北邮复变函数课件

北邮复变函数PPT课件12011. 9. 28北邮复变函数PPT课件21 1 解析函数的概念及充要条件解析函数的概念及充要条件第二章第二章 解析函数解析函数北邮复变函数PPT课件3一、复变函数的导数一、复变函数的导数“差商的极限差商的极限”1.1.定义定义: :, , , )( 00的的范范围围不不出出点点点点中中的的一一为为定定义义于于区区域域设设函函数数DzzDzDzfw , )( . )( 00的的导导数数在在这这个个极极限限值值称称为为可可导导在在那那末末就就称称zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 记记作作 , )()(lim 000存在存在如果极限如果极限zzfzzfz 北邮复变函数PPT课件4在定义中应注意在定义中应注意:.)0(00的的方方式式是是任任意意的的即即 zzzz.)()(,0000都趋于同一个数都趋于同一个数比值比值时时内以任意方式趋于内以任意方式趋于在区域在区域即即zzfzzfzDzz . )( , )( 可导可导在区域内在区域内就称就称我们我们内处处可导内处处可导在区域在区域如果函数如果函数DzfDzf北邮复变函数PPT课件5例例1 .)(2的导数的导数求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 北邮复变函数PPT课件6例例2 .Im)(的的可可导导性性讨讨论论zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(时时而而使使向向当当点点沿沿平平行行于于实实轴轴的的方方 zy北邮复变函数PPT课件7zzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx,0)0(时时而而使使向向当当点点沿沿平平行行于于虚虚轴轴的的方方 zxzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy ,0极极限限值值不不同同时时当当点点沿沿不不同同的的方方向向使使 z.Im)(在在复复平平面面上上处处处处不不可可导导故故zzf 北邮复变函数PPT课件8例例3 是是否否可可导导？问问yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0 ，轴轴的的直直线线趋趋向向于于沿沿着着平平行行于于设设zxzz xyoz0 y北邮复变函数PPT课件9xyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，轴轴的的直直线线趋趋向向于于沿沿着着平平行行于于设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不不存存在在的的导导数数所所以以.2)(yixzf 北邮复变函数PPT课件102.2.可导与连续可导与连续: : 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续, 但但函数函数 f(z) 在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.证证 , 0可导的定义可导的定义根据在根据在 z, 0, 0 , |0 时时使使得得当当 z,)()()( 000 zfzzfzzf有有)()()()( 000zfzzfzzfz 令令北邮复变函数PPT课件11, 0)(lim 0 zz 则则 )()( 00zfzzf 因因为为 , )()(lim 000zfzzfz 所所以以 . )(0连连续续在在即即zzf证毕证毕 ,)( )(0zzzzf 北邮复变函数PPT课件123.3.求导公式求导公式与法则与法则: : . , 0)()1(为为复复常常数数其其中中cc .,)()2(1为为正正整整数数其其中中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf北邮复变函数PPT课件13 )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其其中中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函数函数两个互为反函数的单值两个互为反函数的单值是是与与其中其中北邮复变函数PPT课件14二二. .复函数的微分复函数的微分: :. )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)( 000000线性部分线性部分的的的改变量的改变量是函数是函数小小的高阶无穷的高阶无穷是是式中式中则则可导可导在在设函数设函数wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf 记记作作的的微微分分在在点点称称为为函函数数1.1.