第一讲集合与逻辑

word第一讲 集合与逻辑【知识引入】1. 集合的子集个数共有 个；真子集有1个；非空子集有1个；非空的真子集有2个；2. 常见结论的否认形式：原结论否认形式原结论否认形式是不是至少有一个没有都是不都是至多有一个至少有二个大于小于或等于至少有个至多有-1个小于大于或等于至多有个至少有+1个对所有的成立存在不成立或非且非对任何的不成立存在成立且非或非【知识拓展】 集合与命题这一章的相关知识，在自主招生考试中一般是以小题形式出现但偶尔也综合其它知识点而出现在大题中1.命题的否认是四种命题中最麻烦的细节问题下面是一些常见词语的否认：“至少有一个的否认是“一个也没有；“都是的否认是“不都是；“所有的否认是“某些， “存在的否认是“任意，“或的否认是“且2.容斥原理：令表示集合中元素的个数，如此3. 德摩根定理：是全集，,4. 集合的差：5.抽屉原如此： 抽屉原如此有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原如此抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现，它是组合数学中一个重要的原理把它推广到一般情形有以下几种表现形式形式一：证明：设把个元素分为个集合，用表示这个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个大于或等于2用反证法假设结论不成立，即对每一个都有，如此因为是整数，应有，于是有：这与题设矛盾所以，至少有一个，即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素形式二：设把个元素分为n个集合，用表示这个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个大于或等于用反证法假设结论不成立，即对每一个都有，如此因为是整数，应有，于是有：个这与题设相矛盾所以，至少有存在一个【高斯函数】：对任意的实数，表示“不大于的最大整数.例如：，一般地，我们有：形式三：证明：设把个元素分为个集合，用表示这个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个大于或等于用反证法假设结论不成立，即对每一个都有，于是有：个这与题设相矛盾所以，必有一个集合中元素个数大于或等于【典例精讲】例1.2012年复旦设是某集合的三个子集，且满足，如此是为空集的 （A） 必要充分条件 B充分条件，但非必要条件C必要条件，但非充分条件 D即非必要条件，也非充分条件分析与解答：由于，故两个阴影局部均为；如此：，（1） ，如此所以，如此成立（2） 假设，由于、，所以所以，所以应当选 例2.2011复旦千分考设是由任意个人组成的集合，如果中任意4个人中都至少有1个人认识其余3个人，那么，下面的判断中正确的答案是 A中没有人认识中的所有人 B中至少有一个人认识中的所有人 C中至多有2个人不认识中的所有人 D中至多有2个人认识中的所有人分析与解答：如果设中所有人都互相认识，显然这样的符合题目条件，从而都是错误的又设是中的3个人，中每个人都不认识其他任何人，而除外，其他个人认识所有的人显然这样的集合符合要求，故是错误的的证明，由于中任意4个人中都至少有一个人和其余3个人互相认识，故认识的总人次最少是：，由于因为这里表示取整函数或高斯函数，由抽屉原理知：中至少有一个人认识中的所有人，应当选例3.2009交大珠宝店丢失了一件珍贵珠宝，以下4人只有1人说真话，只有1人偷了珠宝甲：我没有偷 乙：丙是小偷 丙：丁是小偷 丁：我没有偷如此说真话的人是，偷珠宝的人是分析与解答：4人中有且仅有一人说真话先假设甲说的是真话，即甲没有偷，由于丙说的是假话，故丁不是小偷，由于丁说的也是假话，故丁是小偷，矛盾！设乙说的是真话，即丙是小偷，但由于丁说的是假话，故丁也是小偷，矛盾！设丙说的是真话，即丁是小偷，但由于甲说的是假话，故甲也是小偷，矛盾！故只有丁说的是真话，且由于甲说的是假话，故甲是小偷例4.2006复旦假设非空集合，如此使得成立的所有的集合是 （B） B C D空集分析与解答：一方面，；另一方面，故，而这又等价于再注意到集合非空，故有，应选注：注意此题中的“非空二字例5.2008武大有50名学生参加跳远和铅球两项测试，跳远和铅球测试成绩合格的分别有40和31人，两项测试成绩均不与格的有4人，两项测试成绩均与格的有多少人？