初二数学勾股定理讲义经典

初二数学勾股定理讲义经典第一章 勾股定理【知识点归纳】考点一：勾股定理(1)对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为，那么一定有勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(2）结论:有一个角是3的直角三角形，30角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。（)勾股定理的验证 例题:例1：已知直角三角形的两边,利用勾股定理求第三边。（1）在RtAC中，C=90若=,b=12,则c=_;若a=15，c2,则b=_;若c=6，b0，则=_;若ab=4,c=10则RtABC的面积是=_。()如果直角三角形的两直角边长分别为,2n(n1），那么它的斜边长是（） 、2nB、1C、n21D、(3)在RtA中,a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是( ）A. . D.以上都有可能（)已知一个直角三角形的两边长分别为3和，则第三边长的平方是（）A、25B、4C、7D、或5例2:已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。(1)直角三角形两直角边长分别为5和1，则它斜边上的高为_。(2)已知tAB中，0,若a+b=1m,=10m，则RtABC的面积是( ) A、24、6 C、8D、60(）已知、为正数,且x-4+(y2-3)2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ )A、5B、2 、7、15 例3:探索勾股定理的证明有四个斜边为、两直角边长为，b的全等三角形，拼成如图所示的五边形,利用这个图形证明勾股定理。 考点二:勾股定理的逆定理（1)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有关系，那么这个三角形是直角三角形。（）常见的勾股数：(3n,4n,5n），(n，12n,13），（8,15n,17n）,（7n，24,25n)，(9n,0,4n).（为正整数）（3）直角三角形的判定方法:如果三角形的三边长,b，c有关系,，那么这个三角形是直角三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形。两内角互余的三角形是直角三角形。如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例1：勾股数的应用(1)下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）. 4，5, B.2，3，4 C. 11,12，3 D. 8,5，17（2)若线段,b,c组成直角三角形，则它们的比为( ) 、3 、3 、51213 D、例2:利用勾股定理逆定理判断三角形的形状(）下面的三角形中:A中，=A；ABC中，：B：1：2：;ABC中,a:：=3：4：5；AB中,三边长分别为8，5，17其中是直角三角形的个数有( ）A.1个 B.2个 个 D4个(2）若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（ ).等腰三角形 B.直角三角形 .等腰直角三角形 .不等边三角形（3）已知a,b,为AC三边，且满足(22)（a+b2c2)0，则它的形状为（)A直角三角形B.等腰三角形C等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形（4)将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数， 得到的三角形是( )A. 钝角三角形 B锐角三角形 C. 直角三角形 D 等腰三角形（5)若B的三边长，b，满足试判断AB的形状。(6）A的两边分别为5,12,另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为 ，此三角形为 。例3:求最大、最小角的问题(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是 度。（)已知三角形三边的比为1：:,则其最小角为 。考点三：勾股定理的应用例题:例1:面积问题()下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ )A13 B. 6 C 47 4 （图） （图2） （图3)(3)如图，BC为直角三角形，分别以AB,BC,AC为直径向外作半圆,用勾股定理说明三个半圆的面积关系,可得（ )A S1+ S2 S3 B.S1+S2= S C. 2+S S1 D. 以上都不是（2)如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是( ). S1- S2= S B. S1+ 2=S C.2+3 S S2-S3S例2:求长度问题（1） 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度。()在一棵树10m高的B处,有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶处后直接跃到A外,距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高? 例3:最短路程问题（1）如图1，已知圆柱体底面圆的半径为,高为2,AB,CD分别是两底面的直径,A,是母线，若一只小虫从点出发,从侧面爬行到C点,则小虫爬行的最短路线的长度是 。（结果保留根式) （图1）(2）如图,有一个长、宽、高为米的封闭的正方体纸盒,一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短距离为 。 (图)例4:航海问题(1）一轮船以16海里时的速度从港向东北方向航行,另一艘船同时以1海里/时的速度从A港向西北方向航行,经过1.小时后,它们相距_海里（2）如图1,某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的处，在点A处测得某岛C在北偏东0的方向上。该货船航行30分钟到达处,此时又测得该岛在北偏东0的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁,若继续向正东方向航行,该货船有无暗礁危险？试说明理由。 （图1) （图)（3） 如图2,某沿海开放城市A接到台风警报,在该市正南方向26km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到B的距离AD=1，那么台风中心经过多长时间从B点移到点?如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?例5：网格问题(1)如图,正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形AC中,边长为无理数的边数是( )A0 B1 C2 D3（2)如图,正方形网格中的C，若小方格边长为1，则是 ( ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 .以上答案都不对(3)如图,小方格都是边长为1的正方形,则四边形ACD的面积是( )A 25 B.125 C. 9 8.5 （图1） （图2） (图3）例：图形问题（1)如图1，求该四边形的面积(2）(210四川宜宾）如图2，已知,在AB中，A= 4，C ,= +1，则边C的长为 . (图) (图2)（3）某公司的大门如图所示,其中四边形B 是长方形,上部是以D为直径的半圆,其中A=2.3m,C=2,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5,宽为1.,问这辆卡车能否通过公司的大门？并说明你的理由 （4)将一根长2的筷子置于地面直径为5,高为12的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h,则h的取值范围 。【培优提高】1如图是一张直角三角形的纸片，两直角边C6cm、BC8 cm, 现将AB折叠，使点与点A重合，折痕为DE,则BE的长为（) cm （B）5cm （C）6 cm ()0 ABCD2 如图所示，在tAC中，C=90，=0,BD是ABC的平分线,C=5,求AB的长.3 如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、(在图甲中画一个即可）；使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可). 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ).1,2, .2,3，4 C3，4,5 D.4,65在ABC中，B=6，A8，C=，则该三角形为（ ）A锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D等腰直角三角形.已知ABC是边长为1的等腰直角三角形,以RABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtAD，再以tA的斜边为直角边，画第三个等腰RtADE,依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 7如图，每个小正方形的边长为1，的三边的大小关系式： （A） () (C） （D) 8.（本题满分1分)问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。定理表述请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述）;(分) 尝试证明以图1中的直角三角形为基础,可以构造出以、b为底,以为高的直角梯形(如图）,请你利用图2,验证勾股定理；（4分)知识拓展利用图2中的直角梯形，我们可以证明其证明步骤如下：= 。又在直角梯形ABCD中有B D（填大小关系），即 ,