定义定义. )( , 00可微可微在在则称函数则称函数的微分存在的微分存在如果函数在如果函数在zzfz北邮复变函数PPT课件15特别地特别地, , )( 时时当当zzf zwdd zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw .)( ,)(内可微内可微区域区域在在则称则称内处处可微内处处可微区域区域在在如果函数如果函数DzfDzf北邮复变函数PPT课件16三三. .可微可微( (可导可导) )的充要条件的充要条件1.1.在一点可导或可微在一点可导或可微可微内一点在则内有定义，在区域设iyxzD) z (fD)y, x(iv)y, x(u) z (f:1Th).R.C(xvyu,yvxu)2()y, x()y, x(v)y, x(u) 1 (条件可微在，xv iyvyu ixuyu iyvxv ixu)z(f此时北邮复变函数PPT课件17注意柯西黎曼条件注意柯西黎曼条件(直角坐标直角坐标,极坐标极坐标)urrvvrruxvyuyvxuRC1,1)2(,) 1 (.条件xv iyvyu ixuyu iyvxv ixu)z(f注意复函数的导数注意复函数的导数北邮复变函数PPT课件18连续偏导连续可微分偏导存在 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf 0001sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf 000),(222222yxyxyxxyyxf注意到二元函数可微，偏导，连续注意到二元函数可微，偏导，连续 的性质的性质北邮复变函数PPT课件19可微内一点在则内有定义，在区域设iyxzD)z(fD)y, x(iv)y, x(u)z(fTh2, x-vyu, yvxu)2()y, x(yv, xv, yu, xu) 1 (连续；在)(的充分条件北邮复变函数PPT课件20可微内一点在则内有定义，在区域设iyxzD) z (fD)y, x(iv)y, x(u) z (fTh3Th3.x-vyu, yvxu)2(yv, xv, yu, xu) 1 (存在；)(的必要条件北邮复变函数PPT课件21四四. .解析函数的概念解析函数的概念1. 1. 解析函数的定义解析函数的定义. 0 )( , 0 0 )() 1 (解析在那末称的邻域内处处可导及在如果函数zzfzzzf).( )(.)( ,)()2(全纯函数或正则函数内的一个解析函数区域是或称内解析区域在则称内每一点解析区域在如果函数DzfDzfDzf北邮复变函数PPT课件222. 2. 奇点的定义奇点的定义.)( , )(00的奇点的奇点为为那末称那末称不解析不解析在在如果函数如果函数zfzzzf注注1,函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.2,函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等价不等价的概念的概念. 北邮复变函数PPT课件233.3.连续，可导，可微，解析连续，可导，可微，解析的关系的关系. .逆不真连续可导可微解析）在区域内（但逆不真连续可导可微解析）在一点处（ ii i北邮复变函数PPT课件24例例4 .)( 2)(,)( 22的的解解析析性性和和研研究究函函数数zzhyixzgzzf 解解由本节例由本节例1和例和例3知知: ; )( 2在复平面内是解析的在复平面内是解析的zzf ; 2)(处处处处不不解解析析yixzg , )( 2的的解解析析性性下下面面讨讨论论zzh zzhzzh )()(00zzzz 2020北邮复变函数PPT课件25zzzzzzz 0000)(,00zzzzz , 0)1(0 z. 0)()(lim000 zzhzzhz, 0)2(0 z , )( 0000zxxkyyzz趋趋于于沿沿直直线线令令 zzyixyix xyixyi 11ikik 11北邮复变函数PPT课件26 , 的任意性的任意性由于由于 k .11不趋于一个确定的值不趋于一个确定的值kikizz .)()(lim000不存在不存在zzhzzhz . , , 0 )( 2析析它它在在复复平平面面内内处处处处不不解解根根据据定定义义不不可可导导而而在在其其他他点点都都处处可可导导仅仅在在因因此此 zzzh北邮复变函数PPT课件27例例5.1 的的解解析析性性研研究究函函数数zw 解解 , 0 1 处处处处可可导导在在复复平平面面内内除除因因为为 zzw ,1dd 2zzw 且且 , 0 外外处处处处解解析析在在复复平平面面内内除除所所以以 zw . 0 为它的奇点为它的奇点 z北邮复变函数PPT课件28例例6.)Re()( 的可导性与解析性的可导性与解析性研究函数研究函数zzzf 解解, 0)1( zzfzfz )0()0(lim0, 0)Re(lim0 zzzz . 