高一平面向量讲义

word平面向量讲义2.1平面向量的实际背景与根本概念1向量：既有_，又有_的量叫向量2向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作_3向量的有关概念：(1)零向量：长度为_的向量叫做零向量，记作_(2)单位向量：长度为_的向量叫做单位向量(3)相等向量：_且_的向量叫做相等向量(4)平行向量(共线向量)：方向_的_向量叫做平行向量，也叫共线向量记法：向量a平行于b，记作_规定：零向量与_平行考点一向量的有关概念例1判断如下命题是否正确，并说明理由假如ab，如此a一定不与b共线；假如，如此A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；在平行四边形ABCD中，一定有；假如向量a与任一向量b平行，如此a0；假如ab，bc，如此ac；假如ab，bc，如此ac.变式训练1判断如下命题是否正确，并说明理由(1)假如向量a与b同向，且|a|b|，如此ab；(2)假如向量|a|b|，如此a与b的长度相等且方向一样或相反；(3)对于任意|a|b|，且a与b的方向一样，如此ab；(4)向量a与向量b平行，如此向量a与b方向一样或相反考点二向量的表示方法例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点(1)作出向量、；(2)求|.考点三相等向量与共线向量例3如下列图，O是正六边形ABCDEF的中心，且a，b，c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量2.2平面向量的线性运算1向量的加法法如此(1)三角形法如此如下列图，非零向量a，b，在平面内任取一点A，作a，b，如此向量_叫做a与b的和(或和向量)，记作_，即ab_.上述求两个向量和的作图法如此，叫做向量求和的三角形法如此对于零向量与任一向量a的和有a0_.(2)平行四边形法如此如下列图，两个不共线向量a，b，作a，b，如此O、A、B三点不共线，以_，_为邻边作_，如此对角线上的向量_ab，这个法如此叫做两个向量求和的平行四边形法如此2向量加法的运算律(1)交换律：ab_.(2)结合律：(ab)c_.3. 相反向量(1)定义：如果两个向量长度_，而方向_，那么称这两个向量是相反向量(2)性质：对于相反向量有：a(a)_.假如a，b互为相反向量，如此a_，ab_.零向量的相反向量仍是_4. 向量的减法(1)定义：aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的_(2)作法：在平面内任取一点O，作a，b，如此向量ab_.如下列图(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，如此这两个向量的差是以减向量的终点为_，被减向量的终点为_的向量例如：_.5向量数乘运算实数与向量a的积是一个_，这种运算叫做向量的_，记作_，其长度与方向规定如下：(1)|a|_.(2)a (a0)的方向；特别地，当0或a0时，0a_或0_.6向量数乘的运算律(1)(a)_.(2)()a_.(3)(ab)_.特别地，有()a_；(ab)_.7共线向量定理向量a (a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使_8向量的线性运算向量的_、_、_运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以与任意实数、1、2，恒有(1a2b)_.考点一运用向量加法法如此作和向量例1如下列图，向量a、b，求作向量ab.变式训练1如下列图，向量a、b、c，试作和向量abc.考点二运用向量加减法法如此化简向量例2化简：1；(2)；(3).4()()(5)()()；6()()变式训练2如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点(1)_；(2)_；(3)_；(4)_.变式训练3如下列图，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设a，b，c，求证：bca.考点三 向量的共线例3设e1，e2是两个不共线的向量，假如向量me1ke2 (kR)与向量ne22e1共线，如此()Ak0 Bk1Ck2 Dk变式训练4 ABC的三个顶点A，B，C与平面内一点P，且，如此()AP在ABC内部BP在ABC外部CP在AB边上或其延长线上DP在AC边上考点四：三点共线例4两个非零向量a、b不共线(1)假如Aab，B2a8b，C3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)某某数k使kab与2akb共线变式训练5 向量a、b，且a2b，5a6b，7a2b，如此一定共线的三点是()AB、C、D BA、B、C CA、B、D DA、C、D变式训练6 平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且xy，如此xy_.2.3平面向量的根本定理与坐标表示1平面向量根本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的_向量a，_实数1，2，使a_.(2)基底：把_的向量e1，e2叫做表示这一平面内_向量的一组基底(1)夹角：两个_a和b，作a，b，如此_ (0180)，叫做向量a与b的夹角X围：向量a与b的夹角的X围是_当0时，a与b_.当180时，a与b_.(2)垂直：如果a与b的夹角是_，如此称a与b垂直，记作_3平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个_的向量，叫作把向量正交分解(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向一样的两个_i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a_，如此_叫作向量a的坐标，_叫作向量的坐标表示(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，假如A(x，y)，如此_，假如A(x1，y1)，B(x2，y2)，如此_.4平面向量的坐标运算(1)假如a(x1，y1)，b(x2，y2)，如此ab_，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和(2)假如a(x1，y1)，b(x2，y2)，如此ab_，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差(3)假如a(x，y)，R，如此a_，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标5两向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)当ab时，有_(2)当ab且x2y20时，有_即两向量的相应坐标成比例6假如，如此P与P1、P2三点共线当_时，P位于线段P1P2的内部，特别地1时，P为线段P1P2的中点；当_时，P位于线段P1P2的延长线上；当_时，P位于线段P1P2的反向延长线上考点一对基底概念的理解例1如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么如下说法中不正确的答案是()e1e2(、R)可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个；假如向量1e11e2与2e12e2共线，如此有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)；假如存在实数，使得e1e20，如此0.ABCD变式训练1设e1、e2是不共线的两个向量，给出如下四组向量：e1与e1e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_(写出所有满足条件的序号)考点二用基底表示向量例2如图，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M、N分别是DC和AB的中点，假如a，b试用a，b表示、.