三角函数恒等变换

word6.3 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数【复习目标】1掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；2能正确地运用三角函数的有关公式进展三角函数式的求值3能正确地运用三角公式进展三角函数式的化简与恒等式证明【双基诊断】以下巩固公式1、sin163sin223+sin253sin313等于 A. B. C. D.2、在ABC中，2sinAcosB=sinC，那么ABC一定是 3、的值是 A.B.C.D.4、coscos=，sinsin=，如此cos=_.5、，如此。6、假如，其中是第二象限的角，如此。7、化简等于 8、 248169、tan和tan是方程ax2+bx+c=0的两个根，如此a、b、c的关系是 A.b=a+cb=a+c C.c=b+aD.c=ab10、=。11、设a=sin14+cos14，b=sin16+cos16，c=，如此a、b、c的大小关系是 A.abcB.acb C.bcaD.bac12、ABC中，假如b=2a，B=A+60，如此A=_.13、fx=的值域为 A.1，11，1 B. ，C.，11， D.，14、0，sin+=，cos=，如此sin=_.15、如下各式中，值为的是 ( )cos1521 C. D.16、sin+cos=，那么sin的值为_，cos2的值为_.17、。18、19、 = ；20、.21、=。22、 23、，当时，式子可化简 24、假如cos=，且0，如此tan=_.25、=。26、假如ftanx=sin2x，如此f1的值是 A.sin2B.1C.27、，如此 以下巩固题型28、.29、1； 230、。31、= 32、sinxcosx=，如此cos4x的值为.33、假如，sin+sin=sin，cos+cos=cos，如此的值为.【深化拓展】巩固三角变换1设cos=，sin=，且，0，求cos+.2. sinx=，0x，求的值.3关于的方程的两根为，求：1的值；2的值；3方程的两根与此时的值 4 为一三角形的內角，求的取值X围56sin2+sincos2cos2=0，求sin2+的值.为第二象限角，cos+sin=，求sincos和sin2+cos2的值.7sin2=，.1求cos的值；2求满足sinxsin+x+2cos=的锐角x.8，求的值。【回顾思悟】1寻求所求结论中的角与条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式；2三角变换主要表现在：函数名称的变换、角的变换、的变换、和积的变换、幂的变换等方面；3掌握根本技巧：切割化弦，异名化同名，异角化同角等三角函数求值问题一般有三种根本类型：1给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；2给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值；3给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角二主要方法：1寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角； 2正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；3一些常规技巧：“1的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等1.化简要求：1能求出值的应求出值.2使三角函数种数尽量少.3使项数尽量少.4尽量使分母不含三角函数.5尽量使被开方数不含三角函数.2.常用方法：1直接应用公式.2切割化弦，异名化同名，异角化同角.3形如coscos2cos22cos2n的函数式，只需将分子、分母分别乘以2n+1sin，应用二倍角正弦公式即可.1.证明三角恒等式的根本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异化为“同.2.条件等式的证明，通过认真观察，发现条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法即从条件出发，以待证式为目标进展代数或三角恒等变形，逐步推出待证式、分析法等.3.三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值，这首先应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成y=Asinx+A0，0的形式，或者通过换元转化成二次函数，然后再求之.【答案提示】1、解析：原式=sin17sin43+sin73sin47=sin17sin43+cos17cos43=cos60=. 答案：B2、解析：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sinA+B，2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB. cosAsinBsinAcosB=0.sinBA=0.B=A. 