2020年中考数学基础题型提分讲练 专题21 以平行四边形为背景的证明与计算（含解析）

专题21 以平行四边形为背景的证明与计算考点分析【例1】（2019重庆中考真题）在中，BE平分交AD于点E（1）如图1，若，求的面积；（2）如图2，过点A作，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）解：作于O，如图1所示：四边形ABCD是平行四边形，BE平分，的面积；（2）证明：作交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，如图2所示：，在和中，在和中，【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键【例2】 （2019山东初二期末）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE（感知）如图，过点A作AFBE交BC于点F易证ABFBCE（不需要证明）（探究）如图，取BE的中点M，过点M作FGBE交BC于点F，交AD于点G（1）求证：BE=FG（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为 （应用）如图，取BE的中点M，连结CM过点C作CGBE交AD于点G，连结EG、MG若CM=3，则四边形GMCE的面积为 【答案】（1）证明见解析；（2）2，9.【解析】感知：四边形ABCD是正方形，AB=BC，BCE=ABC=90，ABE+CBE=90，AFBE，ABE+BAF=90，BAF=CBE，在ABF和BCE中，ABFBCE（ASA）；探究：（1）如图，过点G作GPBC于P，四边形ABCD是正方形，AB=BC，A=ABC=90，四边形ABPG是矩形，PG=AB，PG=BC，同感知的方法得，PGF=CBE，在PGF和CBE中，PGFCBE（ASA），BE=FG；（2）由（1）知，FG=BE，连接CM，BCE=90，点M是BE的中点，BE=2CM=2，FG=2，故答案为：2应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，ME=3，同探究（1）得，CG=BE=6，BECG，S四边形CEGM=CGME=63=9，故答案为：9【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质与定理、判断出CG=BE是解本题的关键考点集训1（2019四川初三期末）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BECG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：AEBDEC；（2）如图2，求证：BP=BF；当AD=25，且AEDE时，求cosPCB的值；当BP=9时，求BEEF的值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；108. 【解析】（1）在矩形ABCD中，A=D=90，AB=DC，E是AD中点，AE=DE，在ABE和DCE中，ABEDCE（SAS）；（2）在矩形ABCD，ABC=90，BPC沿PC折叠得到GPC，PGC=PBC=90，BPC=GPC，BECG，BEPG，GPF=PFB，BPF=BFP，BP=BF；当AD=25时，BEC=90，AEB+CED=90，AEB+ABE=90，CED=ABE，A=D=90，ABEDEC，设AE=x，DE=25x，x=9或x=16，AEDE，AE=9，DE=16，CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，BP=BF=PG，BEPG，ECFGCP，设BP=BF=PG=y，y=，BP=，在RtPBC中，PC=，cosPCB=；如图，连接FG，GEF=BAE=90，BFPG，BF=PG=BP，BPGF是菱形，BPGF，GFE=ABE，GEFEAB，BEEF=ABGF=129=108【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键2（2019甘肃中考真题）如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交于点，交于点（1）证明：；（2）连接，证明：【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】证明：（1）四边形是正方形，又，（2）如图所示，延长交的延长线于，是的中点，又，即是的中点，又，中，【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形3（2019黑龙江初三）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，A=90，AD=BC=4，ABDC，OB=OD，OBE=ODF，在BOE和DOF中， BOEDOF（ASA），EO=FO，四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，BDEF，设BE=x，则DE=x，AE=6-x，在RtADE中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6-x）2，解得：x= ，BD= =2，OB=BD=，BDEF，EO=，EF=2EO=点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 4（2019四川中考真题）如图，在四边形中，延长到E，使，连接交于点F，点F是的中点求证：（1）（2）四边形是平行四边形【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】证明：（1），点F是的中点，在与中，；（2），四边形是平行四边形【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质、平行四边形判定定理.5（2019山东初二期末）已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AECF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.（1）求证：AEMCFN； （2）求证：四边形BMDN是平行四边形.【答案】证明见解析【解析】证明：(1） 四边形ABCD是平行四边形，ABDC ，ADBCE=F，DAB=BCDEAM=FCN又AE=CF AEMCFN（ASA）（2） 由（1）AEMCFN AM=CN又四边形ABCD是平行四边形ABCDBMDN四边形BMDN是平行四边形6（2019黑龙江中考真题）.已知：在矩形中，是对角线，于点，于点；（1）如图1，求证：；（2）如图2，当时，连接.，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的.【答案】（1）详见解析；（2）的面积的面积的面积的面积矩形面积的【解析】（1）证明：四边形是矩形， ，于点，于点，在和中，；（2）解：的面积的面积的面积的面积矩形面积的理由如下：，的面积矩形的面积，的面积矩形的面积；作于，如图所示：，的面积矩形的面积，同理：的面积矩形的面积【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，灵活应用矩形的性质证全等，熟练掌握直角三角形角的性质是解题的关键.7（2019浙江中考真题）如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点、在菱形的对角线上. （1）求证：； （2）若为中点，求菱形的周长。【答案】（1）证明见解析；（2）8.