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专题25 推理能力提升专题卷（时间：90分钟 满分120分）一、选择题（每小题3分，共36分）1（2019山西太原五中初三月考）如图，在ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DEBC交AC于E，则下列结论不正确的是（ ）ABC=3DEBCADEABCDSADE=SABC【答案】D【解析】解：BD=2AD，AB=3AD，DEBC，=，BC=3DE，A结论正确；DEBC，B结论正确；DEBC，ADEABC，C结论正确；DEBC，AB=3AD，SADE=SABC，D结论错误，故选D【点睛】本题考查平行线分线段成比例及相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理是本题的解题关键2（2019上海中考模拟）下列图形中一定是相似形的是( )A两个菱形B两个等边三角形C两个矩形D两个直角三角形【答案】B【解析】解：等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，两个等边三角形一定是相似形，又直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：B【点睛】本题考查了相似多边形的识别判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备3（2019陕西中考模拟）如图，在中，点D，E分别为AB，AC边上的点，且，CD、BE相较于点O，连接AO并延长交DE于点G，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是ABCD【答案】C【解析】解：A.， ,故不正确；B. ， ,故不正确；C. ，,， ，故正确；D. ， ,故不正确；故选C【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键4（2019哈尔滨市第六十九中学校初三月考）如图，菱形ABCD的对角线AC6，BD8，AEBC于点E，则AE的长是（）A5BCD【答案】C【解析】四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，AO=CO=3cm,BO=DO=4cm,BOC=90，BC= =5(cm)，AEBC=BOAC故5AE=24，解得：AE= .故选：C.【点睛】此题考查菱形的性质，解题关键在于结合勾股定理得出BC的长5（2019福建初一期中）将一副直角三角板如图放置，使含30角的三角板的短直角边和含45角的三角板的一条直角边重合，则1的度数为()A75B60C45D30【答案】A【解析】解:由题意可得:2=60,5=45,2=60,3=180-90-60=30,4=30, 1=4+5=30+45=75. 故选A【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理,三角形外角的性质,解决本题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和6（2019宁波华茂国际学校初三期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点E，则的值是（ ）ABCD【答案】C【解析】，在中，；故选：C【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键7（2019浙江初三）如图，矩形ABCD中，对角线AC2，E为BC边上一点，BC3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，点B恰好落在对角线AC上的点B处，P，Q分别是AB，AC上的动点，则PE+PQ的最小值为（）AB2C1D3【答案】B【解析】BC3BE，EC2BE，折叠，BEBE，ABCABE90， sinACB，ACB30，在RtABC中，AC2，ACB30，AB，BCAB3，BAC60，BAEEAC30，如图作点E关于AB的对称点E，连接AE，PE，PE+PQPE+PQ，当Q，P，E三点共线，且EQAC时，PE+PQ的值最小，BC3，BC3BE，BE1，E，E两点关于AB对称，BEBE1，EABEAB30，且BAC60，EAC90，即PE+PQ的最小值为AE的值，BAE30，BE1，ABCB，AE2，PE+PQ的最小值为2故选：B【点睛】此题考查折叠的性质，利用三角函数值求角度，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半，垂线段最短的性质，轴对称的性质.8（2019山东初二期中）把一副三角板如图甲放置，其中ACB=DEC=90，A-45，D=30，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15得到D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（ ）AB5C4D【答案】B【解析】由题意易知：CAB=45，ACD=30，若旋转角度为15，则ACO=30+15=45AOC=180ACOCAO=90在等腰RtABC中，AB=6，则AC=BC=同理可求得：AO=OC=3在RtAOD1中，OA=3，OD1=CD1OC=4，由勾股定理得：AD1=5故选B9（2020山东初二期末）如图，在中，点为的中点，平分，且于点，延长交于点.若，则的长为（ ）A5B6C7D8【答案】B【解析】解：平分，且，在ADB和ADN中，ADBADN（ASA）BD=DN，AN=AB=4，点为的中点，NC=2DM=2，AC=AN+NC=6，故选B【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半10（2019重庆西南大学附中初三月考）如图，在四边形ABCD中，ADBC，A90，ADC120，连接BD，把ABD沿BD翻折，得到ABD，连接AC，若AB3，ABD60，则点D到直线AC的距离为（）ABCD【答案】C【解析】过点D作DEAC于E，过A作AFCD于F，如图所示：ADBC，ADBDBC，ADC+BCD180，BCD18012060，ABD60，ADB30，BD2AB6，ADAB3，BDCADCADB1203090，DBC30，CDtanDBCBDtan30662， 