答案：B3、解析：原式=. 答案：C4、解析：coscos2=，sinsin2=.两式相加，得22cos=. cos=. 答案：7、化简等于 8、 9、解析：tan=1. =1.b=ac.c=a+b. 答案：C10、解析一：tan15+cot15=+=4.解析二：由tan15=tan4530=.原式=+=4. 11、解析：a=sin59，c=sin60，b=sin61，acb.12、解析：利用正弦定理，由b=2asinB=2sinAsinA+602sinA=0cosA3sinA=0sin30A=030A=0或180A=30. 答案：3013、解析：令t=sinx+cosx=sinx+，11，如此fx=，11，. 答案：C14、解析：由0，得+.故由sin+=，得cos+=. 由cos=，得sin=.sin=sin+=sin+coscos+sin=. 答案：15、解析：=tan45=. 答案：D16、解析：由sin+cos=，得1+sin=，sin=，cos2=12sin2=12=. 答案：18、 1 ；19、原式21、分析：原式=注：化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式还需用到代数变形公式，如平方差公式。2223、24、假如cos=，且0，如此tan=_.24、解析一：由cos=，0，得sin=，tan=.解析二：tan=. 答案：25、原式26、解析：f1=ftan=sin=1. 答案：B27、，如此 29、证：1左边右边，得证说明：由等式两边的差异知：假如选择“从左证到右，必定要“切化弦；假如“从右证到左，必定要用倍角公式2左边右边，得证31、解：原式32、剖析：4x为2x的二倍角，2x为x的二倍角.解：由得sinxcosx=，cos2x=.sin2x=cos2x=2cos2x1=.cos4x=12sin22x=1=.33、剖析：由首先消去是解题关键.解：由，得sin=sinsin，cos=coscos.平方相加得sinsin2+coscos2=1.2cos=1.cos=.=.sin=sinsin0，.=.评述：此题极易求出=，如不注意隐含条件sin0，如此产生增根.因此求值问题要注意分析隐含条件.1剖析：=.依上述角之间的关系便可求之.解：，0，.故由cos=，得sin=.由sin=，得cos=.cos=cos=.cos+=2cos21=.评述：在角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换.2分析：角之间的关系：x+x=与2x=2x，利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：x+x=，cos+x=sinx.又cos2x=sin2x=sin2x=2sinxcosx，=2cosx=2=.3关于的方程的两根为，求：1的值；2的值；3方程的两根与此时的值 解：1由根与系数的关系，得，原式2由平方得：，即，故3当，解得，或， ，或4 为一三角形的內角，求的取值X围解：为一三角形內角，的取值X围是56sin2+sincos2cos2=0，求sin2+的值.分析：此题考查三角函数的根本公式以与三角函数式的恒等变形等根底知识和根本运算技能.解法一：由3sin+2cos2sincos=03sin+2cos=0或2sincos0，所以，即，.于是tan0，tan=.sin2+=sin2cos+cos2sin=sincos+cos2sin2=+=+.将tan=代入上式得sin2+=+=+，即为所求.解法二：由条件可知cos0，如此，原式可化为6tan2+tan2=0，即3tan+22tan1=0.又，.tan0，tan=.下同解法一.为第二象限角，cos+sin=，求sincos和sin2+cos2的值.解：由cos+sin=平方得1+2sincos=，即sin=，cos=.此时k+k+.cos+sin=0，sincos=0，cos0，sin0.为第三象限角.2k+2k+，kZ.sincos，即sincos0.sincos=，sin2+cos2=2sincos+12sin2=.评述：由三角函数值判断的X围是关键.7解：1因为，所以23.所以cos2=.由cos2=2cos21，所以cos=.2因为sinxsin+x+2cos=，所以2cos1sinx=.所以sinx=.因为x为锐角，所以x=.8 某某P：76【同步训练】1、满足coscos=+sinsin的一组、的值是 A.=，= B.=，= C.=，=D.=，=解析：由得cos+=，代入检验得A. 答案：A2、tan+=2，如此的值为.解：由tan+=2， 得tan=.于是=.3、在中，如此 4、要使sincos=有意义，如此应有 ( )A.mB.m1 C.m1或m D.1m解析：2sin=sin=.由111m. 答案：D5、 = 5、原式，原式6、cos=，cos+=，、0，如此=.解：由cos=，cos+=，得cos=cos+=，得=.7、2005年春季某某，14在ABC中，假如=，如此ABC是 解析：由=，得=.又=，=.=.sinAcosB=cosAsinB，sinAB=0，A=B.同理B=C. ABC是等边三角形. 答案：B8、假如8cos+cos=1，如此sin4+cos4=_.