资源描述
专题07 三角形必考点1 三角形基础知识 一、三角形中的线段 1、三角形的角平分线 三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离） 2、三角形的中线 三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离） 3三角形的高 三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离） 注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。二、三角形三条边的关系 三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形。 等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。 三角形接边相等关系来分类： 推论三角形两边的差小于第三边。三、三角形的内角和 定理三角形三个内角的和等于180 推论1：直角三角形的两个锐角互余。 三角形按角分类： 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。【典例1】（2019浙江中考真题）若长度分别为的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）A1B2C3D8【答案】C【解析】由三角形三边关系定理得：53a5+3，即2a8，由此可得，符合条件的只有选项C，故选C【点睛】本题考查了三角形三边关系，能根据三角形的三边关系定理得出53a5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边【举一反三】1.（2019河南初二期中）如图，在ABC中，B=40，C=30，延长BA至点D，则CAD的大小为（ ）A110B80C70D60【答案】C【解析】由三角形的外角性质得：CAD=B+C=40+30=70故选C2（2019浙江中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A3，4，8B5，6，10C5，5，11D5，6，11【答案】B【解析】A选项，两边之和小于第三边，故不能组成三角形B选项，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形C选项，两边之和小于第三边，故不能组成三角形D选项，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形故选：B【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边.3（2019江苏中考真题）已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有( )A4个B5个C6个D7个【答案】D【解析】n+2n+8，分n+8最大与3n最大两种情况，当n+8最大时，解得 ：2n4，又n为正整数，n=3，4；当3n最大时，解得：4n10，又n为正整数，n=4，5，6，7，8，9，综上：n的值可以为3、4、5、6、7、8、9，共7种可能，故选D.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，三角形三边关系，熟练掌握相关内容并正确分类讨论是解题的关键.必考点2 全等三角形的判定 1、边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） 注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。 2、角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角“或“ASA”） 3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边域“AAS”） 4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”） 由边边边公理可知，三角形的重要性质：三角形的稳定性。 除了上面的判定定理外，“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全等。 5、直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）【典例2】（2019贵州中考真题）如图，点B、F、C、E在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCDEF的是（ ）AAB=DEBAC=DFCA=DDBF=EC【答案】C【解析】解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加A=D不能判定ABCDEF，故本选项正确；选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误故选C考点：全等三角形的判定【举一反三】1. （2019山东中考真题）如图，是上一点，交于点，若，则的长是( )A0.5B1C1.5D2【答案】B【解析】，在和中，.故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键2（2019湖北中考真题）如图，已知，添加下列条件中的一个：，其中不能确定的是_（只填序号）【答案】【解析】已知，且若添加，则可由判定；若添加，则属于边边角的顺序，不能判定；若添加，则属于边角边的顺序，可以判定故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的几种基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不难判断3 （2019江苏中考真题）如图，ABC中，AB=BC，ABC=90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若BAE=25，则ACF=_度【答案】70【解析】ABC=90，AB=AC，CBF=180-ABC=90，ACB=45，在RtABE和RtCBF中，RtABERtCBF(HL)，BCF=BAE=25，ACF=ACB+BCF=45+25=70，故答案为70.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.必考点3 角的平分线 定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 由定理1、2可知：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。【典例3】（2019浙江中考真题）如图，已知在四边形中，平分，则四边形的面积是（ ）A24B30C36D42【答案】B【解析】如图，过D作DEAB交BA的延长线于E，BD平分ABC，BCD=90，DE=CD=4，四边形的面积 故选：B.【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键【举一反三】1.