分析与解答：这是一道涉与容斥原理的试题，记跳远测试成绩与格的学生，铅球测试成绩与格的学生，依题意，两项成绩测试均合格的学生为，又，由容斥原理，故，即两项测试成绩均合格的学生有25人注：此题也可结合文氏图，设两项测试成绩都与格的有人，有方程，解得：例6.2010复旦设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点，用表示整数集，如此在如下集合：；，整数集中以0为聚点的集合有 （A） B 分析与解答： 这是一道学习型问题，根据定义，“聚点这个概念应理解为以任意无穷小为半径，以为圆心的圆都至少有的一个元素不包括对集合，假设取，如此不存在，满足显然是以为聚点对集合，假设令不是唯一的取法，只要即可，也不存在，使得 综上，应选例7.7月份的天热得人都不想工作，只想呆在有空调的房间里可小却没有方法休假，因为他是一个空调修理工，为了让更多人好好休息，他只能放弃自己的休息在过去的7月份里，小每天至少修理了一台空调由于技术过硬，每一台空调都能在当天修理好8月1日结算的时候，大家发现小在7月份一共修理了56台空调求证：存在连续的假设干天也可以是1天，在这些天里，小恰好修理了5台空调分析与解答： 我们来考察“连续的假设干天里小修理的空调台数设小在第i天修理了xi台空调，其中i=1，2，31如此：x1x1+x2x1+x2+x3x1+x2+x31=56另外：x1+5x1+x2+5x1+x2+x3+5p)由此可见xp+1+xp+2+xq=5即从第p+1天开始到第q天修理的空调正好是5台点评：此题的难点在于将题中结论转化为抽屉原理的数学模型例8.求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的数的个数分析与解答： 记，由容斥原理，所以不能被2，3，5整除的数有个例9.2010浙大设集合，（1） 求证：（2） 假设是一个在上单调递增的函数，是否有？假设是，请证明分析与解：1)假设，显然成立；假设，任取，即有，如此，即，故（2） 结论是，下证假设，如此结论显然成立；假设，任取，即有，下证假设，不妨先设，由于是一个在上单调递增的函数，故，与矛盾！同理,也将导致矛盾！故，即，从而有综合1证得【方法小结】：【真题训练】一 选择题1.2009复旦“要使函数成立，只要不在区间就可以了的意思是 （A） 如果，如此 B如果，如此C如果，如此 D前面3个解释都不准确2.2009复旦设是含个元素的集合，是中两个互不相交的子集，分别含有，如此中即不包含也不包含的子集的个数是 （A） BC D3.2010复旦设集合是全集的子集，如此如下选项中正确的答案是 （A） 如果或，如此（B） 如果，如此，（C） 如果，如此，（D） 上述各项都不正确4.2010复旦设时区间上的函数，如果对任意满足的都有，如此称是上的递增函数，那么，是上非递增函数应满足 （A） 存在满足的，使得（B） 不存在，满足，且（C） 对任意满足的，都有（D） 存在满足的，使得5.2010复旦对于原命题“单调函数不是周期函数，如下述正确的答案是 （A） 逆命题为“周期函数不是单调函数（B） 否命题为“单调函数是周期函数（C） 逆否命题为“周期函数是单调函数（D） 以上三者都不正确6.2010复旦设集合，假设，如此的取值围是 （A） B C D二 填空题7. 2009交大集合A满足：假设，如此，假设，如此满足条件的元素个数最少的集合A为8.2008科大，如此的取值围是三 解答题9.2009浙大给出五个数字，排列这5个数字，要求第一个到第位置不能由得数字组成如不可，因为第一位到第二位由组成，同理也不可求满足要求的所有可能的组合数10.2007清华对于集合表示二维点集，称为开集，当且仅当，使得判断集合与是否为开集，并证明你的结论注：“表示“任意；“表示“存在【参考答案】1. C。 “要使函数成立，只要不在区间就可以了这句话等价于“不在区间“函数2. C。令中包含的子集组成的集合记为，包含的子集组成的集合记为，如此由容斥原理，中包含或者包含的子集的个数是，从而中既不包含也不包含的子集的个数是3. D。选项A的反例，如图a，此时；选项B的反例，如图b，假设，如此；选项C的反例，如图c，易见CADCDBA BB ACDa b c4.A 。问题等价于命题“如果对于任意满足的都有，如此称是上的递增函数的逆否命题5.D 原命题可改写为：如果一个函数单调函数，那么它不是周期函数逆命题：如果一个函数不是周期函数，那么它是单调函数否命题：如果一个函数不是单调函数，那么它是周期函数逆否命题：如果一个函数是周期函数，那么它不是单调函数6.D 。集合，假设，如此，由知，中元素均满足，而时，成立，但不成立；假设，如此，而恒成立，由得：故7.。 由，由；又由，此时集合元素个数最少又如，等也符合要求8.。 先不妨做一个平移，将坐标原点移到，即相当于，对集合，令，其中，设，而，故。用容斥原理来解决：令为1,2,3,4,5的排列所组成的集合，它的任一个元素的前个数是的一个排列， 所以，所以符合题意的数组的个数为是开集理由如下： 如图，令到直线的距离为，一旦给定后，是一个大于零的常数令取值不唯一，显然 集合不是开集，理由如下： 令为y轴正半轴上的点，如此无论多么小，总有11 / 11