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考点四十二：弧长及扇形的面积 聚焦考点温习理解1弧长及扇形的面积(1)半径为r，n的圆心角所对的弧长公式：l；(2)半径为r，n的圆心角所对的扇形面积公式：Slr2圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2r.(1)圆锥侧面积公式：S圆锥侧rl；(2)圆锥全面积公式：S圆锥全rlr23求阴影部分面积的几种常见方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形构造方程法；(5)去重法名师点睛典例分类考点典例一、弧长公式的应用【例1】（浙江省金华市第五中学2018届九年级上册期末模拟）已知扇形的圆心角为45，半径长为10，则该扇形的弧长为（）A. B. C. 3 D. 【答案】B【解析】试题解析：根据弧长公式：l= .故选B【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式【举一反三】（江苏省扬州市宝应县射阳湖镇天平初级中学2016届九年级下学期二模）如图，在66的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点作ABC的外接圆O，则弧的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】考点典例二、扇形面积的计算【例2】（广东省汕头市龙湖区2017届九年级5月模拟）已知圆心角为120的扇形面积为12，那么扇形的弧长为( )A. 4 B. 2 C. 4 D. 2【答案】C【解析】试题分析：根据扇形的面积计算公式可得： ，则r=6，根据弧长的计算公式可得： .【点睛】本题主要考查的就是扇形的面积计算公式和弧长的计算公式，属于简单题.扇形的面积计算公式为： (S为扇形的面积，l为扇形的弧长，n为扇形所对的圆心角的度数，r为扇形所在的圆的半径)，弧长的计算公式为： (l为扇形的弧长，n为扇形所对的圆心角的度数，r为扇形所在的圆的半径).在计算的时候我们一定要根据实际题目选择合适的公式进行计算.【举一反三】（2016辽宁营口第12题）如图，AB是O的直径，弦CD垂直平分OB，垂足为点E，连接OD、BC，若BC=1，则扇形OBD的面积为 【答案】考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质考点典例三、扇形面积公式的运用【例3】（重庆市南岸区南开（融侨）中学2017年中考数学二模）如图，等边ABC内接于O，已知O的半径为2，则图中的阴影部分面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：连接OB、OC，连接AO并延长交BC于H，则AHBCABC是等边三角形，BH=AB=，OH=1，OBC的面积= BCOH=，则OBA的面积=OAC的面积=OBC的面积=，由圆周角定理得，BOC=120，图中的阴影部分面积=故选A【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，掌握等边三角形的性质、扇形面积公式是解题的关键 【举一反三】(2017-2018学年上学期苏州市张家港梁丰初中初三数学期末）如图，半径为1的四个圆两两相切，则图中阴影部分的面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】半径为1的四个圆两两相切，四边形是边长为2的正方形，圆的面积为，阴影部分的面积=22=4，故选A.考点典例四、圆锥的侧面展开图【例4】（江苏省苏州市虎丘区立达中学2017年中考二模）圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则它的表面积为（ ）A. 12 cm2 B. 20 cm2 C. 26 cm2 D. 36 cm2【答案】D【点睛】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解注意圆锥表面积底面积侧面积底面半径2底面周长母线长2的应用【举一反三】（2017年内蒙古乌兰察布市集宁七中中考数学一模）将一个半径为R，圆心角为90的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（）A. R=8r B. R=6r C. R=4r D. R=2r【答案】C【解析】试题解析：根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，则扇形的弧长是： 即 R=4r.故选C.考点典例五、求阴影部分的面积【例5】(陕西西安市西北工业大学附属中学2017届九年级五模) 如图，在中，以中点为圆心，作圆心角为的扇形，点恰好在上，下列关于图中阴影部分的说法正确的是（ ） A. 面积为 B. 面积为C. 面积为 D. 面积随扇形位置的变化而变化【答案】C【解析】作于，于，连接，如图所示：，四边形是正方形，在和中，四边形的面积正方形的面积，又， 故选【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明DMGDNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是解题的关键【举一反三】（2017年湖南省张家界市永定区中考数学一模）已知：AB是O的直径，直线CP切O于点C，过点B作BDCP于D（1）求证：CB2=ABDB；（2）若O的半径为2，BCP=30，求图中阴影部分的面积【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积=【解析】试题分析：（1）由CP是 O的切线，得出BCD=BAC，AB是直径，得出ACB=90，所以ACB=CDB=90，得出结论ACBCDB，从而得出结论；（2）求出OCB是正三角形，阴影部分的面积=S扇形OCB-SOCB=试题解析：(1)提示：先证ACB=CDB=90，再证BAC=BCD,得ACBCDB， (2)解：如图，连接OC，直线CP是O的切线，BCP=30，COB=2BCP=60，OCB是正三角形，O的半径为2，SOCB=，S扇形OCB= ， 阴影部分的面积=S扇形OCBSOCB=课时作业能力提升1. （2017年广东省中考数学学业一模）三角板ABC中，ACB=90，B=30，AC=2，三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的路径长为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】C2. （江苏省苏州市高新区2017届初中毕业暨升学考试模拟）如图，菱形ABCD放置在直线l上(AB与直线l重合)，AB4，DAB60，将菱形ABCD沿直线l向右无滑动地在直线l上滚动，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径总长度为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出图形即可知道，从点A离开出发点到A第一次落在直线上为止，点A运动经过的路径的长度为图中的弧线长，由此即可解决问题.