其中，Crr d )sin ,cos(ddd )sin ,cos()( )( *21。rrDrrrrfrrrrf多元函数积分小结PPT课件(2)(2)极点位于积分区域边界上极点位于积分区域边界上xO*D 方程为在极坐标系中，曲线的 )(。rr 如图所示， | ),(*，rD )( 0，rr ),()( ，则其中，Cr d )sin ,cos(ddd )sin ,cos()( 0 *。rDrrrrfrrrrf)(rr 多元函数积分小结PPT课件(3)(3)极点位于积分区域内部极点位于积分区域内部xO*D 方程为在极坐标系中，曲线的 )(。rr 如图所示， 20 | ),(*，rD )( 0，rr ),()( ，则其中，Cr d )sin ,cos(ddd )sin ,cos()( 0 2 0 *。rDrrrrfrrrrf)(rr 多元函数积分小结PPT课件性性 质质 。轴对称，关于与设 2121DDDxDD ),(),( ),( ，则为偶函数：关于变量若函数yxfyxfyyxf dd),(2dd),(1。DDyxyxfyxyxf ),(),( ),( ，则为奇函数：关于变量若函数yxfyxfyyxf 0dd),(。Dyxyxf多元函数积分小结PPT课件三重积分三重积分(1). 直角坐标系下的计算(2). 利用柱面坐标计算(3). 利用球面坐标计算多元函数积分小结PPT课件 . 1且，平面上的投影区域为在若区域Dxy , ),( , ),(),( | ),(21Dyxyxzzyxzzyx d),(ddddd),( ),( ),( 21。则yxzyxzDzzyxfyxzyxzyxf z . 2且，平面上的投影区域为在若区域Dx , ),( , ),(),( | ),(21Dzxyxyyyxyzyx d),(ddddd),( ),( ),( 21。则zxyzxyDyzyxfzxzyxzyxf z . 3且，平面上的投影区域为在若区域Dy , ),( , ),(),( | ),(21Dzyyxxxyxxzyx d),(ddddd),( ),( ),( 21。则zyxzyxDxzyxfzyzyxzyxf(1). 直角坐标系下三重积分的计算直角坐标系下三重积分的计算多元函数积分小结PPT课件 确定三重积分限的方法 ) 1 (：平面上，得到投影区域投影到将区域Dxy )()( , | ),(21。xyyxybxayxD )2(轴的直线，该直线内任取一点，作平行于在zD ),( ),( 21则，和相交于且与穿过yxzyxz , ),(),( , )()( , | ),(2121yxzzyxzxyyxybxazyx )3( 三重积分化为累次积分dzdd),(yxzyxf d),(dd),( ),( )( )( 2121。yxzyxzxyxybazzyxfyx或其它坐标面上多元函数积分小结PPT课件 , cosrx , sinry 。zz (2). 利用柱面坐标计算 ddd),(zyxzyxf ddd ),sin,cos(*zrrzrrf | |rrJ多元函数积分小结PPT课件 , D , 或被积函数中为圆型区域的投影当积分区域一般说来 , )( 22。则可考虑采用柱面坐标时出现yx , cosrx , sinry 。zz zrrzyxddd ddd多元函数积分小结PPT课件 。极坐标系球面坐标系又称为空间xyzo),(zyxM . 的距离坐标原点到点Mr . 轴正向间的夹角与zOM 平面上的投影向量在xyOM . 轴正向间的夹角与xOP)0 ,(yxP r . , 的球面半径为坐标面是原点为中心常数rr . 2 , 的圆锥面锥顶角为坐标面是以原点为顶点常数 . 轴的半平面坐标面是过常数z(3). 利用球面坐标计算多元函数积分小结PPT课件 : ),( ),( 间的关系与球坐标的直角坐标点rzyxM , cossinrx , sinsinry . cosrz . 20 , 0 , 0 , r其中 ddd),(zyxzyxf dddsin )cos , sinsin , cossin(2*rrrrrf多元函数积分小结PPT课件性质性质上连续。在有界闭区域设),( zyxf平面对称，则关于若xy),(),(ddd ),(2),(),(0ddd ),(1zyxfzyxfzyxzyxfzyxfzyxfzyxzyxf若若01z其中，多元函数积分小结PPT课件对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分(1). 直角坐标系下的计算(2). 参数方程形式的计算多元函数积分小结PPT课件(1). 