2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)(文科)

普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）（文科）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合A=x|5x2,B=x|3x3,贝UAAB=（）A.x|3x2B.x|5x2C.x|3x3D.x|5x0)的一个焦点，则b=.如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为14高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.。恵成绩年级名抚267D总成绩年级267从这次考试成绩看(1) 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；(2) 在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15. (本小题满分13分)已知函数f(x)=sinx2衍sin2：.(1) 求f(x)的最小正周期；求f(x)在区间0,上的最小值.16. (本小题满分13分)已知等差数列an满足a1+10,a3=2.(1) 求an的通项公式；(2) 设等比数列bn满足b2=a3,b3=a?，问：b6与数列an的第几项相等?(本小题满分13分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中v表示购买，表示未购买顾笄人八、甲乙内丁100X7217X7X200777X3007X7X85VXXX98X7XX(1) 估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2) 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3) 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?18.(本小题满分14分)如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB丄平面ABC,VAB为等边三角形，AC丄BC且AC=BC=2,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证：VB/平面MOC;求证：平面MOC丄平面VAB;求三棱锥V-ABC的体积.219. (本小题满分13分)设函数f(x)=X2kinx,k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,.e上仅有一个零点.20. (本小题满分14分)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点，直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3) 试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.参考答案与详解本试卷分第I卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.5-3023x解析：选A如图所示，易知AQB=x|3x寸；a=号专=号,313133131331k=2,此时44；a=42=8,k=3,此时84；a=8举=16k=4,此时16,所以当ab=|a|b|时，有cos=1,即a,b=0此时a,b同向，所以a/b.反过来，当a/b时，若a,b反向，贝a,b=180,ab=|a|b|;若a,b同向，则a,b=0ab=|a|b|,故ab=|a|b|”是a/b”的充分而不必要条件.6. 解析:选C根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V-ABCD,其中VB丄平面ABCD,且底面ABCD是边长为1的正方形，VB=1所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD,易知BD=2,在RtVBD中，VD=VB2+BD2=3.&解析：选B因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为3560035000=600（千米）,故每100千米平均耗油量为48弋=8（升）.第n卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上）9. 解析：因为i（1+i）=i+i2=1+i,所以实部为一1.答案：13111解析：因为2=2=81,132=.3log24=2,所以三个数中最大的数是log25.答案：Iog2511.解析：在厶ABC中，根据正弦定理a=bsinAsinB，36口.rV2有R=耐,可得sinB=云sinTn因为/A为钝角，所以/B=4.答案:n4解析：由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c=2.根据双曲线的标准方程，可知a2=1.又c2=a2+b2,所以b2=3.又b0,所以b=_3.答案：3212解析：把z=2x+3y变形为y=?x+z,通过平移直线y=知，当过点A（2,1）时，z=2x+3y取得最大值为zmax=2X2+3X1=7.答案：712. 答案：乙数学三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)解：因为f(x)=sinx+3cosx3=2sin所以f(x)的最小正周期为2n.(2)因为0$/|耳所以扌$+nn.当x+3Ln,即x=时，f(x)取得最小值.所以f(x)在区间0,手上的最小值为临一W13. (本小题满分13分)已知等差数列an满足ai+10,as=2.(1)求an的通项公式；设等比数列bn满足b2=a3,b3=a7，问：b6与数列an的第几项相等？解：(1)设等差数列an的公差为d.因为a4a3=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.所以an=4+2(n1)=2n+2(n=1,2,).设等比数列bn的公比为q.因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b6=4X261=128.由128=2n+2得n=63,所以b6与数列an的第63项相等.14. 解：(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为卷第二0.2.从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、与同理，可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001000=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为他=0.11000所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.解：(1)证明：因为O,M分别为AB,VA的中点，所以OM/VB.又因为VB?平面MOC,OM?平面MOC,所以VB/平面MOC.证明：因为AC=BC,O为AB的中点，所以OC丄AB.又因为平面VAB丄平面ABC,且OC?平面ABC,所以OC丄平面VAB.又OC?平面MOC,所以平面MOC丄平面VAB.(3) 在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=2,所以AB=2,OC=1.所以等边三角形VAB的面积Savab=,3.又因为OC丄平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等于3OCSavab3.V-ABC的体积为又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥33.2X解：(1)由f(x)=-kinx(k0),kx2k得x0且f，x)=x_=.xx由fx)=0,解得x=.k(负值舍去).f(x)与fx)在区间(0,+s上的情况如下:X(0,&)(g+s)fx)一0+f(x)k(1lnk)2所以，f(x)的单调递减区间是(0,.k),单调递增区间是(,k,+R).f(x)在x=k处取得极小值f(,k)=k(1Ink)2证明：由知，f(x)在区间(0,上的最小值为f(.k)=k(1Ink)2因为f(x)存在零点，所以k(1Ink)2切，从而k丸.当k=e时，f(x)在区间(1,e)上单调递减，且f(.e)=0,所以x=.e是f(x)在区间(1,e上的唯一零点.aek当ke时，f(x)在区间(1,e上单调递减，且f(1)=-0,f(,e)=0,所以f(x)在区间(1,e上仅有一个零点.综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,e上仅有一个零点.2V2解：(1)椭圆c的标准方程为3+y=1，所以a=.3,b=1,c=-J2.所以椭圆C的离心率e=c=fa3因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1,y”,B(1,屮)，直线AE的方程为y1=(1y1)(x2).令x=3,得M(3,2y1).2一y1+y1所以直线BM的斜率kBM=1.31直线BM与直线DE平行.理由如下:当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM=1.10又因为直线DE的斜率kDE=1,所以BM/DE.21当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k(x1)(kM1)设AX,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y-山匾(x-2)令x=3,得点M3,y1+X13X12，由匸3宀3，k(x1)得(1+3k2)x26k2x+3k23=0,所以X1+x2=6k21+3k2,X1X2=3k231+3k2y1+X13直线BM的斜率kBM=X123X2因为kBM1(X12)k(X1_1)+X1_3k(X21)(X1_2)(3x?)(3X2)(X12)(k1)X1X2+2(x?)3(3X2)(X12)(k1)(3X2)(X12)3k2+312k2.1+3k2+1+3k2所以kBM=1=kDE,所以BM/DE.综上可知，直线BM与直线DE平行.