解析：由得8sincos=1，4sin2=1.cos2=.sin4+cos4=sin2+cos222sin2cos2=1sin22=11cos22=11=1=. 答案：9、假如tanx=，如此=_.解析：原式=23.答案：2310化简=.解：原式=tan.11、0，tan+cot=，如此sin的值为.解：由tan+cot=，得sin=.0，cos=.从而sin=sincoscossin=43.12、x，0，cosx=，如此tan2x等于 A.B.C.D.解析：cosx=，x，0，sinx=.tanx=.tan2x=.答案：D13、sin+0，cos0，如此如下不等关系中必定成立的是 ( )cotcotcoscos解析：由得sin0，cos0，如此tancot=0. tancot. 答案：B14、如下四个命题中的假命题是 、，使得cos+=coscos+sinsin、，使得cos+=coscos+sinsin、，cos+=coscossinsin、，使得cos+coscossinsin解析：由cos+=coscos+sinsin=coscossinsin，得sinsin=0.=k或=kkZ. 答案：B15、函数y=5sinx+cos2x的最大值是_.解析：y=5sinx+cos2x=5sinx+12sin2x=2sinx2+.sinx=1时，ymax=4.答案：416、求周长为定值LL0的直角三角形的面积的最大值.解法一：a+b+=L2+.S=ab2=2=L2.解法二：设a=csin，b=ccos.a+b+c=L，c1+sin+cos=L.c=.S=c2sincos=.设sin+cos=t1，如此S=11=L2.17、2004年某某，17sin+2sin2=，求2sin2+tancot1的值.解：由sin+2sin2=sin+2cos+2=sin+4=cos4=，得cos4=.又，所以=.于是2sin2+tancot1=cos2+=cos2+=cos2+2cot2=cos+2cot=2=.18、0，3sin2+2sin2=1， 3sin22sin2=0，求+2的值.解：由得3sin2=12sin2=cos2.由得sin2=sin2.cos+2=coscos2sinsin2=3cossin2sinsin2=0.、0，+20，.+2=.19、求证：=.证明：左边=，右边=，左边=右边，原式成立.20、2005年春季，15在ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA的值和ABC的面积.分析：此题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等根本知识，考查运算能力.解法一：sinA+cosA=cosA45=，cosA45=.又0A180，A45=60，A=105.tanA=tan45+60=2.sinA=sin105=sin45+60=sin45cos60+cos45sin60=.SABC=ACABsinA=23=+.解法二：sinA+cosA=，sinA+cosA2=.2sinAcosA=.0A180，sinA0，cosA0.90A180.sinAcosA2=12sinAcosA=，sinAcosA=.+得sinA=.得cosA=.tanA=2.以下同解法一21、锐角x、y满足sinycscx=cosx+y且x+y，求tany的最大值.解：sinycscx=cosx+y，sinycscx=cosxcosysinxsiny，sinysinx+cscx=cosxcosy.tany=，当且仅当tanx=时取等号.tany的最大值为.22、0，3sin=sin2+，4tan=1tan2.求+的值.解：4tan=1tan2，2tan=1，tan=.3sin=sin2+，3sin=sin+cos+cos+sin.3sin+cos3cos+sin=sin+cos+cos+sin.sin+cos=2cos+sin.tan+=2tan=1.+=.+=+，=+等.23、是否存在两个锐角满足1；2同时成立，假如存在，求出的值；假如不存在，说明理由解：由1得，或，舍去，为所求满足条件的两个锐角24、，求的值解：，得，假如，如此，假如，无意义说明：角的和、差、倍、半具有相对性，如，等，解题过程中应充分利用这种变形25、sin=msin2+m1，求证：tan+=tan.证明：sin=msin2+，sin+=msin+.sin+coscos+sin=msin+cos+mcos+sin.1msin+cos=1+mcos+sin.tan+=tan.26、sin+sin=，求cos+cos的取值X围.解：令t=cos+cos，sin+sin=，2+2，得t2+=2+2cos.2cos=t22，2.t，.27、a=cosx，sinx，b=cos，sin，x0，.1求ab与|a+b|；2假如fx=ab2|a+b|的最小值是，求的值.解：1ab=cosxcossinxsin=cos2x.|a+b|=2=2cosxx0，.2fx=cos2x4cosx=2cosx2122.x0，cosx0，1.当0，cosx=0时，fxmin=1，矛盾.当01，cosx=时，fxmin=122，由122=，得=.当1，cosx=1时，fxmin=14，由14=，得=1，矛盾.综上，=为所求.156 / 24