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专题04 一次函数必考点1 函数及其定义域（自变量取值范围）函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。【典例1】（2019四川中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（）AB且CD且【答案】D【解析】由题意得，解得，且，故选：D【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握其定义【举一反三】1. （2019四川中考真题）函数的自变量的取值范围是()ABCD【答案】D【解析】根据题意得：，解得，故选D2. （2019四川中考真题）函数自变量x的取值范围是 _.【答案】x1且x3【解析】根据题意得：，解得x1，且x3，即：自变量x取值范围是x1且x3故答案为x1且x3考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件必考点2 一次函数的图像和性质一次函数的定义：一般地，形如y=kxb(k,b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kxb即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.必过点：（0，b）和（-，0）b0b0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两直线平行：k1=k2且b1 b2（2）两直线相交：k1k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2（4）两直线垂直：【典例2】（2019四川中考真题）一次函数的图像经过的象限是（ ）A一、二、三B二、三、四C一、三、四D一、二、四【答案】C【解析】解：一次函数，该函数经过第一、三、四象限，故选：C【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答【举一反三】1. （2019浙江中考真题）若三点，在同一直线上，则的值等于（ ）A-1B0C3D4【答案】C【解析】设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y=kx+b，y=3x+1，将点（a，10）代入解析式，则a=3；故选C【点睛】本题考查一次函数上点的特点；熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键2. （2019黑龙江中考真题）正比例函数y=kx（k0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ）ABCD【答案】A【解析】解：正比例函数y=kx（k0）的函数值y随x的增大而减小，k0，一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交故选：A【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k0）是一条直线，当k0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）3. （2019山东中考真题）下列关于一次函数的说法，错误的是( )A图象经过第一、二、四象限B随的增大而减小C图象与轴交于点D当时，【答案】D【解析】，图象经过第一、二、四象限，A正确；，随的增大而减小，B正确；令时，图象与轴的交点为，C正确；令时，当时，；D不正确；故选：D【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键必考点3 一次函数与方程、不等式一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b0或ax+b0（a，b为常数，a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.一次函数与二元一次方程组 （1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.【典例3】（2019贵州中考真题）如图所示，直线l1：yx+6与直线l2：yx2交于点P（2，3），不等式x+6x2的解集是（）Ax2Bx2Cx2Dx2【答案】A【解析】当x2时，x+6x2，所以不等式x+6x2的解集是x2故选：A【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合【举一反三】1（2019湖南中考真题）如图，直线和与x轴分别交于点，点，则解集为( )ABC或D【答案】D【解析】直线和与x轴分别交于点，点，解集为，故选：D【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大2. （2019安徽初二期中）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是 （ ）ABCD【答案】D【解析】解：根据给出的图象上的点的坐标，（0，-1）、（1，1）、（0，2）；分别求出图中两条直线的解析式为y=2x-1，y=-x+2，因此所解的二元一次方程组是故选D。3. （2019辽宁中考真题）如图，若一次函数y2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式2x+b0的解集为（）AxBxCx3Dx3【答案】B【解析】解：一次函数y2x+b的图象交y轴于点A（0，3），b3，令y2x+3中y0，则2x+30，解得：x，点B（，0）观察函数图象，发现：当x时，一次函数图象在x轴上方，不等式2x+b0的解集为x故选：B【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键必考点4 一次函数的实际应用【典例4】（2019湖南中考真题）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算【答案】（1）， （2）见解析【解析】【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可【详解】（1）设，根据题意得，解得，；设，根据题意得：，解得，；（2），即，解得，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；，即，解得，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；，即，解得，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型【举一反三】1. （2019上海中考真题）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6，已知某登山大本营所在的位置的气温是2，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y，那么y关于x的函数解析式是_.【答案】y6x2【解析】根据题意得y=-6x+2故答案为：y=-6x+2【点睛】此题考查一次函数的解析式，解题关键在于根据题意列出方程组2. （2019浙江中考真题）元朝朱世杰的算学启蒙一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之”如图是两匹马行走路s关于行走的时间t和函数图象，则两图象交点P的坐标是_【答案】（32，4800）【解析】由题意可得，150t240（t12），解得，t32，则150t150324800，点P的坐标为（32，4800），故答案为：（32，4800）【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出方程150t240（t12）是解决问题的关键3. （2019四川中考真题）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由【答案】（1）1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；（2）当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱，见解析.