2020年中考数学基础题型提分讲练 专题23 以圆为背景的证明与计算（含解析）

专题23 以圆为背景的证明与计算考点分析【例1】（2019广东中考模拟）已知四边形ABCD是O的内接四边形，AC是O的直径，DEAB，垂足为E（1）延长DE交O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1求证：PC=PB；（2）过点B作BGAD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2若AB= ，DH=1，OHD=80，求BDE的大小【答案】（1）详见解析；（2）BDE=20【解析】（1）如图1，AC是O的直径，ABC=90，DEAB，DEA=90，DEA=ABC，BCDF，F=PBC，四边形BCDF是圆内接四边形，F+DCB=180，PCB+DCB=180，F=PCB，PBC=PCB，PC=PB；（2）如图2，连接OD，AC是O的直径，ADC=90，BGAD，AGB=90，ADC=AGB，BGDC，BCDE，四边形DHBC是平行四边形，BC=DH=1，在RtABC中，AB=，tanACB=，ACB=60，BC=AC=OD，DH=OD，在等腰DOH中，DOH=OHD=80，ODH=20，设DE交AC于N，BCDE，ONH=ACB=60，NOH=180（ONH+OHD）=40，DOC=DOHNOH=40，OA=OD，OAD=DOC=20，CBD=OAD=20，BCDE，BDE=CBD=20【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，解决第（2）问，作出辅助线，求得ODH=20是解决本题的关键.【例2】 （2019湖南中考真题）如图，点在半径为8的上，过点作，交延长线于点连接，且（1）求证：是的切线；（2）求图中阴影部分的面积【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）证明：连接，交于，即，是的切线；（2）解：，【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中考点集训1（2019辽宁中考真题）如图，在中，点在的内部，经过，两点，交于点，连接并延长交于点，以，为邻边作（1）判断与的位置关系，并说明理由（2）若点是的中点，的半径为2，求的长【答案】（1）是的切线；理由见解析；（2）的长【解析】（1）是的切线；理由：连接，四边形是平行四边形，是的切线；（2）连接，点是的中点，的长【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键2（2019云南初三）如图，在RtABC中，C=90，BE平分ABC交AC于点E，作EDEB交AB于点D，O是BED的外接圆（1）求证：AC是O的切线；（2）已知O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长【答案】（1）证明见解析；（2）BC=，AD=【解析】（1）如图，连接OE，OB=OE，OBE=OEB，BE平分ABC，OBE=CBE，OEB=CBE，OEBC，又C=90，AEO=90，即OEAC，AC为O的切线；（2）EDBE，BED=C=90，又DBE=EBC，BDEBEC，即，BC=；AEO=C=90，A=A，AOEABC，即，解得：AD=点睛：本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质3（2019连云港市新海实验中学初三月考）如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC为O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF（1）求CDE的度数；（2）求证：DF是O的切线；（3）若AC=DE，求tanABD的值【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3）2【解析】解：（1）解：对角线AC为O的直径，ADC=90，EDC=90；（2）证明：连接DO，EDC=90，F是EC的中点，DF=FC，FDC=FCD，OD=OC，OCD=ODC，OCF=90，ODF=ODC+FDC=OCD+DCF=90，DF是O的切线；（3）解：如图所示：可得ABD=ACD，E+DCE=90，DCA+DCE=90，DCA=E，又ADC=CDE=90，CDEADC，DC2=ADDEAC=2DE，设DE=x，则AC=2x，则AC2AD2=ADDE，期（2x）2AD2=ADx，整理得：AD2+ADx20x2=0，解得：AD=4x或4.5x（负数舍去），则DC=，故tanABD=tanACD=4（2019江苏初三月考）如图，已知AB是O的直径，点C、D在O上，点E在O外，EAC=D=60（1）求ABC的度数；（2）求证：AE是O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长【答案】（1）60;(2)证明略;(3)【解析】（1）ABC与D都是弧AC所对的圆周角，ABC=D=60； （2）AB是O的直径，ACB=90BAC=30，BAE=BAC+EAC=30+60=90，即BAAE，AE是O的切线；（3）如图，连接OC，OB=OC，ABC=60，OBC是等边三角形，OB=BC=4，BOC=60，AOC=120，劣弧AC的长为=【点睛】本题考查了切线长定理及弧长公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键.5（2019江苏中考真题）如图，为的直径，为上一点，为的中点过点作直线的垂线，垂足为，连接（1）求证：；（2）与有怎样的位置关系？