由折叠的性质得：ADBADB30，ADAD3，ADC120303060，AFCD，DAF30，DFAD，AFDF，CFCDDF2，AC， ACD的面积ACDECDAF，即D到直线AC的距离为；故选：C【点睛】此题考查折叠的性质，三角函数，勾股定理，直角三角形的30角所对的直角边等于斜边的一半.11（2019南通市八一中学初二月考）如图，在菱形ABCD中，ABC60，AB1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（）ABCD【答案】C【解析】解：四边形ABCD为菱形，A、C关于BD对称，连AE交BD于P，则PE+PCPE+APAE，根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值ABC60，AB=BCABC为等边三角形，又BECE ，AEBC， AE故选：C【点睛】本题主要考查最短距离问题，掌握勾股定理，等边三角形的性质及菱形的对称性是解题的关键12（2019重庆初三期末）如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度（其中090），连接BG、DE相交于点O，再连接AO、BE、DG王凯同学在探究该图形的变化时，提出了四个结论：BGDE；BGDE；DOAGOA；SADGSABE，其中结论正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个【答案】D【解析】DABEAG90，DAEBAG，又ADAB，AGAE，DAEBAG（SAS），BGDE，ADEABG，故符合题意，如图1，设点DE与AB交于点P， ADEABG，DPABPO，DAPBOP90，BGDE，故符合题意，如图1，过点A作AMDE，ANBG，DAEBAG，SDAESBAG，DEAMBGAN，又DEBG，AMAN，且AMDE，ANBG，AO平分DOG，AODAOG，故符合题意，如图2，过点G作GHAD交DA的延长线于点H，过点E作EQAD交DA的延长线于点Q，EAQ+AEQ90，EAQ+GAQ90，AEQGAQ，又AEAG，EQAAHG90，AEQGAH（AAS）AQGH，ADGHABAQ，SADGSABE，故符合题意，故选：D【点睛】本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判定和性质的综合，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.二、填空题（每小题3分，共18分）13（2019河南初三期中）如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=_【答案】【解析】沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，四边形ABEF是正方形，AB=1，设AD=x，则FD=x1，FE=1，四边形EFDC与矩形ABCD相似，解得x1=,x2= (负值舍去)，经检验x1=是原方程的解.【点睛】本题考查了折叠的性质及相似多边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.14（2019银川外国语实验学校初三期中）如图，在ABC中，DEBC，BF平分ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=_【答案】【解析】DEBC，F=FBC，BF平分ABC，DBF=FBC，F=DBF，DB=DF，DEBC，ADEABC， ，即 ，解得：DE= ，DF=DB=2，EF=DF-DE=2- = ，故答案为.【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DEBC可得出ADEABC15（2019河北初三期末）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，ADE=60，则AE的长为【答案】7【解析】ABC是等边三角形，B=C=60，AB=BCCD=BCBD=93=6，；BAD+ADB=120ADE=60，ADB+EDC=120DAB=EDC又B=C=60，ABDDCE，即16（2019陕西初三期末）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上如果BC=4，ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_【答案】【解析】作AHBC于H，交GF于M，如图，ABC的面积是6，BCAH=6，AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3x，GFBC，AGFABC，即，解得x=，即正方形DEFG的边长为，故答案为【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出BC边上的高是解题的关键.17（2019湖北中考真题）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点，点在上，与交于点，连接，若，则_【答案】【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，在中，在与中，在中，在中，在中，在中，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通过作适当的辅助线构造相似三角形，求出对应线段的比18（2019山东初三）如图，点 C 为 RtACB 与 RtDCE 的公共点，ACB=DCE=90，连 接 AD、BE，过点 C 作 CFAD 于点 F，延长 FC 交 BE 于点 G，若 AC=BC=25，CE=15， DC=20，则的值为_ 【答案】【解析】如图，过 E作 EHGF于 H，过 B 作 BPGF于P，则EHG=BPG=90，又EGH=BGP，EHGBPG，=，CFAD，DFC=AFC=90，DFC=CHF，AFC=CPB， 又ACB=DCE=90，CDF=ECH，FAC=PCB，DCFCEH，ACFCBP，EH=CF，BP=CF，=，=， 故答案为【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行推导是解题的关键.三、解答题（每小题6分，共12分）19（2019四川中考真题）如图，线段、相交于点, ,.求证：. 【答案】详见解析【解析】证明：在AEB和DEC中，AEBDEC故.【点睛】本题考查了全等三角形中角边角的判定，轴对称型全等三角形的模型，掌握即可解题.20（2019江苏初二期末）如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F求证：AE=CF【答案】证明见解析.