直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算 . 1的方程为设曲线L , ) , ()( , , , )(1则且baCxybaxxyy . ) 1 ( d1 )(,(d),( 2 baLxyxyxfsyxf . 2的方程为设曲线L , ) , ()( , , , )(1则且dcCyxdcyyxx . )2( d1 ),(d),( 2 dcLyxyyxfsyxf多元函数积分小结PPT课件(2). 参数方程时对弧长的曲线积分的计算参数方程时对弧长的曲线积分的计算 , , , )( , )( : ttyytxxL设 , ) ,()( , )( 1则且Ctytx , d)()(d22ttytxs . (3) d)()()(),(d),( 22 ttytxtytxfsyxfL . :的增加方向一致变量取弧长的增加方向与自注意t . , 积分下限小于积分上限化为定积分后多元函数积分小结PPT课件三维空间中对弧长的曲线积分的计算三维空间中对弧长的曲线积分的计算 , 3然后程形式中的曲线表示为参数方通常将空间R . 化为定积分来计算 3的参数方程为中曲线设R , , , )( , )( , )( :ttzztyytxx , ) ,()( , )( , )( 1则且Ctztytx , d)()()(d222ttztytxs . d)()()()(),(),(d),( 222 ttztytxtztytxfszyxf ; ),(的量弧长的增加方向与自变上定义在曲线tzyxf . 增加方向一致多元函数积分小结PPT课件对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分(1). 直角坐标系下的计算(2). 参数方程形式的计算多元函数积分小结PPT课件 ).1 (的方程为设曲线L , ) , ()( , , , )(1则且baCxybaxxyyxx1. 直角坐标方程形式下的计算直角坐标方程形式下的计算 d)(,(d),( )( baABLxxyxPxyxP d)()(,(d),( )( baABLxxyxyxPyyxQ多元函数积分小结PPT课件 ).2(的方程为设曲线 L , ) , ()( , , , )(1则且dcCyxdcyyxxyy d)(),(d),( )( dcABLyyxyyxPxyxP d),(d),( )( dcABLyyyxPyyxQ多元函数积分小结PPT课件2. 参数方程形式下的计算参数方程形式下的计算 , , , )( , )( : ttyytxxL设 0, )( )( , ) ,()( , )( 221则且tytxCtytx d)()(),(d),( )( ttxtytxPxyxPABL d)()(),(d),( )( ttytytxQxyxQABL多元函数积分小结PPT课件直接计算法直接计算法第一类：第一类：从从小小参数到参数到大大参数参数；第二类：第二类：从从起点起点参数到参数到终点终点参数参数。化为对化为对L L的定位参数的定积分。的定位参数的定积分。注意：注意：间接计算法间接计算法用两类曲线积分的联系；用两类曲线积分的联系；用用GreenGreen公式及其推论、公式及其推论、StokesStokes公式公式. .第二类与定向有关第二类与定向有关。两类曲线积分两类曲线积分dsRQPRdzQdyPdxLL)coscoscos( 多元函数积分小结PPT课件 LQdyPdxIxQyP xQyP 闭合闭合非闭非闭闭合闭合非闭非闭补充曲线再用公式补充曲线再用公式基本基本方法方法: )()(ttyytxxDyxyPxQIdd)(LyQxPIdd),(),(00ddyxyxyQxPIttytytxQtxtytxPId)()(),()()(),(多元函数积分小结PPT课件对面积的曲面积分对面积的曲面积分直角坐标系下的计算多元函数积分小结PPT课件 , , ),( : . 1则平面上的投影区域为在yxDyxyxzz . dd1 ),(,( d),(22yxDyxyxzzyxzyxfSzyxf , , ),( : . 2则平面上的投影区域为在zyDzyzyxx . dd1 ),),( d),(22zyDzyzyxxzyzyxfSzyxf , , ),( : . 