解：如图，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径的长度为图中的弧线长.由题意可知=，DOA2=120，DO=4，所以点A运动经过的路径的长度=，故选D.3. （浙江省金华市第五中学2018届九年级上册期末模拟）如图，点A、B、C在O上，若BAC=45，OB=2，则图中阴影部分的面积为（）A. 4B. C. 2 D. 【答案】C【解析】试题解析：BAC=45，BOC=90，OBC是等腰直角三角形，OB=2，OBC的BC边上的高为： OB=，BC=2S阴影=S扇形OBCSOBC=.故选C4. （山东省临沂市临沭县青云镇中心中学2017届九年级第一次模拟）如图，AB是O的直径，弦CDAB，CDB30，CD2 ，则阴影部分图形的面积为（ ）A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D【解析】连接OD.CDAB，CE=DE=CD= (垂径定理)，又CDB=30，COB=60(圆周角定理)，OC=2，故 .故选：D.5. （2017年福建省漳州一中分校九年级数学综合）如果圆锥的母线长为6cm，底面圆半径为3cm，则这个圆锥的侧面积为（）A. 9cm2 B. 18cm2 C. 27cm2 D. 36cm2【答案】B【解析】底面圆半径为3cm，则底面周长=6，圆锥的侧面积=66=18cm2故选B6. （2017年辽宁省鞍山二十中中考数学模拟）一个圆锥形的零件，如果经过圆锥的轴的剖面是一个边长为4cm的等边三角形，那么圆锥的表面积是（）A. 8cm2 B. 10cm2 C. 12cm2 D. 16cm2【答案】C7.（2017年天津市东丽区立德中学中考数学模拟）已知如图，圆锥的母线长6cm，底面半径是3cm，在B处有一只蚂蚁，在AC中点P处有一颗米粒，蚂蚁从B爬到P处的最短距离是（）A. 3cm B. 3cm C. 9cm D. 6cm【答案】B【解析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n，则： =23，其中r=3，n=180，如图所示：由题意可知，ABAC，且点P为AC的中点，在RtABP中，AB=6，AP=3，BP=3cm，故蚂蚁沿线段Bp爬行，路程最短，最短的路程是3cm8. （2017年吉林省长春市中考数学模拟）如图，在小正方形的边长都为1的方格纸中，ABO的顶点都在小正方形的顶点上，将ABO绕点O顺时针方向旋转90得到A1B1O，则点A运动的路径长为_【答案】 9.（2017年湖北省黄冈市白莲中学中考数学三模）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120，AB长为30cm，AD长为12cm，则贴纸（两面贴）的面积是_cm2【答案】504【解析】试题解析：设AB=R，AD=r，则有S贴纸=2（R2-r2）=（R2-r2）=（R+r）（R-r）=（30+12）（30-12）=504（cm2）故答案为50410. （2017年辽宁省营口市大石桥市水源镇中考数学模拟）如图，ABC中，C=90，tanA=，以C为圆心的圆与AB相切于D若圆C的半径为1，则阴影部分的面积S=_【答案】【解析】连接CD，以C为圆心的圆与AB相切于D，C的半径为1，ACB=90，CDAB，CD=1，S扇形CEF=，tanA=，CD=1，AD=，在RtADC中，由勾股定理可得：AC=，又在RtABC中，tanA= ，BC=，SACB=ACBC=，S阴影=SABCS扇形CEF=.故答案为： .11.（2017年广东省韶关市南雄市中考数学模拟）如图，三个同心圆扇形的圆心角AOB为120o，半径OA为6cm，C、D是圆弧AB的三等分点，则阴影部分的面积等于_cm2【答案】4【解析】解：扇形面积=4（cm2）12.（2017年广东省东莞市中堂六校中考数学三模）如图，在ABC中，ACB=90，ABC=60，AB=12cm，将ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB边延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是_cm2（结果保留）【答案】36【解析】C是直角，ABC=60，BAC=9060=30，BC=AB=12=6cm，ABC以点B为中心顺时针旋转得到BDE，SBDE=SABC，ABE=CBD=18060=120，阴影部分的面积=S扇形ABE+SBDES扇形BCDSABC=S扇形ABES扇形BCD=-=4812=36cm2点睛：能根据题意确定出出阴影部分的面积=S扇形ABES扇形BCD，是解题的关键.13.（2017年安徽省六安八中中考数学模拟）如图，在直角坐标系中，点P的坐标为（3，4），将OP绕原点O逆时针旋转90得到线段OP（1）在图中画出线段OP；（2）求P的坐标和的长度【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）按要求在图中画出线段OP即可；（2）根据（1）中所画线段OP对照图形写出点P的坐标即可；先由点P的坐标计算出OP的长，然后根据弧长公式： 弧长=计算即可.试题解析：（1）所画线段OP如下图：（2）由图可知：点P的坐标为（4，3）；点P的坐标为（3，4），OP=，又旋转角POP=90，弧长PP=.14.（浙江省湖州市九校2017届九年级四月联合模拟）如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD与O相切于点D，CEAD，交AD的延长线于点E（1）求证：BDC=A;（2）若CE=2，DE=2，求AD的长，（3）在（2）的条件下，求弧BD的长。【答案】（1）证明见解析；（2）4 （3）试题解析： 证明：连接,是切线，即 为的直径， 即 在直角 中, 是等边三角形,则 则的长是15.（辽宁营口大石桥市水源镇九年一贯制学校2017届中考数学模拟） 如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DFAC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G（1）求证：DF是O的切线；（2）若CF=2，DF=2，求图中阴影部分的面积【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）连接AD、OD，由AB为直径可得出点D为BC的中点，由此得出OD为BAC的中位线，再根据中位线的性质即可得出ODDF，从而证出DF是O的切线；（2）CF=1，DF=，通过解直角三角形得出CD=2、C=60，从而得出ABC为等边三角形，再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积（1）证明：连接AD、OD，如图所示AB为直径，ADB=90，ADBC，AC=AB，点D为线段BC的中点点O为AB的中点，OD为BAC的中位线，ODAC，DFAC，ODDF，DF是O的切线20
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