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6.若向量若向量 a 与与 b大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 则称则称 a 与与 b 相等相等,记作记作 ab ;规定规定: 零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行 ;8.若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行, ab ;记作记作9.因平行向量可平移到同一直线上因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量故两向量平行平行又称又称 两向量两向量共线共线 .7.与与 a 的模相同的模相同, 但方向相反的向量称为但方向相反的向量称为 a 的的负向量负向量,记作记作a ;第1页/共49页第一页，共50页。二、向量二、向量(xingling)的线的线性运算性运算1. 向量向量(xingling)的的加法加法三角形法则(fz):平行四边形法则:bbaaba ba ab)( ababababa第2页/共49页第二页，共50页。aa3. 向量向量(xingling)与数与数的乘法的乘法 是一个(y )数 ,.a 与 a 的乘积是一个新向量, 记作运算(yn sun)律 :结合律)(a)( aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a则有单位向量.1aa因此aaa 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)abab第3页/共49页第三页，共50页。xyz三、空间三、空间(kngjin)直角坐直角坐标系标系由三条互相(h xing)垂直的数轴按右手规则组成一个(y )空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o ,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念第4页/共49页第四页，共50页。xyzo向径在直角坐标在直角坐标(zh jio zu bio)系下系下 11坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标(zubio)面上的点 A , B , C点点 M特殊(tsh)点的坐标 :有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;rrM第5页/共49页第五页，共50页。坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标(zubio)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo第6页/共49页第六页，共50页。2. 向量的坐标向量的坐标(zubio)表示表示在空间(kngjin)直角坐标系下,设点 M , ),(zyxM则沿三个坐标轴方向(fngxing)的分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,rkzjyix称为向量,r任意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC第7页/共49页第七页，共50页。设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaabxxabyyabzzab3.平行向量对应坐标平行向量对应坐标(zubio)成比例成比例:，为实数1.2.4.222zyxaaaa四、利用坐标四、利用坐标(zubio)作向量的线作向量的线性运算性运算222)()()(zzyyxxbabababaxxabzzabyyabab第8页/共49页第八页，共50页。已知向量(xingling),(zyxaaaOA ),(zyxbbbOB OAOBAB),(zzyyxxababab5.6.已知点),(),(zyxzyxbbbBaaaAAB（终点坐标减去起点坐标）),(zzyyxxababab第9页/共49页第九页，共50页。五、两向量五、两向量(xingling)的数量的数量积积1. 定义定义(dngy)设向量(xingling)的夹角为 ,称 记作数量积(点积) .bacosba的与为baba,2. 性质性质aa) 1 (2acosbaba为两个非零向量, 则有ba,)2(0baba 第10页/共49页第十页，共50页。3. 运算运算(yn sun)律律(1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba第11页/共49页第十一页，共50页。设则当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosbaba baba,（3）两向量的夹角公式）两向量的夹角公式 , 得),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 4. 数量数量(shling)积的坐标表示积的坐标表示zzyyxxbabababa（1）（2）0baba 0zzyyxxbababa第12页/共49页第十二页，共50页。例例4-1. 已知向量已知向量(xingling) ，则，则 与与 的夹角为的夹角为) 1 , 2. 1 (),1, 0 , 1 (babaa第13页/共49页第十三页，共50页。bacba思考思考: 右图三角形面积abba21S六、两向量六、两向量(xingling)的向量的向量(xingling)积积定义向量方向 :,即垂直向量 所在的平面.模 :，的夹角为设b a,c, acbc csinabb a,(叉积)记作向量积 ,称c的与为向量babac1. 定义定义(dngy)第14页/共49页第十四页，共50页。2. 性质性质(xngzh)为非零向量(xingling), 则aa) 1 (0ba,)2(3. 运算运算(yn sun)律律(2) 分配律(3) 结合律abcba)(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (0baba第15页/共49页第十五页，共50页。4. 向量积的坐标向量积的坐标(zubio)表示式表示式设则),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb bakjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaa第16页/共49页第十六页，共50页。例例4-2. 已知三已知三点点(sn din), )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形角形 ABC 的面积的面积(min j). 解解: 如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三求三第17页/共49页第十七页，共50页。例例4-4. 若若 ，则，则 2, 4, 1baba._ba例例4-3. 