2020年中考数学基础题型提分讲练 专题17 反比例函数综合题(含解析)

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专题17 反比例函数综合题考点分析【例1】(2018浙江中考真题)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知ABC,ABC=90,顶点A在第一象限,B,C在x轴的正半轴上(C在B的右侧),BC=2,AB=2,ADC与ABC关于AC所在的直线对称(1)当OB=2时,求点D的坐标;(2)若点A和点D在同一个反比例函数的图象上,求OB的长;(3)如图2,将第(2)题中的四边形ABCD向右平移,记平移后的四边形为A1B1C1D1,过点D1的反比例函数y=(k0)的图象与BA的延长线交于点P问:在平移过程中,是否存在这样的k,使得以点P,A1,D为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的k的值;若不存在,请说明理由【答案】(1)点D坐标为(5,);(2)OB=3;(3)k=12【解析】(1)如图1中,作DEx轴于EABC=90,tanACB=,ACB=60,根据对称性可知:DC=BC=2,ACD=ACB=60,DCE=60,CDE=90-60=30,CE=1,DE=,OE=OB+BC+CE=5,点D坐标为(5,)(2)设OB=a,则点A的坐标(a,2),由题意CE=1DE=,可得D(3+a,),点A、D在同一反比例函数图象上,2a=(3+a),a=3,OB=3(3)存在理由如下:如图2中,当PA1D=90时ADPA1,ADA1=180-PA1D=90,在RtADA1中,DAA1=30,AD=2,AA1=4,在RtAPA1中,APA1=60,PA=,PB=,设P(m,),则D1(m+7,),P、A1在同一反比例函数图象上,m=(m+7),解得m=3,P(3,),k=10如图3中,当PDA1=90时PAK=KDA1=90,AKP=DKA1,AKPDKA1,AKD=PKA1,KADKPA1,KPA1=KAD=30,ADK=KA1P=30,APD=ADP=30,AP=AD=2,AA1=6,设P(m,4),则D1(m+9,),P、A1在同一反比例函数图象上,4m=(m+9),解得m=3,P(3,4),k=12点睛:本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直角三角形、待定系数法等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会了可以参数构建方程解决问题,属于中考压轴题【例2】 (2019山东中考模拟)如图,A(4,3)是反比例函数y=在第一象限图象上一点,连接OA,过A作ABx轴,截取AB=OA(B在A右侧),连接OB,交反比例函数y=的图象于点P(1)求反比例函数y=的表达式;(2)求点B的坐标;(3)求OAP的面积【答案】(1)反比例函数解析式为y=;(2)点B的坐标为(9,3);(3)OAP的面积=5【解析】(1)将点A(4,3)代入y=,得:k=12,则反比例函数解析式为y=;(2)如图,过点A作ACx轴于点C,则OC=4、AC=3,OA=5,ABx轴,且AB=OA=5,点B的坐标为(9,3);(3)点B坐标为(9,3),OB所在直线解析式为y=x,由可得点P坐标为(6,2),(负值舍去),过点P作PDx轴,延长DP交AB于点E,则点E坐标为(6,3),AE=2、PE=1、PD=2,则OAP的面积=(2+6)36221=5【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合,熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键.考点集训1(2019四川中考真题)如图,直线与双曲线相交于点A,且,将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B,与x轴、y轴分别交于C、D两点(1)求直线的解析式及k的值;(2)连结、,求的面积【答案】(1)直线的解析式为,k=1;(2)2.【解析】解:(1)根据平移的性质,将直线向左平移一个单位后得到,直线的解析式为,直线与双曲线相交于点A,A点的横坐标和纵坐标相等,;(2)作轴于E,轴于F,解得或,【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,解题的关键是熟练掌握待定系数法,学会构建方程组确定交点坐标,属于中考常考题型2(2019四川中考真题)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A与点(1)求反比例函数的表达式;(2)若动点P是第一象限内双曲线上的点(不与点A重合),连接,且过点P作y轴的平行线交直线于点C,连接,若的面积为3,求出点P的坐标【答案】(1