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）与相切，理由见解析.【解析】 (1)连接，为的中点，；(2)与相切，理由如下： ，ODE+E=180，E=90，ODE=90，又OD是半径，与相切【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键6（2019湖北初三）如图，AB为O的直径，PD切O于点C，与BA的延长线交于点D，DEPO交PO延长线于点E，连接PB，EDB=EPB，（1）求证：PB是的切线（2）若PB=6，DB=8，求O的半径【答案】(1)证明见解析；（2）3【解析】（1）证明：在DEO和PBO中，EDB=EPB，DOE=POB，OBP=E=90，OB为圆的半径，PB为圆O的切线；（2）解：在RtPBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得：PD=，PD与PB都为圆的切线，PC=PB=6，DC=PD-PC=10-6=4，在RtCDO中，设OC=r，则有DO=8-r，根据勾股定理得：（8-r）2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3考点：切线的判定与性质7（2019广西中考模拟）如图，以AB边为直径的O经过点P，C是O上一点，连结PC交AB于点E，且ACP=60，PA=PD（1）试判断PD与O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CECP的值【答案】（1）PD是O的切线证明见解析.（2）8.【解析】连结OP，ACP=60，AOP=120，OA=OP，OAP=OPA=30，PA=PD，PAO=D=30，OPD=90，PD是O的切线（2）连结BC，AB是O的直径，ACB=90，又C为弧AB的中点，CAB=ABC=APC=45，AB=4，AC=Absin45=C=C，CAB=APC，CAECPA，CPCE=CA2=（）2=8考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型8（2019湖南中考真题）如图，点D在以AB为直径的O上，AD平分，过点B作O的切线交AD的延长线于点E(1)求证：直线CD是O的切线(2)求证：【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】解：证明：(1)连接OD，AD平分，直线CD是O的切线；(2)连接BD，BE是O的切线，AB为O的直径，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键9（2019山东中考真题）如图，在中，以为直径的分别与交于点，过点作，垂足为点（1）求证：直线是的切线；（2）求证：；（3）若的半径为4，求阴影部分的面积【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）解：（1）如图所示，连接，而，直线是的切线；（2）连接，则，则，则，而，即；（3）连接，【点睛】本题主要考查圆的综合性知识，难度系数不大，应该熟练掌握，关键在于做辅助线，这是这类题的难点.10（2019江苏中考真题）如图，AB是O的直径，AC与O交于点F，弦AD平分，垂足为E（1）试判断直线DE与O的位置关系，并说明理由；（2）若O的半径为2，求线段EF的长【答案】（1）直线DE与O相切；（2）.【解析】（1）直线DE与O相切，连结ODAD平分，即，即，DE是O的切线；（2）过O作于G，四边形AODF是菱形，【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型11（2019天津中考真题）已知，分别与相切于点，为上一点（）如图，求的大小；（）如图，为的直径，与相交于点，若，求的大小【答案】（）；（）.【解析】解：（）如图，连接是的切线，即，在四边形中，在中， （）如图，连接为的直径，由（）知，在中，又是的一个外角，有，【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键12（2019甘肃中考真题）如图，在中，点在边上，经过点和点且与边相交于点(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径【答案】(1)见解析；(2) 【解析】 (1)证明：连接，是的切线；(2)解：连接，是等边三角形，的半径【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键13（2019湖北中考真题）如图，在中，为的中点，以为直径的分别交于点两点，过点作于点.试判断与的位置关系，并说明理由若求的长【答案】（1）切，理由见解析；（2）【解析】（1）相切，理由：如图，连接，为的中点，与相切；连接，为的直径，即，【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键14（2019山西初三期末）如图，点O在APB的平分线上，O与PA相切于点C（1）求证：直线PB与O相切；（2）PO的延长线与O交于点E若O的半径为3，PC=4求弦CE的长【答案】(1)证明见解析；（2）【解析】（1）证明：连接OC，作ODPB于D点O与PA相切于点C， OCPA（2）解：设PO交O于F，连接CFOC=3，PC=4，PO=5，PE=8O与PA相切于点C， PCF=E又CPF=EPC， PCFPEC， CF：CE=PC：PE=4：8=1：2EF是直径， ECF=90设CF=x，则EC=2x则x2+（2x）2=62， 解得x= 则EC=2x=