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专题17 反比例函数综合题考点分析【例1】（2018浙江中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知ABC，ABC=90，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=2，ADC与ABC关于AC所在的直线对称（1）当OB=2时，求点D的坐标；（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y=（k0）的图象与BA的延长线交于点P问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）点D坐标为（5，）；（2）OB=3；（3）k=12【解析】（1）如图1中，作DEx轴于EABC=90，tanACB=，ACB=60，根据对称性可知：DC=BC=2，ACD=ACB=60，DCE=60，CDE=90-60=30，CE=1，DE=，OE=OB+BC+CE=5，点D坐标为（5，）（2）设OB=a，则点A的坐标（a，2），由题意CE=1DE=，可得D（3+a，），点A、D在同一反比例函数图象上，2a=（3+a），a=3，OB=3（3）存在理由如下：如图2中，当PA1D=90时ADPA1，ADA1=180-PA1D=90，在RtADA1中，DAA1=30，AD=2，AA1=4，在RtAPA1中，APA1=60，PA=，PB=，设P（m，），则D1（m+7，），P、A1在同一反比例函数图象上，m=（m+7），解得m=3，P（3，），k=10如图3中，当PDA1=90时PAK=KDA1=90，AKP=DKA1，AKPDKA1，AKD=PKA1，KADKPA1，KPA1=KAD=30，ADK=KA1P=30，APD=ADP=30，AP=AD=2，AA1=6，设P（m，4），则D1（m+9，），P、A1在同一反比例函数图象上，4m=（m+9），解得m=3，P（3，4），k=12点睛：本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直角三角形、待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会了可以参数构建方程解决问题，属于中考压轴题【例2】 （2019山东中考模拟）如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作ABx轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P（1）求反比例函数y=的表达式；（2）求点B的坐标；（3）求OAP的面积【答案】（1）反比例函数解析式为y=；（2）点B的坐标为（9，3）；（3）OAP的面积=5【解析】（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，则反比例函数解析式为y=；（2）如图，过点A作ACx轴于点C，则OC=4、AC=3，OA=5，ABx轴，且AB=OA=5，点B的坐标为（9，3）；（3）点B坐标为（9，3），OB所在直线解析式为y=x，由可得点P坐标为（6，2），（负值舍去），过点P作PDx轴，延长DP交AB于点E，则点E坐标为（6，3），AE=2、PE=1、PD=2，则OAP的面积=（2+6）36221=5【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键.考点集训1（2019四川中考真题）如图，直线与双曲线相交于点A，且，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点（1）求直线的解析式及k的值；（2）连结、，求的面积【答案】（1）直线的解析式为，k=1；（2）2.【解析】解：（1）根据平移的性质，将直线向左平移一个单位后得到，直线的解析式为，直线与双曲线相交于点A，A点的横坐标和纵坐标相等，；（2）作轴于E，轴于F，解得或，【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型2（2019四川中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A与点（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接，且过点P作y轴的平行线交直线于点C，连接，若的面积为3，求出点P的坐标【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）点P的坐标为或或【解析】解：（1）将代入一次函数中得：将代入反比例函数中得：反比例函数的表达式为；（2）如图：设点P的坐标为，则，点O到直线的距离为m的面积解得：或或1或2点P不与点A重合，且又或1或2点P的坐标为或或【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是熟练掌握反比例函数.3（2019江苏中考真题）已知一次函数和反比例函数（1）如图1，若，且函数、的图象都经过点求，的值；直接写出当时的范围；（2）如图2，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点若，直线与函数的图象相交点当点、中的一点到另外两点的距离相等时，求的值；过点作轴的平行线与函数的图象相交于点当的值取不大于1的任意实数时，点、间的距离与点、间的距离之和始终是一个定值求此时的值及定值【答案】（1），；（2）或4；，【解析】（1）将点的坐标代入一次函数表达式并解得：，将点的坐标代入反比例函数得：；由图象可以看出时，；（2）当时，点、的坐标分别为、，则，则或或，即：或或，即：或0或2或4，当时，与题意不符，点不能在的下方，即也不存在，故不成立，故或4；点的横坐标为：，当点在点左侧时，的值取不大于1的任意数时，始终是一个定值，当时，此时，从而当点在点右侧时，同理，当，时，（不合题意舍去）故，【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、函数定值的求法，关键是通过确定点的坐标，求出对应线段的长度，进而求解4（2019深圳市福田区外国语学校初三期中）如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sinAOB=，反比例函数y=（k0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EFOB，交OA于点E（如图），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO，是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=（x0）（2）OA=；C（5，）（3）P1（ ，），P2（，），P3（，），P4（，）【解析】（1）过点A作AHOB于H，sinAOB=，OA=10，AH=8，OH=6，A点坐标为（6，8），根据题意得：8=，可得：k=48，反比例函数解析式：y=（x0）；（2）设OA=a（a0），过点F作FMx轴于M，sinAOB=，AH=a，OH=a，SAOH=aa=a2，SAOF=12，S平行四边形AOBC=24，F为BC的中点，SOBF=6，BF=a，FBM=AOB，FM=a，BM=a，SBMF=BMFM=aa=a2，SFOM=SOBF+SBMF=6+a2，点A，F都在y=的图象上，SAOH=k，a2=6+a2，a=，OA=，AH=，OH=2，S平行四边形AOBC=OBAH=24，OB=AC=3，C（5，）；（3）存在三种情况：当APO=90时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（ ，），P2（，）当PAO=90时， P3（，）当POA=90时，P4（，）5（2019四川中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数(且)的图象在第一象限交于点、，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、已知，(1)求的值和反比例函数的解析式；(2)若点为一次函数图象上的动点，求长度的最小值【答案】(1)的值为4或-1；(2).