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专题09 圆必考点1 圆的有关性质 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。 由圆的意义可知： 圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。 就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。 圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。 能够重合的两个圆叫等圆。 同圆或等圆的半径相等。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。 推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。 圆周角定理： 推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。 推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 由于以上的定理、推理，所以添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。【典例1】（2019山东中考真题）如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（）A60B50C40D20【答案】B【解析】解：连接，为的直径，故选：B【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.【举一反三】1. （2019黑龙江中考真题）如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（ ）.A；B；C；D.【答案】D【解析】解：连接.，.分别与相切于.两点，故选：D【点睛】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键.2（2019山东中考真题）如图，是的直径，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，则下列结论不一定成立的是（）ABCD【答案】C【解析】是的直径，平分，选项A成立；，选项B成立；，选项D成立；和中，没有相等的边，与不全等，选项C不成立，故选C【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理3（2019吉林中考真题）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，则的度数为（ ）A30B45C55D60【答案】B【解析】解：ACB=50，AOB=2ACB=100，AOP=55，POB=45，故选：B【点睛】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍必考点2 直线和圆的位置关系 1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。 直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。 2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则： 直线和圆相交dr；直线和圆相切dr；直线和圆相离dr；直线和圆相交dr 3、切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 4、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。【典例2】（2019浙江中考真题）如图，已知O上三点A，B，C，半径OC=1，ABC=30，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）A2B CD【答案】B【解析】连接OA，ABC=30，AOC=60，PA是圆的切线，PAO=90，tanAOC =,PA= tan601=.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出AOC=60是解答本题的关键.【举一反三】1.（2019河南中考模拟）如图，PA，PB分别与O相切于A，B两点，若C65，则P的度数为( )A65B130C50D100【答案】C【解析】PA、PB是O的切线，OAAP，OBBP，OAP=OBP=90，又AOB=2C=130，则P=360（90+90+130）=50故选C考点：切线的性质2（2019江苏中考真题）如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为( )ABCD【答案】D【解析】切线性质得到故选D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键3（2019广西中考真题）如图，在中，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）A5B6C7D8【答案】B【解析】如图，设O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，点O是AB的三等分点，O与AC相切于点D，MN最小值为，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值，,MN长的最大值与最小值的和是6故选B【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.必考点3 正多边形和圆 各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。 定理：把圆分成n（n3）等分： （l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形； （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。 定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。 正n边形的每个中心角等于 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。【典例3】（2019浙江中考真题）如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是（ ）ABCD【答案】C【解析】五边形为正五边形故选：C【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）180是解题的关键【举一反三】1（2019四川中考模拟）如图，正方形ABCD内接于O，AB=2，则的长是（）ABC2D【答案】A【解析】连接OA、OB，正方形ABCD内接于O，AB=BC=DC=AD，AOB=360=90，在RtAOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，的长为=，故选A【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出AOB的度数和OA的长是解此题的关键2（2019贵州中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于O，连接BD则CBD的度数是（ ）A30B45C60D90【答案】A【解析】在正六边形ABCDEF中，BCD120，BCCD，CBD（180120）30，故选：A【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键3（2019山东初三期中）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）ABCD【答案】B【解析】因为圆内接正三角形的面积为，所以圆的半径为，所以该圆的内接正六边形的边心距sin601，故选：B【点睛】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距必考点4 圆中的计算 圆扇形，弓形的面积 l、圆面积：； 2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 在半径为R的圆中，圆心角为n的扇形面积S扇形的计算公式为： 注意：因为扇形的弧长。所以扇形的面积公式又可写为 （3）弓形的面积 由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。 弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。 