3则平面上的投影区域为在zxDzxzxyy . dd1 ),(,( d),(22zxDzxzxyyzzxyxfSzyxf多元函数积分小结PPT课件对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分直角坐标系下的计算多元函数积分小结PPT课件 设积分曲面由方程zz(x y)给出的 在xOy面上的投影区域为Dxy 函数zz(x y)在Dxy上具有一阶连续偏导数 被积函数R(x y z)在上连续 则有dxdyyxzyxRdxdyzyxRxyD),(,),( 其中当取上侧时 积分前取“” 当取下侧时 积分前取“” 计算计算多元函数积分小结PPT课件 ),(yxfz xyDxyzo)1( , )R x y z dxdy上 ,( ,).xyDR x y z x ydxdy( , , )( , , ( , )xyDR x y z dxdyR x y z x ydxdy 下多元函数积分小结PPT课件)2注意注意: :对坐标的曲面积分与所取的侧有关。对坐标的曲面积分与所取的侧有关。)3前dydzzyzyxPdydzzyxPyzD,),(),(后dydzzyzyxPdydzzyxPyzD,),(),(右dzdxzxzyxQdzdxzyxQzxD),(,),(左dzdxzxzyxQdzdxzyxQzxD),(,),(多元函数积分小结PPT课件两类曲面积分两类曲面积分直接计算法直接计算法第一类：化为对某两个直角坐标（第一类：化为对某两个直角坐标（ 的定位参的定位参 数）的二重积分；数）的二重积分；第二类：将对第二类：将对x、y的曲面积分化为对的曲面积分化为对x、y的二的二重积分。重积分。注意：注意：间接计算法间接计算法用两类曲面积分的联系；用两类曲面积分的联系；用高斯公式。用高斯公式。第二类与定向有关第二类与定向有关。dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( 多元函数积分小结PPT课件计算上的联系计算上的联系 baxyxyDdxdyyxfdyxf)()(21),(),(baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdVzyxf)()(),(),(2121),(),(baLdxyxyxfdsyxf21)(,),(baLdxxyxfdxyxf)(,),(,),(baDxdydzzyxfdx或,),(),(),(21yxzyxzDdzzyxfdxdyxy或多元函数积分小结PPT课件xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),(xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR)(,(,),(多元函数积分小结PPT课件理论上的联系理论上的联系1. 二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系格林公式格林公式LDQdyPdxdxdyyPxQ)(2. 三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系高斯公式高斯公式zyxzRyQxPyxRxzQzyPddd )(dddddd多元函数积分小结PPT课件3. 曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式斯托克斯公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx 多元函数积分小结PPT课件定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式各种积分之间的联系图各种积分之间的联系图多元函数积分小结PPT课件练习题练习题)1 (。的一段弧，则曲线积分到点上从点为右半单位圆设曲线LsyxyxLd)0 , 1 ()1,0()0(122).(d )(d)(2202220yyxfxufxx连续，则设)2(rrrfrrrfd)(d.Bd)(dA.020220102rrrfrrrfd)(d.Dd)(dC.20sin20220cos202多元函数积分小结PPT课件)3(的一段曲线。到上从点为其中计算曲线积分)0 ,0()0 ,2(2,d)2cos(dsin22xyxLyxxxxyL)4(并计算。的次序交换二重积分2142222ddddxxxyyxxyyxx。，求二重积分设DyxyxyxyxyxDdd10,0,4),(2222)5(多元函数积分小结PPT课件所围成的区域。与是由曲面其中计算22221,dddyxzyxzzyxz)6()7(。计算外侧为曲面设yxzzxyzyxzyxSSdddddd,1333222