【解析】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，解得，答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯只，费用为w元， 当时，w取得最小值，此时 答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答1. （2019上海中考真题）下列函数中，函数值随自变量x的值增大而增大的是( )ABCD【答案】A【解析】、该函数图象是直线，位于第一、三象限，随增大而增大，故本选项正确；、该函数图象是直线，位于第二、四象限，随增大而减小，故本选项错误；、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，随增大而减小，故本选项错误；、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，随增大而增大，故本选项错误.故选：.【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键.2. （2019海南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段AB，使点A落在点处，则点B的对应点的坐标为（）ABCD【答案】C【解析】解：由点平移后可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，点B的对应点的坐标故选：C【点睛】本题运用了点的平移的坐标变化规律，解题关键得出点B的对应点的坐标3. （2019广西中考真题）直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是（）ABCD【答案】D【解析】解：直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是：故选：D【点睛】考核知识点：一次函数图象的平移.理解平移性质是关键.4. （2019江苏中考真题）若一次函数(为常数，且)的图象经过点，则不等式的解为( )ABCD【答案】D【解析】如下图图象，易得时，故选D【点睛】本题考查一次函数与不等式的关系，本题关键在于利用画出图像，利用数形结合进行解题5（2019湖南初二期末）如图，一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据图象求出交点P的坐标，根据点P的坐标即可得出答案：由图象可知：一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2的交点P的坐标是（2，3），方程组的解是故选A6（2019四川中考真题）如图，一束光线从点出发，经轴上的点反射后经过点，则点的坐标是( )ABCD【答案】B【解析】如图所示，延长交轴于点设这束光线从点出发，经轴上的点反射后经过点，由反射定律可知，1=OCD，于，=90，在和中，设直线的解析式为，将点，点代入得：，解得：，直线的解析式为：，点坐标为故选B【点睛】本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，综合性较强，难度略大7. （2019山东中考真题）某快递公司每天上午9：0010：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲，乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（ ）A9：15B9：20C9：25D9：30【答案】B【解析】设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1=k1x+40，根据题意得60k1+40=400，解得k1=6，y1=6x+40；设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2=k2x+240，根据题意得60k2+240=0，解得k2=-4，y2=-4x+240，联立，解得，此刻的时间为9：20故选B【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义8. （2019辽宁中考真题）一条公路旁依次有三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从村、村同时出发前往村，甲乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论：两村相距10；出发1.25后两人相遇；甲每小时比乙多骑行8；相遇后，乙又骑行了15或65时两人相距2其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个【答案】D【解析】解：由图象可知村、村相离10，故正确，当1.25时，甲、乙相距为0，故在此时相遇，故正确，当时，易得一次函数的解析式为，故甲的速度比乙的速度快8故正确当时，函数图象经过点设一次函数的解析式为代入得，解得当时得，解得由同理当时，设函数解析式为将点代入得，解得当时，得，解得由故相遇后，乙又骑行了15或65时两人相距2，正确故选：D【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与应用.9. （2019山东中考真题）当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是_【答案】.【解析】经过第二、三、四象限，故答案为：.【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数，与对函数图象的影响是解题的关键10. （2019天津中考真题）直线与轴交点坐标为_【答案】【解析】解：当y=0时，2x-1=0x=直线与轴交点坐标为：故答案为：【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，明确当y=0时的x的值即为直线与x轴交点的横坐标是解题的关键11. （2019广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，由绕点顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是_【答案】【解析】解： 过点作轴于点，BOA=ADC=90.BAC=90,BAO+CAD=90.ABO+BAO=90,CAD=ABO.AB=AC，.设直线的解析式为，将点，点坐标代入得直线的解析式为故答案为：【点睛】本题是几何图形旋转与待定系数法求一次函数解析式的综合题，难度中等12. （2019黑龙江中考真题）甲、乙两地间的直线公路长为千米一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）货车的速度是_千米/小时；轿车的速度是_千米/小时；值为_（2）求轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距千米【答案】（1）；（2）（3）货车出发小时或小时后两车相距千米【解析】解：（1）车的速度是千米/小时；轿车的速度是：千米/小时；故答案为：；（2）由题意可知：，设直线的解析式为，当时，设直线的解析式为，把，代入得：，解得，；（3）设货车出发小时后两车相距千米，根据题意得：或，解得或答：货车出发小时或小时后两车相距千米【点睛】本题主要考查根据图象的信息来解答问题，关键在于函数的解析式的解答，这是这类题的一个难度，必须分段研究.13. （2019河南中考真题）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元（1）求A，B两种奖品的单价；（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的请设计出最省钱的购买方案，并说明理由【答案】（1）A的单价30元，B的单价15元（2）购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少【解析】解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意，得，A的单价30元，B的单价15元；（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为个，购买奖品的花费为W元，由题意可知，当时，W有最小值为570元，即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键
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