2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)(文科)

普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）（文科）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 已知全集U=1,2,3,4,5,6,集合A=2,3,5,集合B=1,3,4,6,则集合AQ?uB=（）A3B2,5C.1,4,6D2,3,5x-20,设变量x,y满足约束条件x2y0,则目标函数z=3x+y的最大值为（）.x+2y80A.7B.8C.9D.14阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A.2B.3C.4D.52. 设xR,贝U“12”是x-2|0,b0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(xab2)2+y2=3相切，则双曲线的方程为()22Ax仝1A.9132C5-卜122B法11392D.x2乞=136.如图，在圆0中，M,N是弦AB的三等分点，弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2，MD=4,CN=3,则线段NE的长为()8A.3B.3105C亍D.27.已知定义在R上的函数f(x)=2|xm1(m为实数)为偶函数，记a=f(log.53),b=f(log25),c=f(2m),贝ya,b,c的大小关系为()A.abcB.cabC.acbD.cb2,点个数为()A.2B.3C.4D.5第n卷1 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上)2i9. i是虚数单位，计算的结果为.+i310. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m),则该几何体的体积为m.FTF已知函数f(x)=axlnx,x(0,+),其中a为实数，fx)为f(x)的导函数.若f(1)=3,则a的值为12.已知a0,b0,ab=8,则当a的值为时，Iog2alog2(2b)取得最大值.13. 在等腰梯形ABCD中，已知AB/DC,AB=2,BC=1,/ABC=60:点E和F分别在线段BC和DC上，且14. 已知函数f(x)=sin3x+cos3x(30),xR若函数f(x)在区间(一3,3)内单调递增，且函数y=f(x)的图象关于直线x=3对称，贝U3的值为.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15. (本小题满分13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(1) 求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数.将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛. 用所给编号列出所有可能的结果；设A为事件编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”求事件A发生的概率.(本小题满分13分)在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3寸15,bc=2,cosA=-14(1) 求a和sinC的值；(2) 求cos?A+1的值.（本小题满分13分）如图，已知AA1丄平面ABC,BB1/AA1,AB=AC=3,BC=2.5,AAi=.7,BBi=27，点E和F分别为BC和AiC的中点.(1)求证：EF/平面AiBiBA;求证：平面AEAi丄平面BCBi；(3) 求直线AiBi与平面BCBi所成角的大小.16. (本小题满分i3分)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且ai=bi=i,b?+b3=2a3,a53b?=7.(i)求an和bn的通项公式；设Cn=anbn,nN,求数列Cn的前n项和.2217. (本小题满分i4分)已知椭圆j+詁=i(ab0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为込5 .(1) 求直线BF的斜率；(2) 设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=开MQ|. 求入的值； 若|PM|sin/BQP=于,求椭圆的方程.18. (本小题满分14分)已知函数f(x)=4xx4,xR.(1) 求f(x)的单调区间；设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证：对于任意的实数x,都有f(x)再(x);1(3) 若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根xi,X2,且xiX2,求证：x2xi；+43.天津卷(文科)参考答案与详解本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 解析：选B?uB=2,5,AA?uB=2,3,5n25=2,5.2.、*-2=0解析：选C作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示.作直线3x+y=0,向右上方平移，过点A时z=3x+y取得最大值.x2=0,由x+2y8=0,x=2,得冷-zmax=3疋+3=9.y=3,2. 解析：选CS=10,i=0,i=i+1=1,S=Si=101=9,不满足SW;i=i+1=2,S=Si=92=7,不满足SW;i=i+1=3,S=Si=73=4,不满足SW;i=i+1=4,S=Si=44=0,满足SW1,输出i=4.3. 