)反比例函数的表达式为;(2)点P的坐标为或或【解析】解:(1)将代入一次函数中得:将代入反比例函数中得:反比例函数的表达式为;(2)如图:设点P的坐标为,则,点O到直线的距离为m的面积解得:或或1或2点P不与点A重合,且又或1或2点P的坐标为或或【点睛】本题考查反比例函数,解题的关键是熟练掌握反比例函数.3(2019江苏中考真题)已知一次函数和反比例函数(1)如图1,若,且函数、的图象都经过点求,的值;直接写出当时的范围;(2)如图2,过点作轴的平行线与函数的图象相交于点,与反比例函数的图象相交于点若,直线与函数的图象相交点当点、中的一点到另外两点的距离相等时,求的值;过点作轴的平行线与函数的图象相交于点当的值取不大于1的任意实数时,点、间的距离与点、间的距离之和始终是一个定值求此时的值及定值【答案】(1),;(2)或4;,【解析】(1)将点的坐标代入一次函数表达式并解得:,将点的坐标代入反比例函数得:;由图象可以看出时,;(2)当时,点、的坐标分别为、,则,则或或,即:或或,即:或0或2或4,当时,与题意不符,点不能在的下方,即也不存在,故不成立,故或4;点的横坐标为:,当点在点左侧时,的值取不大于1的任意数时,始终是一个定值,当时,此时,从而当点在点右侧时,同理,当,时,(不合题意舍去)故,【点睛】本题为反比例函数综合运用题,涉及到一次函数、函数定值的求法,关键是通过确定点的坐标,求出对应线段的长度,进而求解4(2019深圳市福田区外国语学校初三期中)如图,O为坐标原点,点B在x轴的正半轴上,四边形OACB是平行四边形,sinAOB=,反比例函数y=(k0)在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F,(1)若OA=10,求反比例函数解析式;(2)若点F为BC的中点,且AOF的面积S=12,求OA的长和点C的坐标;(3)在(2)中的条件下,过点F作EFOB,交OA于点E(如图),点P为直线EF上的一个动点,连接PA,PO,是否存在这样的点P,使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1)y=(x0)(2)OA=;C(5,)(3)P1( ,),P2(,),P3(,),P4(,)【解析】(1)过点A作AHOB于H,sinAOB=,OA=10,AH=8,OH=6,A点坐标为(6,8),根据题意得:8=,可得:k=48,反比例函数解析式:y=(x0);(2)设OA=a(a0),过点F作FMx轴于M,sinAOB=,AH=a,OH=a,SAOH=aa=a2,SAOF=12,S平行四边形AOBC=24,F为BC的中点,SOBF=6,BF=a,FBM=AOB,FM=a,BM=a,SBMF=BMFM=aa=a2,SFOM=SOBF+SBMF=6+a2,点A,F都在y=的图象上,SAOH=k,a2=6+a2,a=,OA=,AH=,OH=2,S平行四边形AOBC=OBAH=24,OB=AC=3,C(5,);(3)存在三种情况:当APO=90时,在OA的两侧各有一点P,分别为:P1( ,),P2(,)当PAO=90时, P3(,)当POA=90时,P4(,)5(2019四川中考真题)如图,一次函数的图象与反比例函数(且)的图象在第一象限交于点、,且该一次函数的图象与轴正半轴交于点,过、分别作轴的垂线,垂足分别为、已知,(1)求的值和反比例函数的解析式;(2)若点为一次函数图象上的动点,求长度的最小值【答案】(1)的值为4或-1;(2).【解析】解:(1)将点代入,得,解得,的值为4或-1;反比例函数解析式为:;(2)轴,轴,将,代入,得:,解得,设直线与轴交点为,当时,;当时,则,为等腰直角三角形,则当垂直于时,由垂线段最短可知,有最小值,此时【点睛】本题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短等知识,解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质及相似三角形的性质6(2019山东中考真题)如图1,点、点在直线上,反比例函数()的图象经过点(1)求和的值;(2)将线段向右平移个单位长度(),得到对应线段,连接、如图2,当时,过作轴于点,交反比例函数图象于点,求的值;在线段运动过程中,连接,若是以为腰的等腰三形,求所有满足条件的的值【答案】(1),;(2);是以为腰的等腰三形,满足条件的的值为4或5【解析】(1)点在直线上,直线的解析式为,将点代入直线的解析式中,得,将在反比例函数解析式()中,得;(2)由(1)知,反比例函数解析式为,当时,将线段向右平移3个单位长度,得到对应线段,即:,轴于点,交反比例函数的图象于点,;如图,将线段向右平移个单位长度(),得到对应线段,是以腰的等腰三形,、当时,点在线段的垂直平分线上,、当时,即:是以为腰的等腰三形,满足条件的的值为4或5【点睛】此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,平移的性质,等腰三角形的性质,线段的垂直平分线的性质,用方程的思想解决问题是解本题的关键7(2019广西中考真题)如图,直线与轴交于点,与轴交于点,将线段绕点顺时针旋转90得到线段,反比例函数的图象经过点(1)求直线和反比例函数的解析式;(2)已知点是反比例函数图象上的一个动点,求点到直线距离最短时的坐标【答案】(1);(2)【解析】解:(1)将点,点,代入,;过点作轴,线段绕点顺时针旋转90得到线段,(),;(2)设与平行的直线,联立,当时,此时点到直线距离最短;【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质;熟练掌握反比例函数的图象及性质,当直线与反比例函数有一个交点时,点到直线的距离最短是解题的关键8(2019广西中考真题)在平面直角坐标系中,矩形的顶点坐标为,交于点(1)如图(1),双曲线过点,直接写出点的坐标和双曲线的解析式;(2)如图(2),双曲线与分别交于点,点关于的对称点在轴上求证,并求点的坐标;(3)如图(3),将矩形向右平移个单位长度,使过点的双曲线与交于点当为等腰三角形时,求的值【答案】(1), ;(2)证明见解析,;(3)满足条件的的值为3或12【解析】解:(1)如图1中,四边形是矩形, 双曲线过点,反比例函数的解析式为(2)如图2中,点在反比例函数的图象上,直线的解析式为,关于对称,直线的解析式为,(3)如图3中,当时,在反比例函数图象上,当时,点与点重合,在反比例函数图象上,综上所述,满足条件的的值为3或12【点睛】本题属于反比例函数综合题,考查了中点坐标公式,待定系数法等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题9(2019辽宁中考真题)如图,在平面直角坐标系中,矩形的边交轴于点,轴,反比例函数的图象经过点,点的坐标为,(1)求反比例函数的解析式;(2)点为轴上一动点,当的值最小时,求出点的坐标【答案】(1);(2)【解析】解:(1)是矩形,又轴,即把点 代入的得,反比例函数的解析式为:答:反比例函数的解析式为:(2)过点作垂足为,则点关于轴的对称点,直线与轴的交点就是所求点,此时最小,设直线AB1的关系式为,将 ,,代入得, 解得:,直线的关系式为,当时,点答:点的坐标为【点睛】此题主要考查一次函数的图像,解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式与对称性.10(2019广西中考真题)如图,已如平行四边形中,点为坐标顶点,点,函数的图象经过点(1)求的值及直线的函数表达式:(2)求四边形的周长【答案】(1)k=2,直线OB解析式为;(2)四边形的周长为【解析】 (1)依题意有:点在反比例函数的图象上,又轴,设直线的函数表达式为,直线的函数表达式为;(2)作于点,在平行四边形中,四边形的周长为:,即四边形的周长为【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式,反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答11(2019湖南中考真题)如图所示,在平面直角坐标系中,等腰的边与反比例函数的图象相交于点,其中,点在轴的正半轴上,点的坐标为,过点作轴于点(1)已知一次函数的图象过点,求该一次函数的表达式;(2)若点是线段上的一点,满足,过点作轴于点,连结,记的面积为,设,. 用表示(不需要写出的取值范围);当取最小值时,求的值【答案】(1);(2);【解析】解:(1)将点的坐标代入一次函数表达式:得:,解得:,故一次函数表达式为:,(2)过点作,则,则,则,则点,设:,则,在中,同理,则,则点,有最小值,当时,取得最小值,而点,故:【点睛】本题为反比例函数综合运用题,涉及到等腰三角形性质、解直角三角形、一次函数等知识,其中(2),确定点的坐标,是本题解题的关键12(2019山东中考真题)(1)阅读理解如图,点,在反比例函数的图象上,连接,取线段的中点分别过点,作轴的垂线,垂足为,交反比例函数的图象于点点,的横坐标分别为,小红通过观察反比例函数的图象,并运用几何知识得出结论:AE+BG=2CF,CFDF,由此得出一个关于,之间数量关系的命题:若,则_(2)证明命题小东认为:可以通过“若,则”的思路证明上述命题小晴认为:可以通过“若,且,则”的思路证明上述命题请你选择一种方法证明(1)中的命题【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】(1),. (2),,,.【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征,反比例函数的图象等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题
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