设向量设向量(xingling) ，则，则 )3 , 1. 1 (),1 , 3, 2(ba_,)()(bababa第18页/共49页第十八页，共50页。设1.加减加减(ji jin):2.数乘数乘:4.点积点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(zyxzyxbbbbaaaa5.叉积叉积:kjixayazaxbybzbba3.模模:222,zyxaaaa内容内容(nirng)小结小结第19页/共49页第十九页，共50页。xxabyyabzzabba/0ba6.两向量平行两向量平行:0zzyyxxbabababa 0ba7.两向量垂直两向量垂直:cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbbba ba8.两向量的夹角公式两向量的夹角公式:第20页/共49页第二十页，共50页。22343cos322)2(17例例4-5. 已知向量已知向量(xingling)的夹角(ji jio)且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba第21页/共49页第二十一页，共50页。(2008-4) 设向量设向量(xingling) ，则，则 等于等于( )A.（2，5，4） B.（2，5，4）C.（2，5，4） D.（2，5，4）(1,2,3),(3,2,4)ab ba(2007-10) 已知已知 均为单位向量均为单位向量(xingling)，且，且 ，则，则以向量以向量(xingling) 为邻边的平行四边形的面积为为邻边的平行四边形的面积为_ 21ba, a b , a b (2006-10)设设 ，则，则 (2005-10)设向量设向量(xingling) 互相垂直，互相垂直， 则则 ._)(baabaa , 1,);, 1 , 2(),2, 4 , 3(kk第22页/共49页第二十二页，共50页。zyxo0Mn一、平面一、平面(pngmin)(pngmin)的的点法式方程点法式方程),(0000zyxM设一平面(pngmin)通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式(fsh)方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0则有 故的为平面称n第二节第二节 平面方程平面方程第23页/共49页第二十三页，共50页。kji例例4-6.4-6.求过三求过三点点(sn din)(sn din),1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取该平面取该平面(pngmin) 的法向量为的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面(pngmin) 的方程. 利用点法式得平面 的方程346231nn3121MMMM第24页/共49页第二十四页，共50页。特别特别(tbi),(tbi),当平面与三坐标轴的当平面与三坐标轴的交点分别为交点分别为此式称为平面(pngmin)的截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax时,)0,(cba平面(pngmin)方程为 PozyxRQ第25页/共49页第二十五页，共50页。二、平面二、平面(pngmin)(pngmin)的一般方程的一般方程平面的点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA0DzCyBxA)0(222CBA此方程称为平面的一般方程平面的一般方程. .),(CBAn 的平面, 方程的图形是法向量为 第26页/共49页第二十六页，共50页。特殊特殊(tsh)情形情形 当当 D = 0 时时, A x + B y + C z = 0 表示表示(biosh) 通过通过(tnggu)原原点的平面点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于平行于 xoy 面面 的平面;平行于平行于 yoz 面面 的平面；平行于平行于 zox 面面 的平面.,), 0(iCBn第27页/共49页第二十七页，共50页。例例4-7. 求通过求通过(tnggu) x 轴和点轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程的平面方程.解解:因平面(pngmin)通过 x 轴 ,0 DA故设所求平面(pngmin)方程为0zCyB代入已知点) 1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy第28页/共49页第二十八页，共50页。三、两平面三、两平面(pngmin)(pngmin)的夹角的夹角设平面(pngmin)1的法向量为 平面(pngmin)2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 第29页/共49页第二十九页，共50页。2特别特别(tbi)有有下列结论：下列结论：21) 1 (21/)2(),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 2n1n2n1n21nn 0212121CCBBAA21/ nn212121CCBBAA第30页/共49页第三十页，共50页。因此(ync)有例例4-8. 一平面一平面(pngmin)通过两点通过两点垂直于平面垂直于平面(pngmin): x + y + z = 0, 求其方求其方程程 .解解: 设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC约去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和和则所求平面故, ),(CBAn方程为 n21MMn且且第31页/共49页第三十一页，共50页。)5,15,10(1223111kji0) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx例4-9.4-9.求过点 且垂直于二平面(pngmin) 和 的平面(pngmin)方程.) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx解解: 已知二平面已知二平面(pngmin)的法向量为的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得),1, 1, 1 (1n)12,2,3(2n21nnn第32页/共49页第三十二页，共50页。1.平面基本平面基本(jbn)方程方程一般(ybn)式点法式(fsh)截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc内容小结内容小结第33页/共49页第三十三页，共50页。2.平面平面(pngmin)与平面与平面(pngmin)之间的关系之间的关系平面(pngmin)平面(pngmin)（1）垂直）垂直:（2）平行）平行:（3）夹角公式）夹角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA),(1111CBAn 0212121CCBBAA212121CCBBAA第34页/共49页第三十四页，共50页。xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此(ync)其一般式方程1. 1. 一般一般(ybn)(ybn)式方程式方程 直线(zhxin)可视为两平面交线，(不唯一)第三节第三节 空间直线方程空间直线方程一、空间直线方程一、空间直线方程第35页/共49页第三十五页，共50页。),(0000zyxM2. 对称对称(duchn)式方程式方程故有mxx0设直线(zhxin)上的动点为 则),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的对称(duchn)式方程(也称为点向式方程)s已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM和它的方向向量方向向量 , ),(pnms sMM/0第36页/共49页第三十六页，共50页。3. 参数参数(cnsh)式方程式方程设得参数(cnsh)式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0第37页/共49页第三十七页，共50页。例例4-10.4-10.用对称式及参数用对称式及参数(cnsh)(cnsh)式式表示直线表示直线解解: :先在直线先在直线(zhxin)(zhxin)上找上找一点一点. .043201 zyxzyx632zyzy再求直线(zhxin)的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程组,得已知直线的相交两平面的法向量法向量为是直线上一点 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns第38页/共49页第三十八页，共50页。故所给直线(zhxin)的对称式方程为参数(cnsh)式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题解题(ji t)(ji t)思路思路: :先找直线上一点一点;再找直线的方向向量方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji第39页/共49页第三十九页，共50页。2L1L二、线面间的位置二、线面间的位置(wi (wi zhi)zhi)关系关系1. 两直线两直线(zhxin)的夹的夹角角 则两直线(zhxin)夹角 满足 212121ppnnmm212121pnm222222pnm2121cosssss ),(1111pnms ),(2222pnms 第40页/共49页第四十页，共50页。特别特别(tbi)有有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss第41页/共49页第四十一页，共50页。例例4-11. 4-11. 求以下求以下(yxi)(yxi)两直线两直线的夹角的夹角解解: : 直线直线(zhxin)(zhxin)直线(zhxin)二直线夹角 的余弦为13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22从而4的方向向量为1L的方向向量为2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 第42页/共49页第四十二页，共50页。当直线与平面(pngmin)垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线(zhxin)与平面间的夹角;L2. 直线直线(zhxin)与平与平面的夹角面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn第43页/共49页第四十三页，共50页。特别特别(tbi)(tbi)有有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解: : 取已知平面取已知平面(pngmin)(pngmin)的的法向量法向量421zyx则直线的对称(duchn)式方程为0432zyx直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 132垂 ) 1,3,2(nn例例4-12. 求过点求过点(1,2 , 4) 且与且与平面平面第44页/共49页第四十四页，共50页。1. 空间直线空间直线(zhxin)方程方程一般(ybn)式对称(duchn)式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm内容小结内容小结第45页/共49页第四十五页，共50页。,1111111pzznyymxxL：直线(zhxin)0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2. 线与线的关线与线的关系系(gun x)直线(zhxin),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss （1）垂直）垂直:（2）平行）平行:（3）夹角公式）夹角公式:第46页/共49页第四十六页，共50页。, 0DzCyBxACpBnAm平面(pngmin) :L L / 0CpBnAmsin,pzznyymxx3. 面与线间的关系面与线间的关系(gun x)直线(zhxin) L :),(CBAn ),(pnms 0 ns0nsnsns L（1）垂直）垂直:（2）平行）平行:（3）夹角公式）夹角公式:第47页/共49页第四十七页，共50页。(2007-19) 求过点求过点 且垂直于直线且垂直于直线(zhxin) 的平面方程的平面方程.01202zyxzyx(1,2,3)(2008-17) 设平面设平面(pngmin) 经过经过点点 ，求经过点，求经过点 且与平面且与平面(pngmin) 垂直的直线方程垂直的直线方程.(2,0,0),(0,3,0),(0,0,5)ABC(1,2,1)P(2005-18)求过点求过点 且通过直线且通过直线(zhxin) 的平面方程的平面方程.12354:zyxL)2, 1 , 3(A(2006-19)求过点求过点 且与两平面且与两平面 都平行的直线方程都平行的直线方程.)2, 1 , 3(M07 zyx0634zyx第48页/共49页第四十八页，共50页。谢谢您的观看(gunkn)！第49页/共49页第四十九页，共50页。NoImage内容(nirng)总结6.若向量 a 与 b大小相等, 方向相同,。规定: 零向量与任何向量平行。第2页/共49页。第4页/共49页。原点 O(0,0,0)。第5页/共49页。（终点坐标减去起点坐标）。六、两向量的向量积。解: 取该平面 的法向量为。利用点法式得平面 的方程。此式称为直线的对称(duchn)式方程(也称为点向式方程)。例4-10.用对称(duchn)式及参数式表示直线。第48页/共49页。谢谢您的观看。第49页/共49页第五十页，共50页。
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