【解析】ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AO=CO，ADBC，EAC=FCO， 在AOE 和COF 中，AOECOF（ASA），AE=CF【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键四、解答题（每小题8分，共16分）21（2019黑龙江初三）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，A=90，AD=BC=4，ABDC，OB=OD，OBE=ODF，在BOE和DOF中， BOEDOF（ASA），EO=FO，四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，BDEF，设BE=x，则DE=x，AE=6-x，在RtADE中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6-x）2，解得：x= ，BD= =2，OB=BD=，BDEF，EO=，EF=2EO=点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 22（2019全国初三课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长【答案】（1）见解析（2）6【解析】解：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBCC+B=180，ADF=DECAFD+AFE=180，AFE=B，AFD=C在ADF与DEC中，AFD=C，ADF=DEC，ADFDEC（2）四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=8由（1）知ADFDEC，在RtADE中，由勾股定理得：五、解答题（每小题9分，共18分）23（2019山东初三期中）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AGBC于点G，AFDE于点F，EAF=GAC（1）求证：ADEABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）AGBC，AFDE，AFE=AGC=90，EAF=GAC，AED=ACB，EAD=BAC，ADEABC，（2）由（1）可知：ADEABC，由（1）可知：AFE=AGC=90，EAF=GAC，EAFCAG，=考点：相似三角形的判定24（2019湖州市第五中学初三）在RtABC中，ACB=90，AC=12点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G，（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形若点G为DE的中点，求FG的长若DG=GF，求BC的长（2）已知BC=9，是否存在点D，使得DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由【答案】（1）,12；（2）等腰的腰长为4或20或或理由见解析.【解析】（1）在正方形中，在中， ， ，,如图1中，正方形中，设，在中，解得，在中，（2）在中，如图2中，当点在线段上时，此时只有，设，则，则， ， ，整理得：，解得或5（舍弃）腰长如图3中，当点在线段的延长线上，且直线，的交点中上方时，此时只有，设，则， ， ，解得或（舍弃），腰长如图4中，当点在线段的延长线上，且直线，的交点中下方时，此时只有，过点作设，则， ， ，解得或（舍弃）腰长，如图5中，当点在线段的延长线上时，此时只有，作于设，则， ， ，解得或（舍弃），腰长，综上所述，等腰的腰长为4或20或或【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题六、解答题（每小题10分，共20分）25（2019河北初三期末）ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作MDN=B（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE相似的三角形（2）如图（2），将MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当DEF的面积等于ABC的面积的时，求线段EF的长【答案】（1）ABD，ACD，DCE（2）BDFCEDDEF，证明见解析；（3）5.【解析】解：（1）图（1）中与ADE相似的有ABD，ACD，DCE（2）BDFCEDDEF，证明如下：B+BDF+BFD=180，EDF+BDF+CDE=180，又EDF=B，BFD=CDEAB=AC，B=CBDFCEDBD=CD，即又C=EDF，CEDDEFBDFCEDDEF （3）连接AD，过D点作DGEF，DHBF，垂足分别为G，HAB=AC，D是BC的中点，ADBC，BD=BC=6在RtABD中，AD2=AB2BD2，即AD2=10262，AD=8SABC=BCAD=128=48，SDEF=SABC=48=12又ADBD=ABDH，BDFDEF，DFB=EFD DHBF，DGEF，DHF=DGF又DF=DF，DHFDGF（AAS）DH=DG=SDEF=EFDG=EF=12，EF=5【点睛】本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的运用26（2019江苏初三期中）如图，在AOB中，AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0t5）以P为圆心，PA长为半径的P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当Q经过点A时，求P被OB截得的弦长（3）若P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）0t或t5【解析】（1）OA=6，OB=8，由勾股定理可求得：AB=10，由题意知：OQ=AP=t，AC=2t，AC是P的直径，CDA=90，CDOB，ACDABO，AD=，当Q与D重合时，AD+OQ=OA，+t=6，t=；（2）当Q经过A点时，如图OQ=OAQA=4，t=4s，PA=4，BP=ABPA=6，过点P作PEOB于点E，P与OB相交于点F、G，连接PF，PEOA，PEBAOB，PE=3.6，由勾股定理可求得：EF=，由垂径定理可求知：FG=2EF=；（3）当QC与P相切时，如图此时QCA=90，OQ=AP=t，AQ=6t，AC=2t，A=A，QCA=ABO，AQCABO，t=，当0t时，P与QC只有一个交点，当QCOA时，此时Q与D重合，由（1）可知：t=，当t5时，P与QC只有一个交点，综上所述，当，P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0t或t5
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