【解析】解：(1)将点代入，得，解得，的值为4或-1；反比例函数解析式为：；(2)轴，轴，将，代入，得：，解得，设直线与轴交点为，当时，；当时，则，为等腰直角三角形，则当垂直于时，由垂线段最短可知，有最小值，此时【点睛】本题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短等知识，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质及相似三角形的性质6（2019山东中考真题）如图1，点、点在直线上，反比例函数（）的图象经过点（1）求和的值；（2）将线段向右平移个单位长度（），得到对应线段，连接、如图2，当时，过作轴于点，交反比例函数图象于点，求的值；在线段运动过程中，连接，若是以为腰的等腰三形，求所有满足条件的的值【答案】（1），；（2）；是以为腰的等腰三形，满足条件的的值为4或5【解析】（1）点在直线上，直线的解析式为，将点代入直线的解析式中，得，将在反比例函数解析式（）中，得；（2）由（1）知，反比例函数解析式为，当时，将线段向右平移3个单位长度，得到对应线段，即：，轴于点，交反比例函数的图象于点，；如图，将线段向右平移个单位长度（），得到对应线段，是以腰的等腰三形，、当时，点在线段的垂直平分线上，、当时，即：是以为腰的等腰三形，满足条件的的值为4或5【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键7（2019广西中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点顺时针旋转90得到线段，反比例函数的图象经过点（1）求直线和反比例函数的解析式；（2）已知点是反比例函数图象上的一个动点，求点到直线距离最短时的坐标【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）将点，点，代入，；过点作轴，线段绕点顺时针旋转90得到线段，（），；（2）设与平行的直线，联立，当时，此时点到直线距离最短；【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，当直线与反比例函数有一个交点时，点到直线的距离最短是解题的关键8（2019广西中考真题）在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标为，交于点（1）如图（1），双曲线过点，直接写出点的坐标和双曲线的解析式；（2）如图（2），双曲线与分别交于点，点关于的对称点在轴上求证，并求点的坐标；（3）如图（3），将矩形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点当为等腰三角形时，求的值【答案】（1）， ；（2）证明见解析，；（3）满足条件的的值为3或12【解析】解：（1）如图1中，四边形是矩形， 双曲线过点，反比例函数的解析式为（2）如图2中，点在反比例函数的图象上，直线的解析式为，关于对称，直线的解析式为，（3）如图3中，当时，在反比例函数图象上，当时，点与点重合，在反比例函数图象上，综上所述，满足条件的的值为3或12【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了中点坐标公式，待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题9（2019辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，（1）求反比例函数的解析式；（2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）是矩形，又轴，即把点 代入的得，反比例函数的解析式为：答：反比例函数的解析式为：（2）过点作垂足为，则点关于轴的对称点，直线与轴的交点就是所求点，此时最小，设直线AB1的关系式为，将 ,，代入得， 解得：，直线的关系式为，当时，点答：点的坐标为【点睛】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式与对称性.10（2019广西中考真题）如图，已如平行四边形中，点为坐标顶点，点，函数的图象经过点（1）求的值及直线的函数表达式：（2）求四边形的周长【答案】（1）k=2，直线OB解析式为；（2）四边形的周长为【解析】 (1)依题意有：点在反比例函数的图象上，又轴，设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为；(2)作于点，在平行四边形中，四边形的周长为：，即四边形的周长为【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答11（2019湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰的边与反比例函数的图象相交于点，其中，点在轴的正半轴上，点的坐标为，过点作轴于点（1）已知一次函数的图象过点，求该一次函数的表达式；（2）若点是线段上的一点，满足，过点作轴于点，连结，记的面积为，设，. 用表示（不需要写出的取值范围）；当取最小值时，求的值【答案】（1）;（2）;【解析】解：（1）将点的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，故一次函数表达式为：，（2）过点作，则，则，则，则点，设：，则，在中，同理，则，则点，有最小值，当时，取得最小值，而点，故：【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到等腰三角形性质、解直角三角形、一次函数等知识，其中（2），确定点的坐标，是本题解题的关键12（2019山东中考真题）(1)阅读理解如图，点，在反比例函数的图象上，连接，取线段的中点分别过点，作轴的垂线，垂足为，交反比例函数的图象于点点，的横坐标分别为，小红通过观察反比例函数的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG=2CF，CFDF，由此得出一个关于，之间数量关系的命题：若，则_(2)证明命题小东认为：可以通过“若，则”的思路证明上述命题小晴认为：可以通过“若，且，则”的思路证明上述命题请你选择一种方法证明(1)中的命题【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1),. (2),，,.【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题
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