变式训练2如图，ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，假如a，b，用a，b表示，.考点三平面向量根本定理的应用例3如下列图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求证：APPM41.变式训练3如下列图，AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，2，DC和OA交于点E，设a，b.(1)用a和b表示向量、；(2)假如，某某数的值考点四平面向量的坐标运算例4平面上三点A(2，4)，B(0,6)，C(8,10)，求(1)；(2)2；(3).变式训练4a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.考点五平面向量的坐标表示例5a(2,3)，b(3,1)，c(10，4)，试用a，b表示c.变式训练5设i、j分别是与x轴、y轴方向一样的两个单位向量，ai(2m1)j，b2imj (mR)，ab，求向量a、b的坐标考点六平面向量坐标的应用例6ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，求顶点D的坐标变式训练6平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，2)，求第四个顶点的坐标考点七平面向量共线的坐标运算例7a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？变式训练7A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判断与是否共线？如果共线，它们的方向一样还是相反？考点八平面向量的坐标运算例8点A(3，4)与点B(1,2)，点P在直线AB上，且|2|，求点P的坐标变式训练8点A(1，2)，假如向量与a(2,3)同向，|2，求点B的坐标考点九利用共线向量求直线的交点例9如图，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标变式训练9平面上有A(2,1)，B(1,4)，D(4，3)三点，点C在直线AB上，且，连接DC，点E在CD上，且，求E点坐标2.4平面向量的数量积1平面向量数量积(1)定义：两个非零向量a与b，我们把数量_叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角(2)规定：零向量与任一向量的数量积为_(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为，如此向量a在b方向的投影是_，向量b在a方向上的投影是_2数量积的几何意义ab的几何意义是数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积3向量数量积的运算律(1)ab_(交换律)；(2)(a)b_(结合律)；(3)(ab)c_(分配律)4平面向量数量积的坐标表示假如a(x1，y1)，b(x2，y2)，如此ab_.即两个向量的数量积等于_5两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，如此ab_.6平面向量的模(1)向量模公式：设a(x1，y1)，如此|a|_.(2)两点间距离公式：假如A(x1，y1)，B(x2，y2)，如此|_.7向量的夹角公式设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，如此cos _.考点一求两向量的数量积例1|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积变式训练1正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).考点二求向量的模长例2|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|.变式训练2|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|.考点三向量的夹角或垂直问题例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角变式训练3|a|5，|b|4，且a与b的夹角为60，如此当k为何值时，向量kab与a2b垂直？考点四向量的坐标运算例4a与b同向，b(1,2)，ab10.(1)求a的坐标；(2)假如c(2，1)，求a(bc)与(ab)c.变式训练4假如a(2,3)，b(1，2)，c(2,1)，如此(ab)c_；a(bc)_.考点五向量的夹角问题例5a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值X围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角变式训练5a(1，1)，b(，1)，假如a与b的夹角为钝角，求的取值X围考点六向量数量积坐标运算的应用例6在ABC中，A(2，1)、B(3,2)、C(3，1)，AD为BC边上的高，求|与点D的坐标变式训练6以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角OAB，B90，求点B和的坐标2.5平面向量应用举例1向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：ab(b0)_.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：ab_.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos _.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|_.2力向量力向量与前面学过的自由向量有区别(1)一样点：力和向量都既要考虑_又要考虑_(2)不同点：向量与_无关，力和_有关，大小和方向一样的两个力，如果_不同，那么它们是不相等的3向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是_(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的_运算，运动的叠加亦用到向量的合成(3)动量m是_(4)功即是力F与所产生位移s的_考点一 三角形问题例1点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，如此点O是ABC的()A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点变式训练1 在ABC中，A(4,1)、B(7,5)、C(4,7)，如此BC边的中线AD的长是()A2 B. C3 D.变式训练2 假如O是ABC所在平面内一点，且满足|2|，如此ABC的形状是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形变式训练3 设平面上有四个互异的点A、B、C、D，(2)()0，如此ABC的形状一定是_考点二 向量的计算例2平面上三点A、B、C满足|3，|4，|_.变式训练4 如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，假如m，n，如此mn的值为_考点三 向量的应用例3两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90时，合力大小为20 N，如此当它们的夹角为120时，合力大小为()A40 N B10 N C20N D10 N变式训练5 在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，如此船实际航行的速度的大小为_14 / 14