3、圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面周长等于扇形弧长，计算侧面积就是计算扇形面价 半径是母线长R，圆锥侧面积为S侧面=【典例4】（2019河北中考模拟）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ）A120B180C240D300【答案】B【解析】设母线长为R，底面半径为r，底面周长=2r，底面面积=r2，侧面面积=rR，侧面积是底面积的2倍，2r2=rR，R=2r，设圆心角为n，有=2r=R，n=180故选B考点：圆锥的计算【举一反三】1（2019浙江中考真题）若扇形的圆心角为90，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）ABCD【答案】C【解析】解：该扇形的弧长.故选C【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）2（2019浙江中考真题）如图，内接于圆，若，则弧的长为（ ）ABCD【答案】A【解析】连接OB，OCA=180-ABC-ACB=180-65-70=45，BOC=90，BC=2，OB=OC=2，的长为=，故选A【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识3（2019西藏中考真题）如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（）ABCD【答案】A【解析】过作于，弧的长，设圆锥的底面圆的半径为，则，解得故选：A【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长1（2010山东中考真题）如图，是的弦，半径于点且则的长为（ ）.ABCD【答案】D【解析】连接OA，OCAB，AB=6则AD=3且OA2=OD2+AD2，OA2=16+9，OA =OC=5cmDC =OC-OD=1 cm故选D2（2019湖北中考真题）如图，点，均在上，当时，的度数是（ ）ABCD【答案】A【解析】，故选A【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半3（2019陕西中考真题）如图，AB是O的直径，EF，EB是O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若AOF=40，则F的度数是（ ）A20B35C40D55【答案】B【解析】连接FB，则FOB=180-AOF=180-40=140，FEBFOB=70，FOBO，OFBOBF=(180-FOB)2=20，EFEB，EFBEBF=(180-FEB)2=55，EFOEBF-OFB=55-20=35，故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.4（2019甘肃中考真题）如图，AB是O的直径，点C、D是圆上两点，且AOC126，则CDB（）A54B64C27D37【答案】C【解析】解：AOC126，BOC180AOC54，CDBBOC27故选：C【点睛】此题考查了圆周角定理注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半5（2019湖北中考真题）如图，AB为的直径，BC为的切线，弦ADOC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD下列结论：CD是的切线；其中正确结论的个数有（）A4个B3个C2个D1个【答案】A【解析】解：连结为的直径，为的切线，又，在和中，又点在上，是的切线；故正确，垂直平分，即，故正确；为的直径，为的切线，故正确；，故正确；故选：A【点睛】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键6（2019广东中考真题）平面内，O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作O的切线条数为（ ）A0条B1条C2条D无数条【答案】C【解析】解：因为点P到O的距离为2，大于半径1，所以点P在圆外，所以，过点P可作O的切线有2条；故选C.【点睛】本题考查了点与圆的关系、切线的定义，熟练掌握是解题的关键.7（2019湖南中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )APAPBBBPDAPDCABPDDAB平分PD【答案】D【解析】PA，PB是O的切线，PAPB，所以A成立；BPDAPD，所以B成立；ABPD，所以C成立；PA，PB是O的切线，ABPD，且ACBC，只有当ADPB，BDPA时，AB平分PD，所以D不一定成立，故选D【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.8（2019江苏初三期末）如图，在ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将ABC绕A逆时针方向旋转40得到ADE，点B经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（）A6BC3D+【答案】B【解析】解：AB=5，AC=3，BC=4，ABC为直角三角形，由题意得，AED的面积=ABC的面积，由图形可知，阴影部分的面积=AED的面积+扇形ADB的面积ABC的面积，阴影部分的面积=扇形ADB的面积=，故选B【点睛】考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键9（2019江苏中考真题）如图，点A、B、C在O上，BC6，BAC30，则O的半径为_【答案】6【解析】解：连接OB,OCBOC2BAC60，又OBOC，BOC是等边三角形OBBC6，故答案为6【点睛】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质10（2018湖北中考真题）如图，点A，B，C在O上，A=40度，C=20度，则B=_度【答案】60【解析】如图，连接OA，OA=OC，OAC=C=20，OAB=OAC+BAC=20+40=60，OA=OB，B=OAB=60，故答案为60【点睛】本题考查了圆的性质的应用，熟练掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键11（2019山东中考模拟）如图，AB是O的直径，点C是O上的一点，若BC=6，AB=10，ODBC于点D，则OD的长为_【答案】4【解析】解：ODBC，BD=CD=BC=3，OB=AB=5，在RtOBD中，OD=4故答案为4【点睛】本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键12（2019四川中考真题）如图，是O的内接三角形，且AB是O的直径，点P为O上的动点，且，O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是_【答案】【解析】过O作于M，延长MO交O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值，O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是，故答案为：【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键13（2015河南中考真题）如图，在扇形AOB中，AOB=90，点C为OA的中点，CEOA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 .【答案】.【解析】连接OE、AE，点C为OA的中点，CEO=30，EOC=60，AEO为等边三角形，S扇形AOE= S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-SCOE）= = =14（2019贵州中考真题）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，A100，则DCE的度数为_；【答案】100【解析】四边形ABCD为O的内接四边形，DCEA100，故答案为100【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，难度不大15（2019江苏中考真题）如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，点C、D在O上若P102，则AC_【答案】219【解析】解：连接AB，PA、PB是O的切线，PAPB，P102，PABPBA（180102）39，DABC180，PADCPABDABC18039219，故答案为：219【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键16（2019四川中考真题）如图，在中，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线(点为切点)，则线段长的最小值为_【答案】【解析】连接是的切线，；，当时，线段OP最短，PQ的长最短，在中，.故答案为：【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，得到时，线段最短是关键
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