2020年中考数学考点总动员 第09讲 不等式（组）及其应用（含解析）

第9讲不等式(组)及其应用1不等式的基本性质性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不改变；如果ab，那么acbc；性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不改变；如果ab，c0，那么acbc，；性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变；如果ab，c0，那么acbc，b，且a、b为常数)：不等式组(ab)图示解集口诀xa同大取大xb同小取小axb大小、小大中间找无解小小、大大找不到4.一元一次不等式的应用 (1)列不等式解应用题的基本步骤：审题；设元；找出能够包含未知数的不等量关系；列出不等式；解不等式；在不等式的解中找出符合题意的未知数的值；写出答案(2)列不等式解应用题涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等，一般所求问题中有“至少()”、“最多()”、“不低于()”、“超过()”、“不大于()”等词，要正确理解这些词的含义考点1：解一元一次不等式【例题1】（2018广西桂林）（6.00分）解不等式x+1，并把它的解集在数轴上表示出来【解析】：去分母，得：5x13x+3，移项，得：5x3x3+1，合并同类项，得：2x4，系数化为1，得：x2，将不等式的解集表示在数轴上如下：归纳：1. 本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1；2将不等式(组)的解集直观地表示在数轴上，体现数形结合的思想；3在画图时，先确定边界点，解集包含边界点，则边界点是实心圆点；解集不包含边界点，则边界点是空心圆圈，再确定方向(大向右，小向左)考点2：解一元一次不等式组【例题2】(2018自贡)解不等式组并在数轴上表示其解集【解答】解：解不等式，得x2.解不等式，得x1.不等式组的解集为1x2.将其表示在数轴上，如图所示归纳：在数轴上表示解集时，大于号向右，小于号向左，有等号的用实心圆点，无等号的用空心圆圈 (1)在解不等式的过程注意不等式性质3的使用，即给不等式两边同时乘以(或除以)一个负数，不等号要改变方向；(2)求不等式组的整数解时，“实心”点所表示的实数如果是整数，则该点也是所求整数解，如果不是整数，要从离该点最近的整数点开始算起；“空心”点所在的实数如果是整数，则该点不是整数解，如果不是整数，则要从解集中离该点最近的整数点开始算起考点3：一元一次不等式的实际应用【例题3】（2019湖南益阳10分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾稻”轮作模式某农户有农田20亩，去年开始实施“虾稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润售价成本）由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？【分析】（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组即可；（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意列出不等式，就不等式即可【解答】解：（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，由题意得：，解得：；答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元；（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意得：2010030+202.5z2060080000，解得：z640；答：稻谷的亩产量至少会达到640千克归纳：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出方程组或不等式是解题的关键归纳总结：1.利用不等式(组)解决实际问题，关键是要抓住题目中表示不等关系的语句，列出不等式，问题的答案不仅要根据解集，还要根据使实际问题有意义确定2在利用不等式组解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为防止漏解和便于比较，我们常用分类讨论的思想方法，对方案的优劣进行探讨考点4：一元一次不等式与其它知识的综合应用【例题4】(2018河北中考预测)如图，在数轴上有A，B，C，D四点，点A对应的数为a，点B对应的数为3，点D对应的数为t，若CD4，且在数轴上移动(1)若2AB表示的数始终位于点A的左侧，求a的取值范围，并把解集表示在数轴上；(2)当t为何值，且是整数时，点B落在C，D两点之间【解析】：(1)AB3a，2AB表示的数始终位于点A的左侧，2(3a)2.a3，a的取值范围为2a3.在数轴上表示如图(2)CD4，且当点B落在C，D两点之间，解得3t2，解不等式得x1，不等式两边同乘以得x.原不等式组的解集为2x.原不等式组的最小整数解是110. 甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材若甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工(1)问乙单独整理多少分钟完工？(2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【解析】：(1)设乙单独整理x分钟完工，根据题意，得1.解得x80.经检验，x80是原分式方程的解，且符合题意答：乙单独整理80分钟完工(2)设甲整理y分钟，根据题意，得1.解得y25.答：甲至少整理25分钟才能完工.11. (2018唐山丰润区一模)小明解不等式1的过程如图请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程解：去分母，得3(1x)2(2x1)1.去括号，得33x4x11. 移项，得3x4x131.合并同类项，得x3.两边都除以1，得x3.【解析】：错误的是，正确解答过程如下：去分母，得3(1x)2(2x1)6.去括号，得33x4x26.移项，得3x4x632.合并同类项，得x5.两边都除以1，得x5.12. （2019四川省凉山州10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：若ab0（或0），则或；若ab0（或0），则或根据上述知识，求不等式（x2）（x+3）0的解集解：原不等式可化为：（1）或（2）由（1）得，x2，由（2）得，x3，原不等式的解集为：x3或x2请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：（1）不等式x22x30的解集为1x3（2）求不等式0的解集（要求写出解答过程）【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得【解答】解：（1）原不等式可化为：或由得，空集，由得，1x3，原不等式的解集为：1x3，故答案为：1x3（2）由0知或，解不等式组，得：x1；解不等式组，得：x4；所以不等式0的解集为x1或x413. (2018郴州)郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元(1)A、B两种奖品每件各多少元？(2)现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？【分析】(1)设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，列方程组求解可得；(2)设A种奖品购买a件，则B种奖品购买(100a)件，根据总价单价购买数量结合总费用不超过900元列不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论【解答】解：(1)设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意，得解得答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元(2)设A种奖品购买a件，则B种奖品购买(100a)件，根据题意，得16a4(100a)900.解得a.a为整数，a41.答：A种奖品最多购买41件14. （2019山东省聊城市8分）某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：第一次第二次A品牌运动服装数/件2030B品牌运动服装数/件3040累计采购款/元1020014400（1）问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？（2）由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数比A品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件B品牌运动服？【分析】（1）直接利用两次采购的总费用得出等式进而得出答案；（2）利用采购B品牌的件数比A品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元，进而得出不等式求出答案【解答】解：（1）设A，B两种品牌运动服的进货单价各是x元和y元，根据题意可得：，解得：，答：A，B两种品牌运动服的进货单价各是240元和180元；（2）设购进A品牌运动服m件，购进B品牌运动服（m+5）件，则240m+180（m+5）21300，解得：m40，经检验，不等式的解符合题意，m+540+565，答：最多能购进65件B品牌运动服11