0 )Re()( 处处可可导导在在故故 zzzzf, 0)2( zzzfzzf )()(zzzzzzz )Re()Re()(北邮复变函数PPT课件29)Re()Re()Re(zzzzzzz , yixz 令令zzfzzf )()( , xxyixxz ,)()(lim 00 xzzfzzfyx 因因为为,)()(lim 00 xzzzfzzfxy 北邮复变函数PPT课件30 . )()(lim 0不存在不存在所以所以zzfzzfz . , , 0 )( 析析它在复平面内处处不解它在复平面内处处不解根据定义根据定义可导可导而在其他点都不而在其他点都不处可导处可导仅在仅在因此因此 zzf , )( , 0 不不可可导导时时即即当当zfz 课堂练习课堂练习.1 的解析性的解析性研究函数研究函数zw 答案答案处处不可导处处不可导, ,处处不解析处处不解析. .北邮复变函数PPT课件314.4.解析函数的性质解析函数的性质 . )( )( )( ) 1 (内解析在除去分母为零的点和、差、积、商的与内解析的两个函数在区域DzgzfD. )( , )( , . )( , )( )2(内解析在那末复合函数于都属的对应值函数内的每一个点对如果内解析平面上的区域在函数内解析平面上的区域在设函数DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh北邮复变函数PPT课件32可知可知:(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的. , )()( )2(它它的的奇奇点点使使分分母母为为零零的的点点是是的的零零的的点点的的区区域域内内是是解解析析在在不不含含分分母母为为任任何何一一个个有有理理分分式式函函数数zQzP北邮复变函数PPT课件33. , ),( ),( : ),(),()( Th4程并且满足柯西黎曼方内可微在与内解析的充要条件是域在其定义函数DyxvyxuDyxivyxuzf五五. . 函数解析的充要条件函数解析的充要条件北邮复变函数PPT课件34解析函数的判定方法解析函数的判定方法: :. )( , )( )1(内内是是解解析析的的在在解解析析函函数数的的定定义义断断定定则则可可根根据据内内处处处处存存在在的的导导数数在在区区域域数数导导法法则则证证实实复复变变函函如如果果能能用用求求导导公公式式与与求求DzfDzf. )( ,R C ) ),( , ( , )( 2)(内内解解析析在在的的充充要要条条件件可可以以断断定定那那么么根根据据解解析析函函数数方方程程并并满满足足可可微微因因而而、连连续续的的各各一一阶阶偏偏导导数数都都存存在在内内在在中中如如果果复复变变函函数数DzfyxvuDvuivuzf 北邮复变函数PPT课件35例例1 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导, 在何处解析在何处解析:).Re()3();sin(cos)()2(;)1(zzwyiyezfzwx 解解,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程, . ,处处处处不不解解析析在在复复平平面面内内处处处处不不可可导导故故zw 北邮复变函数PPT课件36)sin(cos)()2(yiyezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx . , xvyuyvxu 即即四个偏导数四个偏导数均连续均连续 . ,)(处处处处解解析析在在复复平平面面内内处处处处可可导导故故zf).()sin(cos)(zfyiyezfx 且且指数函数指数函数北邮复变函数PPT课件37)Re()3(zzw ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu 四个偏导数均连续四个偏导数均连续 , , 0 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 yx ,0 )Re(处处可可导导仅仅在在故故函函数数 zzzw .在在复复平平面面内内处处处处不不解解析析北邮复变函数PPT课件38例例2 . sin)2(;)1( 2在在复复平平面面上上不不解解析析证证明明zz证证,2)1(222xyiyxz ,2,22xyvyxu .2,2,2,2xyvyxvyyuxxu , , 0 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 x ,0 2上上可可导导仅仅在在直直线线故故函函数数 xzw .在在复复平平面面内内不不解解析析北邮复变函数PPT课件39,sinhcoscoshsinsin)2(yxiyxz ,coshsinyxu ,sinhcosyxv ,coshcosyxxu ,coshcosyxyv , ), 2, 1, 0(2 时时仅仅当当 kkx.yvxu .sin在复平面上不解析在复平面上不解析z北邮复变函数PPT课件40例例3 解解? )( , , , , ),()( 2222解析解析在复平面内处处在复平面内处处取何值时取何值时问常数问常数设设zfdcbaydxycxibyaxyxzf ,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv , , xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所所求求北邮复变函数PPT课件41例例4 . 