【解析】（1）四边形EFGH是矩形，EH=FG，EHFG，GFH=EHF，BFG=180-GFH，DHE=180-EHF，BFG=DHE，四边形ABCD是菱形，ADBC，GBF=EDH，BGFDEH（AAS），BG=DE；（2）连接EG，四边形ABCD是菱形，AD=BC，ADBC，E为AD中点，AE=ED，BG=DE，AE=BG，AEBG，四边形ABGE是平行四边形，AB=EG，EG=FH=2，AB=2，菱形ABCD的周长=8【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键8（2019山西实验中学初三月考）如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DPCP），APB=90将ADP沿AP翻折得到ADP，PD的延长线交边AB于点M，过点B作BNMP交DC于点N（1）求证：AD2=DPPC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F若=，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）四边形PMBN是菱形，理由见解析；（3）【解析】解：（1）过点P作PGAB于点G，易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形， AD=PG，DP=AG，GB=PCAPB=90，APG+GPB=GPB+PBG=90，APG=PBG，APGPBG，PG2=AGGB，即AD2=DPPC；（2）DPAB，DPA=PAM，由题意可知：DPA=APM，PAM=APM，APB-PAM=APB-APM，即ABP=MPBAM=PM，PM=MB，PM=MB，又易证四边形PMBN是平行四边形，四边形PMBN是菱形；（3）由于，可设DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，PG2=AGGB，4k2=kGB，GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，CPAB，PCFBAF，又易证：PCEMAE，AM=AB=, ，EF=AF-AE=AC-AC=AC，.【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识9（2019抚顺市雷锋中学初三月考）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EFAB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EGCG（1）将BEF绕点B逆时针旋转90，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想（2）将BEF绕点B逆时针旋转180，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系.请写出你的猜想，并加以证明【答案】（1）EG=CG;EGCG（2）EG=CG；EGCG，证明见解析.【解析】解：（1）EG=CG，EGCG（2）EG=CG，EGCG 证明：延长FE交DC延长线于M，连MGAEM=90，EBC=90，BCM=90，四边形BEMC是矩形BE=CM，EMC=90，由图（3）可知，BD平分ABC，ABC=90，EBF=45，又EFAB，BEF为等腰直角三角形BE=EF，F=45EF=CMEMC=90，FG=DG，MG=FD=FGBC=EM，BC=CD，EM=CDEF=CM，FM=DM，又FG=DG，CMG=EMC=45，F=GMC在GFE与GMC中，GFEGMC（SAS）EG=CG，FGE=MGC. FMC=90，MF=MD，FG=DG，MGFD，FGE+EGM=90，MGC+EGM=90，即EGC=90，EGCG【点睛】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质10（2019广东初三期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE，求证：CECF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE45，请你利用（1）的结论证明：GEBEGD；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC，E是AB上一点，且DCE45，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积【答案】（1）、（2）证明见解析（3）108【解析】（1）如图1，在正方形ABCD中，BC=CD，B=CDF，BE=DF，CBECDF，CE=CF；（2）如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知CBECDF，BCE=DCFBCE+ECD=DCF+ECD即ECF=BCD=90，又GCE=45，GCF=GCE=45，CE=CF，GCE=GCF，GC=GC，ECGFCG，GE=GF，GE=DF+GD=BE+GD；（3）过C作CFAD的延长线于点F则四边形ABCF是正方形AE=AB-BE=12-4=8，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角ADE中，AE2+AD2=DE2，则82+（12-x）2=（4+x）2，解得：x=6则DE=4+6=10【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，解决本题的关键是注意每个题目之间的关系，正确作出辅助线11（2019湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB4，BC6若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动(1)当OAD30时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cosOAD的值【答案】(1)点C的坐标为(2，3+2)；(2)OA3；(3)OC的最大值为8，cosOAD【解析】 (1)如图1，过点C作CEy轴于点E，矩形ABCD中，CDAD，CDE+ADO90，又OAD+ADO90，CDEOAD30，在RtCED中，CECD2，DE2，在RtOAD中，OAD30，ODAD3，点C的坐标为(2，3+2)；(2)M为AD的中点，DM3，SDCM6，又S四边形OMCD，SODM，SOAD9，设OAx、ODy，则x2+y236，xy9，x2+y22xy，即xy，将xy代入x2+y236得x218，解得x3(负值舍去)，OA3；(3)OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，OM3，CM5，OCOM+CM8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ONAD，垂足为N，CDMONM90，CMDOMN，CMDOMN，即，解得MN，ON，ANAMMN，在RtOAN中，OA，cosOAD【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点12（2019广东初二期中）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB（1）求证：BCPDCP；（2）求证：DPE=ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图），若ABC=58，则DPE= 度【答案】 （1）详见解析（2）详见解析（3）58【解析】解：（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，BCP=DCP=45，在BCP和DCP中，BCPDCP（SAS）（2）证明：由（1）知，BCPDCP，CBP=CDPPE=PB，CBP=ECDP=E1=2（对顶角相等），1801CDP=1802E，即DPE=DCEABCD，DCE=ABCDPE=ABC（3）解：在菱形ABCD中，BC=DC，BCP=DCP，在BCP和DCP中，BCPDCP（SAS），CBP=CDP，PE=PB，CBP=E，DPE=DCE，ABCD，DCE=ABC，DPE=ABC=58，故答案为：58