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课时训练(二十一)矩形、菱形、正方形(限时:45分钟)|夯实基础|1.如果菱形的两条对角线的长分别为1和4,那么菱形的面积等于.2.如图K21-1,在矩形ABCD中,ABC的平分线交AD于点E,连接CE.若BC=7,AE=4,则CE=.图K21-13.2018广州 如图K21-2,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是.图K21-24.将一张矩形纸片折叠成如图K21-3所示的图形,若AB=6 cm,则AC=cm.图K21-35.2018天水 如图K21-4所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若AC=6,BD=8,AEBC,垂足为E,则AE的长为.图K21-46.2018武汉 以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则BEC的度数是.7.2017兰州 如图K21-5,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ADB=30,AB=4,则OC=()图K21-5A.5B.4 C.3.5D.38.2018内江 如图K21-6,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,已知BDC=62,则DFE的度数为()图K21-6A.31B.28C.62D.569.2017广安 下列说法:四边相等的四边形一定是菱形;顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;对角线相等的四边形一定是矩形;经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的个数是()A.4B.3C.2D.110.2018白银 如图K21-7,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置.若四边形AECF的面积为25,DE=2,则AE的长为()图K21-7A.5B.C.7D.11.2015昆明 如图K21-8,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,有下列结论:ACBD;OA=OB;ADB=CDB;ABC是等边三角形.其中一定成立的是()图K21-8A.B.C.D.12.2018天津 如图K21-9,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是()图K21-9A.ABB.DEC.BDD.AF13.2018内江 如图K21-10,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,并且AED=CFD.求证:(1)AEDCFD;(2)四边形ABCD是菱形.图K21-1014.2017徐州 如图K21-11,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB的延长线于点E.连接BD,EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若A=50,则当BOD=时,四边形BECD是矩形.图K21-11|拓展提升|15.2018温州 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图K21-12所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为()图K21-12A.20B.24C.D.16.已知:如图K21-13,E是正方形ABCD的对角线BD上的点,连接AE,CE.(1)求证:AE=CE;(2)若将ABE沿AB翻折后得到ABF,当点E在BD的何处时,四边形AFBE是正方形?请证明你的结论.图K21-13参考答案1.22.53.(-5,4)4.6解析 如图,延长原矩形的边,矩形的对边平行,1=ACB,由折叠的性质得,1=ABC,ABC=ACB,AC=AB,AB=6 cm,AC=6 cm.故答案为6.5.解析 四边形ABCD是菱形,AB=BC,ACBD,AO=OC=3,BO=OD=4.在RtABO中,AB=5,BC=5.SABC=ACBO=BCAE,即AE=.6.30或150解析 如图,ADE是等边三角形,DE=DA,DEA=1=60.四边形ABCD是正方形,DC=DA,2=90.CDE=150,DE=DC,3=(180-150)=15.同理可求得4=15.BEC=30.如图,ADE是等边三角形,DE=DA,1=2=60.四边形ABCD是正方形,DC=DA,CDA=90.DE=DC,3=30,4=(180-30)=75.同理可求得5=75.BEC=360245=150.故答案为30或150.7.B8.D解析 四边形ABCD为矩形,ADC=90,BDC=62,ADB=90-62=28.ADBC,ADB=CBD,根据题意可知EBD=CBD,EBD=ADB=28,DFE=ADB+EBD=56.9.C10.D解析 ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置,ADEABF,S正方形ABCD=S四边形AECF=25,正方形的边长AD=CD=5.在RtADE中,AE=.11.D解析 根据菱形的对角线互相垂直平分可得正确,错误;根据菱形的对角线平分一组对角可得正确,错误.12.D解析 取CD中点E,连接AE,PE,由正方形的轴对称的性质可知EP=EP,AF=AE,AP+EP=AP+EP,AP+EP的最小值是AE,即AP+EP的最小值是AF.故选D.13.证明:(1)四边形ABCD是平行四边形,A=C,在AED和CFD中,AEDCFD(ASA).(2)由(1)得AEDCFD,AD=DC,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABCD是菱形.14.解:(1)证明:平行四边形ABCD,AEDC,EBO=DCO,BEO=CDO,点O是边BC的中点,BO=CO,EBODCO(AAS),EO=DO,四边形BECD是平行四边形.(2)若四边形BECD为矩形,则BC=DE,BDAE,又AD=BC,AD=DE.根据等腰三角形的性质,可知ADB=EDB=40,故BOD=180-ADE=100.15.B解析 设矩形的两条边长为x,y(xy),对角线是a+b=7,所以x2+y2=49,再利用“勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形”得x-y=1.用完全平方公式得(x-y)2=1,x2-2xy+y2=1,49-2xy=1,-2xy=-48,所以xy=24,即矩形的面积为24.所以选B.16.解:(1)证明:四边形ABCD是正方形,AB=CB,ABE=CBE=45,在ABE和CBE中,ABECBE(SAS),AE=CE.(2)当点E在BD的中点时,四边形AFBE是正方形,证明如下:由折叠的性质得:F=AEB,AF=AE,BF=BE,BAD=90,E是BD的中点,AE=BD=BE=DE,AE=BE=AF=BF,四边形AFBE是菱形,E是BD中点,E是正方形ABCD对角线的交点,AEBD,AEB=90,四边形AFBE是正方形.12
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