0 0 )( 不可导不可导西黎曼方程但在点西黎曼方程但在点满足柯满足柯在点在点证明函数证明函数 zzxyzf证证, )( xyzf 因为因为0, , vxyu所所以以0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xuxuuxx),0 , 0(yv 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yuyuuyy),0 , 0(xv 0 0 . 0 成立成立柯西黎曼方程在点柯西黎曼方程在点 z北邮复变函数PPT课件42 , 趋趋于于零零时时沿沿第第一一象象限限内内的的射射线线但但当当kxyz 0)0()( zfzf iyxxy ,1ikk , 变变化化随随k , 0)0()(lim 0不不存存在在故故 zfzfz . 0 )( 不可导不可导在点在点函数函数 zxyzf北邮复变函数PPT课件43例例5解解. )( , , ),(),()( 2zfuvDyxivyxuzf求求并并且且析析内内解解在在区区域域设设 )1(,2yuuyvxu )2(,2xuuxvyu (1)(2)得得代代入入将将, 0 xu, 0)14( 2 uxu0)14( 2 u由由北邮复变函数PPT课件44, 0 (2) yu得得由由 ),( 常常数数所所以以cu ).( )( 2常常数数于于是是icczf 北邮复变函数PPT课件45例例6. )( , )( 内内为为一一常常数数区区域域在在则则内内处处处处为为零零在在区区域域如如果果DzfDzf 证证xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvxu故故 , , 常常数数常常数数所所以以 vu . )( 内内为为一一常常数数在在区区域域因因此此Dzf北邮复变函数PPT课件46参照以上例题可进一步证明参照以上例题可进一步证明: . , )( 则则以以下下条条件件彼彼此此等等价价内内解解析析在在区区域域如如果果Dzf ;)( )1(恒恒取取实实值值 zf; 0)()2( zf ;)( )3(常常数数 zf ;)( )4(解解析析zf ;)(Re )5(常数常数 zf ;)(Im )6(常数常数 zf;)7(2uv .)( arg )8(常数常数 zf北邮复变函数PPT课件47例例7 7. , , ),( ),( 0,)( , )( 2121为为常常数数其其中中必必相相互互正正交交与与那那末末曲曲线线族族且且为为一一解解析析函函数数设设cccyxvcyxuzfivuzf 证证 )( zf因为因为, 01 yuiyv , 不全为零不全为零与与所以所以yuyv , 都不为零都不为零与与如果在曲线的交点处如果在曲线的交点处yuyv 根据隐函数求导法则根据隐函数求导法则,北邮复变函数PPT课件48线线的的斜斜率率分分别别为为中中任任一一条条曲曲与与曲曲线线族族 ),( ),( 21cyxvcyxu ,21yxyxvvkuuk 根据柯西黎曼方程得根据柯西黎曼方程得 yxyxvvuukk21, 1 yyyyvuuv . ),( ),( 21相相互互正正交交与与故故曲曲线线族族cyxvcyxu . , , , , 它们仍然相互正交它们仍然相互正交一条是铅直的一条是铅直的另另的切线一条是水平的的切线一条是水平的两族中的曲线在交点处两族中的曲线在交点处则另一个必不为零则另一个必不为零中有一个为零中有一个为零和和如果如果yyvu北邮复变函数PPT课件49例例8. 0 , 0 Im)( 2不不可可微微但但在在点点满满足足柯柯西西黎黎曼曼方方程程的的实实、虚虚部部在在点点证证明明函函数数 zzzzf证证, 2)( xyzf 因为因为0, , 2 vxyu所所以以0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xuxuuxx),0 , 0(yv 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yuyuuyy),0 , 0(xv 0 0 . 0 成立成立柯西黎曼方程在点柯西黎曼方程在点 z北邮复变函数PPT课件50 , 0 z但在点但在点zfzf )0()( 2yixyx ,12 )0()(lim 00izfzfyx 因因为为 . 0 )( 不不可可微微在在点点故故函函数数 zzf , 0 )0()(lim 0,0 zfzfyx北邮复变函数PPT课件51Augustin-Louis CauchyBorn: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France柯西资料 北邮复变函数PPT课件52Riemann黎曼资料Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany)Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy