2020年中考数学考点总动员 第12讲 反比例函数（含解析）

第12讲反比例函数反比例函数解析式的确定(1)确定方法：待定系数法；(2)一般步骤：设所求的反比例函数解析式为y(k0)；根据已知条件，得到反比例函数图象上一点P(a，b)；将点P(a，b)代入反比例函数的解析式得到关于系数k的方程；解方程得待定系数k的值；把k的值代入y即可得反比例函数解析式考点1： 反比例函数的图像与性质【例题1】如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)反比例函数y(x0)的图象经过点D，点P是一次函数ykx33k(k0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点(1)求反比例函数的解析式；(2)通过计算，说明一次函数ykx33k(k0)的图象一定经过点C；(3)对于一次函数ykx33k(k0)，当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围(不必写出过程)【解析】：(1)B(3，1)，C(3，3)，四边形ABCD是平行四边形，ADBC2，BCx轴ADx轴又A(1，0)，D(1，2)D在反比例函数y的图象上，m122.反比例函数的解析式为y.(2)当x3时，ykx33k3，一次函数ykx33k(k0)的图象一定过点C.(3)设点P的横坐标为a，则a3.归纳：反比例函数中，y随x的大小变化的情况，应分x0与x0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k0时，y随x的增大而增大”双曲线上的点在每个象限内，y随x的变化是一致的运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求考点2： 反比例函数与一次函数的综合【例题2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y(x0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点(1)若点M是AB边的中点，求反比例函数y的解析式和点N的坐标；(2)若AM2，求直线MN的解析式及OMN的面积【点拨】(1)由已知可知点M的坐标，求出k的值，从而求出点N的坐标；(2)确定点M ，点N的坐标，三角形面积就可求出【解答】解：(1)点M是AB边的中点，M(6，3)反比例函数y经过点M，3.k18.反比例函数的解析式为y.当y6时，x3，N(3，6)(2)由题意，知M(6，2)，N(2，6)设直线MN的解析式为yaxb，则解得直线MN的解析式为yx8.SOMNS正方形OABCSOAMSOCNSBMN3666816.【变式】在例2中，若OMN的面积为10，求点M，N的坐标解：OAOC6，设M(6，y)，则N(y，6)BMBN6y.SOMN10，366y2(6y)210，即y216.又y0，y4，M(6，4)N(4，6)归纳：1确定反比例函数解析式只要一个合适的条件(如图象上一个点的坐标)即可另外将已知点的坐标或部分坐标代入解析式中，从而确定字母的值是我们经常用的方法2双曲线y中，根据k的几何意义求图形面积常用图形有：S阴影|k|S阴影S阴影|k|3.第一象限内的双曲线本身是轴对称图形，正方形也是轴对称图形，所以在本题中，图形是关于直线yx的轴对称图形，对解答第(2)问提供解题思路考点3：反比例函数的实际应用【例题3】(2018乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y()与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y与时间x(0x24)的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10 时，蔬菜会受到伤害问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【点拨】(1)用待定系数法分段求函数解析式；(2)观察图象可得；(3)代入临界值y10即可【解答】解：(1)设线段AB解析式为yk1xb(k0)，线段AB过点(0，10)，(2，14)，代入，得解得AB解析式为y2x10(0x5)B在线段AB上，当x5时，y20.B坐标为(5，20)线段BC的解析式为y20(5x10)设双曲线CD的解析式为y(k20)C(10，20)，k2200.双曲线CD解析式为y(10x24)y关于x的函数解析式为y(2)由(1)可知，恒温系统设定恒定温度为20 .(3)把y10代入y中，解得x20.201010.答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害归纳：反比例函数实际应用题是近年中考常见的题型，解题时首先要仔细审读题目(或图象)中给予的信息，挖掘题目(或图象)中隐含的条件，提取有用信息，综合运用所学知识解决问题一、选择题：1. （2018柳州）已知反比例函数的解析式为y=，则a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca2Da=2【答案】C解析：可得：|a|20，解得：a2，故选：C2. (2019安徽)（4分）已知点A（1，3）关于x轴的对称点A在反比例函数y的图象上，则实数k的值为（）A3BC3D【答案】A【解答】解：点A（1，3）关于x轴的对称点A的坐标为（1，3），把A（1，3）代入y得k133故选：A3. （2018德州）给出下列函数：y=3x+2；y=；y=2x2；y=3x，上述函数中符合条作“当x1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）ABCD【答案】B【解析】：y=3x+2，当x1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；y=，当x1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；y=2x2，当x1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；y=3x，当x1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；故选：B4. （2018聊城）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示下面四个选项中错误的是（）A经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3B室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11minC当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒此次消毒完全有效D当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内【答案】C【解答】解：A、正确不符合题意B、由题意x=4时，y=8，室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，正确，不符合题意；C、y=5时，x=2.5或24，242.5=21.535，故本选项错误，符合题意；D、正确不符合题意，故选：C5. （2018遵义）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，OAB=30，若点A在反比例函数y=（x0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）Ay=By=Cy=Dy=【答案】C解析：点B作BCx轴于点C，过点A作ADx轴于点D，BOA=90，BOC+AOD=90，AOD+OAD=90，BOC=OAD，又BCO=ADO=90，BCOODA，=tan30=，=，ADDO=xy=3，SBCO=BCCO=SAOD=1，SAOD=2，经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=故选：C二、填空题：6. （2018四川宜宾3分）已知：点P（m，n）在直线y=x+2上，也在双曲线y=上，则m2+n2的值为6【答案】6【解答】解：点P（m，n）在直线y=x+2上，n+m=2，点P（m，n）在双曲线y=上，mn=1，m2+n2=（n+m）22mn=4+2=6故答案为：67. （2019浙江绍兴5分）如图，矩形ABCD的顶点A，C都在曲线y（常数是0，x0）上，若顶点D的坐标为（5，3），则直线BD的函数表达式是yx【答案】yx【解答】解：D（5，3），A（，3），C（5，），B（，），设直线BD的解析式为ymx+n，把D（5，3），B（，）代入得，解得，直线BD的解析式为yx故答案为yx8. （2018安顺）如图，已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y=的图象相交于A（2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB，给出下列结论：k1k20；m+n=0；SAOP=SBOQ；不等式k1x+b的解集是x2或0x1，其中正确的结论的序号是 【答案】【解答】解：由图象知，k10，k20，k1k20，故错误；把A（2，m）、B（1，n）代入y=中得2m=n，m+n=0，故正确；把A（2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得，2m=n，y=mxm，已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，P（1，0），Q（0，m），OP=1，OQ=m，SAOP=m，SBOQ=m，SAOP=SBOQ；故正确；由图象知不等式k1x+b的解集是x2或0x1，故正确；故答案为：9. （2019贵州毕节5分）如图，在平面直角坐标中，一次函数y4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A.B两点正方形ABCD的顶点C.D在第一象限，顶点D在反比例函数y（k0）的图象上若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是【答案】3【解答】解：过点D作DEx轴，过点C作CFy轴，ABAD，BAODAE，ABAD，BOADEA，ABODAE（AAS），AEBO，DEOA，易求A（1，0），B（0，4），D（5，1），顶点D在反比例函数y上，k5，y，易证CBFBAO（AAS），CF4，BF1，C（4，5），C向左移动n个单位后为（4n，5），5（4n）5，n3，故答案为3；三、解答题：10. 甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400x600)元，优惠后得到商家的优惠率为p(p)，写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是x(200x400)元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由【解析】：(1)510200310(元)(2)p(400x600)；p随x的增大而减小(3)购x元(200x400)在甲商场的优惠额是100元，乙商场的优惠额是x0.6x0.4x.当0.4x100，即200x250时，选甲商场优惠；当0.4x100，即x250时，选甲、乙商场一样优惠；当0.4x100，即250x400时，选乙商场优惠11. （2018菏泽）如图，已知点D在反比例函数y=的图象上，过点D作DBy轴，垂足为B（0，3），直线y=kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD=OC，OC：OA=2：5（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式；（2）直接写出关于x的不等式kx+b的解集【分析】（1）由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标可得出点C、D的坐标，由点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a值，进而可得出反比例函数的表达式，再由点A、C的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的表达式；（2）将一次函数表达式代入反比例函数表达式中，利用根的判别式0可得出两函数图象无交点，再观察图形，利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式kx+b的解集解：（1）BD=OC，OC：OA=2：5，点A（5，0），点B（0，3），OA=5，OC=BD=2，OB=3，又点C在y轴负半轴，点D在第二象限，点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（2，3）点D（2，3）在反比例函数y=的图象上，a=23=6，反比例函数的表达式为y=将A（5，0）、B（0，2）代入y=kx+b，解得：，一次函数的表达式为y=x2（2）将y=x2代入y=，整理得： x22x+6=0，=（2）246=0，一次函数图象与反比例函数图象无交点观察图形，可知：当x0时，反比例函数图象在一次函数图象上方，不等式kx+b的解集为x012. (2018泰安)如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数y的图象经过点E，与AB交于点F.(1)若点B坐标为(6，0)，求m的值及图象经过A，E两点的一次函数的解析式；(2)若AFAE2，求反比例函数的解析式【解析】：(1)点B坐标为(6，0)，AD3，AB8，E为CD的中点，点A(6，8)，E(3，4)函数图象经过点E，m3412.设AE的解析式为ykxb，将点A，E坐标代入，得解得一次函数的解析式为yx.(2)AD3，DE4，AE5.AFAE2，AF7，BF1.设点E坐标为(a，4)，则点F坐标为(a3，1)，E，F两点在函数y图象上，4aa3，解得a1.E(1，4)m144.反比例函数的解析式为y.13. （2018山东青岛8分）已知反比例函数的图象经过三个点A（4，3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m0（1）当y1y2=4时，求m的值；（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）【分析】（1）先根据反比例函数的图象经过点A（4，3），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y=，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1=，y2=，然后根据y1y2=4列出方程=4，解方程即可求出m的值；（2）设BD与x轴交于点E根据三角形PBD的面积是8列出方程PE=8，求出PE=4m，再由E（2m，0），点P在x轴上，即可求出点P的坐标【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=，反比例函数的图象经过点A（4，3），k=4（3）=12，反比例函数的解析式为y=，反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（6m，y2），y1=，y2= ，y1y2=4，=4，m=1；（2）设BD与x轴交于点E点B（2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，D（2m，），BD=三角形PBD的面积是8，BDPE=8，PE=8，PE=4m，E（2m，0），点P在x轴上，点P坐标为（2m，0）或（6m，0）14.( 2018保定二模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y(x0)的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB4，AD3.(1)求反比例函数y的解析式；(2)求cosOAB的值；(3)求经过C，D两点的一次函数解析式【解析】：(1)设点D的坐标为(4，m)(m0)，则点A的坐标为(4，3m)点C为线段AO的中点，点C的坐标为(2，)点C，D均在反比例函数y的图象上，解得反比例函数的解析式为y.(2)m1，点A的坐标为(4，4)，OB4，AB4.RtAOB是等腰直角三角形cosOABcos45.(3)m1，点C的坐标为(2，2)，点D的坐标为(4，1)设经过点C，D的一次函数的解析式为yaxb，则有解得经过C，D两点的一次函数解析式为yx3.16