（2019山东初二期中）如图，ABCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直若AD8，则点P到BC的距离是（）A8B6C4D2【答案】C【解析】过点P作PEBC于E，ABCD，PAAB，PDCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，PA=PE，PD=PE，PE=PA=PD，PA+PD=AD=8，PA=PD=4，PE=4故选C2（2019河南中考模拟）如图，在ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，若AE=3cm，ABD的周长为13cm，则ABC的周长为（）A16cmB19cmC22cmD25cm【答案】B【解析】解：根据作法可知MN是AC的垂直平分线，DE垂直平分线段AC，DA=DC，AE=EC=6cm，AB+AD+BD=13cm，AB+BD+DC=13cm，ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，故选B【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质3.（2019广西中考真题）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，则的周长是（）A12B13C14D15【答案】B【解析】解：是的边的垂直平分线， 的周长是：故选：B【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.必考点4 勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方： 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系： 那么这个三角形是直角三角形【典例4】（2019浙江中考真题）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周醉算经中早有记载如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）A直角三角形的面积B最大正方形的面积C较小两个正方形重叠部分的面积D最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2=a2+b2，阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c），较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a，则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c），知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选C【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2【举一反三】1（2019陕西中考真题）如图，在ABC中，B=30，C=45，AD平分BAC交BC于点D，DEAB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为（ ）A2+BCD3【答案】A【解析】如图，过点D作DFAC于F，AD为BAC的平分线，且DEAB于E，DFAC于F，DF=DE=1，在RtBED中，B=30，BD=2DE=2，在RtCDF中，C=45，CDF为等腰直角三角形，CF=DF=1，CD=，BC=BD+CD=，故选A.【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.2.（2019甘肃中考真题）如图，等边的边长为2，则点的坐标为()ABCD【答案】B【解析】过点作于点，是等边三角形，点的坐标为故选：B【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理以及图形与坐标，正确作出辅助线是解答本题的关键.3.（2019四川中考真题）在中，若，则的面积是_【答案】75或25【解析】解：过点作，垂足为，如图所示在中，；在中，或，或25故答案为：75或25【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出，的长度是解题的关键1（2019辽宁中考真题）如图，AD是ABC的外角EAC的平分线，ADBC，B32，则C的度数是（）A64B32C30D40【答案】B【解析】解：ADBC，EAD=B=32，AD是ABC的外角EAC的平分线，EAC=2EAD=64，EAC是ABC的外角，C=EAC-B=64-32=32，故选：B【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键2（2019辽宁中考真题）如图，在中，连接BC，CD，则的度数是（）A45B50C55D80【答案】B【解析】【分析】连接AC并延长交EF于点M由平行线的性质得，再由等量代换得，先求出即可求出【详解】解：连接AC并延长交EF于点M，故选：B【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型3（2019黑龙江中考真题）如图，在ABC中，BE是ABC的平分线，CE是外角ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若A=60，则BEC是（ ）A15B30C45D60【答案】B【解析】解：BE是ABC的平分线，EBM=ABC，CE是外角ACM的平分线，ECM=ACM，则BEC=ECM-EBM=（ACM-ABC）=A=30，故选：B【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键4（2019山东中考真题）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30角的三角板的一条直角边和含45角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是（ ）.A45B60C75D85【答案】C【解析】ACD=90、F=45，CGF=DGB=45，则=D+DGB=30+45=75，故选C点睛：本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质5（2019辽宁中考真题）如图，AC与BD交于点O，ABCD，AOB105，B30，则C的度数为（）A45B55C60D75【答案】A【解析】A+AOB+B180，A1801053045，ABCD，CA45，故选：A【点睛】此题考查平行线的性质，三角形内角和定理，解题关键在于利用内角和定理求出A.6（2019山东中考真题）如图， BD 是ABC 的角平分线， AE BD ，垂足为 F ，若ABC35， C50，则CDE 的度数为（ ）A35B40C45D50【答案】C【解析】BD是ABC的角平分线，AEBD，ABD=EBD=ABC=，AFB=EFB=90，BAF=BEF=90-17.5，AB=BE，AF=EF，AD=ED，DAF=DEF，BAC=180-ABC-C=95，BED=BAD=95，CDE=95-50=45，故选C【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键7（2019四川中考真题）如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则ACE的周长为（ ）A8B11C16D17【答案】B【解析】解：DE垂直平分AB，AE=BE，ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11故选：B【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等8（2019安康市初级中学初二月考）如图，梯形ABCD中，ADBC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（ ）A22B24C26D28【答案】B【解析】先判断AMBDMC，从而得出AB=DC，然后代入数据即可求出梯形ABCD的周长解：ADBC，AMB=MBC，DMC=MCB，又MC=MB，MBC=MCB，AMB=DMC，在AMB和DMC中，AM=DM，MB=MC，AMB=DMCAMBDMC，AB=DC，四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=24故选B9（2019内蒙古中考真题）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（）ABCD【答案】C【解析】解：由作法得平分，点到的距离等于的长，即点到的距离为，所以的面积故选：C【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了交平分线的性质10（2019辽宁初二期末）如图,在ABC中,C=90,B=30,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为点E,DE=1,则BC= ()AB2C3D+2【答案】C【解析】根据角平分线的性质可得CD=DE=1，根据RtADE可得AD=2DE=2，根据题意可得ADB为等腰三角形，则DE为AB的中垂线，则BD=AD=2，则BC=CD+BD=1+2=3考点：角平分线的性质和中垂线的性质11（2019云南中考模拟）如图，RtABC中，C=90，ABC=30，AC=2，ABC绕点C顺时针旋转得A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（）ABC3D【答案】A【解析】ACB=90，ABC=30，AC=2，A=90ABC=60，AB=4，BC=，CA=CA1，ACA1是等边三角形，AA1=AC=BA1=2，BCB1=ACA1=60，CB=CB1，BCB1是等边三角形，BB1=，BA1=2，A1BB1=90，BD=DB1=，A1D=故选A考点：旋转的性质；含30度角的直角三角形12（2019湖北中考真题）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）ABCD【答案】B【解析】 “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选B.【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理13（2019江苏中考真题）平面直角坐标系中，点到原点的距离是_【答案】【解析】作轴于，则，则根据勾股定理，得故答案为：【点睛】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值14（2019黑龙江中考真题）在中，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_度.【答案】或【解析】解：分两种情况：如图1，当时，；如图2，当时，综上，则的度数为或；故答案为：或；【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及数学的分类讨论思想，能够正确进行分类是解题的关键.15（2015湖南中考真题）如图，在ABC中，B=47，三角形的外角DAC和ACF的平分线交于点E，则AEC= 【答案】66.5。【解析】三角形的外角DAC和ACF的平分线交于点E，EAC=DAC，ECA=ACF；又B=47，B+BAC+BCA=180（三角形内角和定理），DAC+ACF=（B+ACB）+（B+BAC）=（B+B+BAC+BCA）=。AEC=180（DAC+ACF）=66.5。16（2019湖南中考真题）已知AOB60，OC是AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DEOA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示若DE2，则DF_【答案】4【解析】过点D作DMOB，垂足为M，如图所示OC是AOB的平分线，DMDE2在RtOEF中，OEF90，EOF60，OFE30，即DFM30在RtDMF中，DMF90，DFM30，DF2DM4故答案为：4【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键17（2019四川中考真题）如图，在中，点，都在边上，若，则的长为_.【答案】9.【解析】因为ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,BAD=CAE,ABD=ACE,所以ABDACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.18（2019四川中考真题）在中，若，则的面积是_【答案】75或25【解析】解：过点作，垂足为，如图所示在中，；在中，或，或25故答案为：75或25【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出，的长度是解题的关键19（2019湖北中考真题）如图，在中，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点.（1）求证：（2）求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）如图，是等腰三角形又为的中点，（等腰三角形三线合一）在和中，为公共角，.另解：为的中点，又，又，在和中，为公共角，.（2），又，.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键20（2019广西中考真题）如图，点在上（1）求证：平分；（2）求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】解：（1）在与中，即平分；（2）由（1）在与中，得【点睛】熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键
展开阅读全文