解析：选A|x2|1?1x3.由于x|1x2是x|1x3的真子集,所以1x2”是|x2|1”的充分而不必要条件.5.解析：选D由双曲线的渐近线y=bx与圆故所求双曲线的方程为22y.x-3=匸c=2,3，又a2+b2=c2,解得严1，JD=羽.解析：选A由题意可设AM=MN=NB=x,CMMID=AMMB,由圆的相交弦定理得CNNE=ANNB,12X4=x2x,8即解得x=2,NE=8.2 NE=2xx,33. 解析：选B由f(x)=2|Xm|1是偶函数可知m=0,所以f(x)=2|x|1.所以a=f(log0.53)=2|logo.53|1=2log231=2,b=f(log25)=2|log25|1=2log251=4,c=f(0)=2|011=0,所以ca2时，g(x)=x1,f(x)=(x2)；当0纟2时，g(x)=3x,f(x)=2x;当x2时，方程f(x)g(x)=0可化为x5x+5=0,其根为x=才或x=(舍去)；当0纟2时，方程f(x)g(x)=0可化为2x=3x,无解;当x2+nX12X2=8n.答案:In11.解析:fx)=aInx+x=a(1+Inx).由于f(特a(1+In1)=a,又f(1)3,所以a=3.答案：3811. 解析：由于a0,b0,ab=8,所以b=.a所以Iog2aIog2(2b)=Iog2aIog2=Iog2a(4Iog2a)=(log2a2)2+4,当且仅当Iog2a=2,即a=4时，Iog2alog2(2b)取得最大值4.答案：413.解析：取HA.liC为一组握底*则莊=區-丽=訐?-丽.7 AF=AB+BC+=-M+BC+备BA=-总丽:.AI-：八F=(比一山人)(一吉肌4+打)|BA|-|BABC+-|BC|32512=石“花疋羽夯+329n，18.14.解析：f(x)=sin3x+coswx=.2sin因为f(x)在区间(一3,3)内单调递增，且函数图象关于直线x=3对称，所以f(3)必为一个周期上的最大值,所以有3+；=2k计n,kZ,所以32=；+十，3口口2n才、2n2kn,k乙又3(3)2sinAcosA1617.al解：证明：如图，连接AiB.在厶AiBC中，因为E和F分别是BC和AiC的中点，所以EF/BA1.又因为EF?平面AiBiBA,所以EF/平面AiBiBA.证明：因为AB=AC,E为BC的中点，所以AE丄bc.因为AAi丄平面ABC,BB!/AAj所以BB0.2q2-3d=2,由已知，有q43d=10,消去d,整理得q42q28=0,解得q2=4.又因为q0,所以q=2,所以d=2.所以数列an的通项公式为an=2n1,nN;数列bn的通项公式为bn=2n1,nN*.(2)由(1)有cn=(2n1)2n1,设cn的前n项和为Sn,则Sn=1X2+3X21+5X22+(2n3)2n2+(2n1)2n1,2sn=1X21+3X22+5X23+(2n3)2n1+(2n1)Xn,上述两式相减，得&=1+22+23+2n(2n1)Xn=2n+13(2n1)2n=(2n3)2n3,所以，Sn=(2n3)2n+3,nN*.18. 解：(1)设F(c,0).由已知离心率c=5及a2=b2+c2,a5可得a=-J5c,b=2c.又因为B(0,b),F(c,0),所以直线BF的斜率k=0一=空=2.0(c)c设点P(xp,yp),Q(xq,ya),M(xm,yM).22由(1)可得椭圆的方程为5x2+42=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xp=严.1因为BQ_LBP,所以直线BQ的方程为y=qx+2c,与椭圆方程联立，消去y,整理得21x240cx=0,解得Xq=器又因为X=册及Xm=0，可得；=险!=7|xqXm|xq|8由有E=7,所以誌7+815,15即|PQ|=7|PM|.又因为|PM|sin/BQP=乙5所以|BP|=|PQ|sinZBQP=字|PM|sinZBQP=乎4又因为yp=2xp+2c=3c,3所以阳=7勢+gc+霍=喺，因此c=守,得c=1.22所以椭圆的方程为-+y=1.19. 54解：(1)由f(x)=4xx4,可得fx)=44x3.当fx)0,即x1时，函数f(x)单调递增;当fx)1时，函数f(x)单调递减.所以，f(x)的单调递增区间为(一g,1),单调递减区间为(1,+).证明：设点P的坐标为(X0,0),1则X0=43,fx6)=12.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=fx6)(xxo),即g(x)=fx6)(xxo).令函数F(x)=f(x)g(x).即F(x)=f(x)fx0)(xxo),则Fx(fx)fx0).由于fx)=4x+4在(一,+上单调递减，故Fx)在(,+上单调递减.又因为Fx0)=0,所以当x(,xo)时，Fx)0;当x(xo,+时,Fx(0,所以F(x)在(,xo)上单调递增，在(xo,+上单调递减，所以对于任意的实数x,F(x)F(xo)=o,即对于任意的实数x,都有f(x)岂(x).(2) 证明：由(2)知g(x)=12(厶1：设方程g(x)=a的根为X2；可得x2=誇+43.因为g(x)在(,+上单调递减，又由知g(X2)芳(X2)=a=g(x2,)因此X2Wx2.类似地，设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=4x.对于任意的x(,+)有f(x)h(x)=x4o,即f(x)0(x).设方程h(x)=a的根为x，可得xi=4.因为h(x)=4x在(,+上单调递增，且h(xi=a=f(xi)h(xi),因此xixC1由此可得X2Xi*Xi=a+43.1由Sabc=?bcsinA=,得bc=24.又由bc=2,解得b=6,c=4.222由a=b+c2bccosA,可得a=8.