2020年中考数学考点总动员 第28讲 图形的相似与位似（含解析）

第28讲图形的相似与位似1比例线段(1)比例线段：已知四条线段a，b，c，d，若或abcd，那么a，b，c，d叫做成比例线段，a，d叫做比例外，b，c叫做比例内项；若有，则b叫做a，c的比例中项(2)比例的基本性质及定理adbc；(bdn0).4相似三角形的性质及判定 (1)相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 (2)相似三角形的判定 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似； 两角对应相等，两三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 三边对应成比例，两三角形相似； 两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； 直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似5射影定理 如图，ABC中，ACB90，CD是斜边AB上的高，则有下列结论 (1)AC2ADAB； (2)BC2BDAB； (3)CD2ADBD； (4)AC2BC2ADBD； (5)ABCDACBC. 6相似三角形的实际应用(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤：将实际问题所求线段长放在三角形中；根据已知条件找出一对可能相似的三角形；证明所找两三角形相似；根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解(2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度同一时刻，物高与影长成正比，即.7相似多边形的性质 (1)相似多边形对应角相等，对应边成比例 (2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方 8图形的位似 (1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形这个点叫做位似中心 (2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 (3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或k. (4)利用位似变换将一个图形放大或缩小，其步骤为：确定位似中心；确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；依次连接各对应点描出新图形 考点1： 相似三角形的性质 【例题1】（2019湖南常德3分）如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A20B22C24D26【答案】D利用AFHADE得到，所以SAFH9x，SADE16x，则16x9x7，解得x1，从而得到SADE16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积【解答】解：如图，根据题意得AFHADE，设SAFH9x，则SADE16x，16x9x7，解得x1，SADE16，四边形DBCE的面积421626故选：D归纳：1.在三角形问题中计算线段的长度时，若题中已知两角对应相等或给出的边之间存在比例关系，则考虑证明三角形相似，通过相似三角形对应边成比例列关于所求边的比例式求解.2判定三角形相似的五种基本思路：(1)若已知平行线，可采用相似三角形的基本定理； (2)若已知一对等角，可再找一对等角或再找该角的两边对应成比例； (3)若已知两边对应成比例，可找夹角相等； (4)若已知一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5)若已知等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例考点2： 相似三角形的判定【例题2】在正方形ABCD中，AB4，点P，Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C，点B重合)，且保持APQ90，CQ1，求线段BP的长解：分三种情况：设BPx.当P在线段BC上时，如图1，四边形ABCD是正方形，BC90.BAPAPB90.APQ90，APBCPQ90.BAPCPQ，ABPPCQ.，x1x22.BP2；当P在CB的延长线上时，如图2，同理，得BP22；当P在BC的延长线上时，如图3，同理，得BP22.归纳：基本图形(1)斜边高图形有以下基本结论：BADC，BDAC；ADBCDACAB.(2)一线三等角有以下基本结论：BC，BDEDFC；BDECFD.特殊地：若点D为BC中点，则有BDECFDDFE.考点3：相似三角形的综合应用 【例题3】(2017河北模拟)修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从E，D两点开挖一个涵洞工程师从地面选取三个点A，B，C，且A，B，D三点在一条直线上，A，C，E也在同一条直线上，若已知AB27米，AD500米，AC15米，AE900米，且测得BC22.5米(1)求DE的长；(2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况，获得如下信息：信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用25天；信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的1.5倍；信息三：甲工程队每天需要收费3 500元，乙工程队每天需要收费4 000元若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算【解析】：(1)连接DE.AB27米，AD500米，AC15米，AE900米，.又AA，ABCAED.，即DE750米(2)设甲工程队每天开挖涵洞x米，则乙工程队每天开挖涵洞1.5x米，依据题意，得25，解得x10.经检验，x10是原方程的解则1.5x15.甲工程队打通这个涵洞的时间为75(天)，甲工程队打通这个涵洞所需的费用为753 500262 500(元)；乙工程队打通这个涵洞的时间为50(天)，乙工程队打通这个涵洞所需的费用为504 000200 000.200 000262 500，选用乙工程队较合算一、选择题：1. （2018玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A：B2：3C4：9D8：27【答案】C【解答】解：两三角形的相似比是2：3，其面积之比是4：9，故选：C2. （2018临沂）如图利用标杆BE测量建筑物的高度已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6mBC=12.4m则建筑物CD的高是（）A9.3m B10.5m C12.4m D14m【答案】B【解答】解：EBCD，ABEACD，=，即=，CD=10.5（米）故选：B3. （2019，四川巴中，4分）如图ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD1：3，连结EF交DC于点G，则SDEG：SCFG（）A2：3B3：2C9：4D4：9【答案】D【解答】解：设DEx，DE：AD1：3，AD3x，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，BCAD3x，点F是BC的中点，CFBCx，ADBC，DEGCFG，（）2（）2，故选：D4. （2019贵州毕节3分）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（RtACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A100cm2B150cm2C170cm2D200cm2【答案】A【解答】解：设AFx，则AC3x，四边形CDEF为正方形，EFCF2x，EFBC，AEFABC，BC6x，在RtABC中，AB2AC2+BC2，即302（3x）2+（6x）2，解得，x2，AC6，BC12，剩余部分的面积12644100（cm2），故选：A5. （2018泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A B C D【答案】C【解答】解：如图作，FNAD，交AB于N，交BE于M四边形ABCD是正方形，ABCD，FNAD，四边形ANFD是平行四边形，D=90，四边形ANFD是解析式，AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，AN=BN，MNAE，BM=ME，MN=a，FM=a，AEFM，=，故选：C二、填空题：6. 如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，OCD=90，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为 【答案】（1，-1）【解答】：连接BC，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，且B（1，0），即OB=1，OD=2，即B为OD中点，OC=DC，CBOD，在RtOCD中，CB为斜边上的中线，CB=OB=BD=1，则C坐标为（1，-1），故答案为：（1，-1）7. （2019山东省滨州市 5分）在平面直角坐标系中，ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（4，0），O（0，0）以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到CDO，则点A的对应点C的坐标是（1，2）或（1，2）【答案】（1，2）或（1，2）【解答】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点A的坐标为（2，4），点C的坐标为（2，4）或（2，4），即（1，2）或（1，2），故答案为：（1，2）或（1，2）8. （2018江西）如图，在ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CDAB，BD是ABC的平分线，BD交AC于点E，则AE的长为 【答案】4【解答】解：BD为ABC的平分线，ABD=CBD，ABCD，D=ABD，D=CBD，BC=CD，BC=4，CD=4，ABCD，ABECDE，=，=，AE=2CE，AC=6=AE+CE，AE=49. （2018遵义）如图，四边形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E若DE=3，则AD的长为 .【答案】2，【解答】解：如图，在RtABC中，AB=5，BC=10，AC=5过点D作DFAC于F，AFD=CBA，ADBC，DAF=ACB，ADFCAB，设DF=x，则AD=x，在RtABD中，BD=，DEF=DBA，DFE=DAB=90，DEFDBA，x=2，AD=x=2，三、解答题：10. (2018江西)如图，在ABC中，AB8，BC4，CA6，CDAB，BD是ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长【解析】：BD为ABC的平分线，ABDCBD.ABCD，DABD.DCBD.BCCD.BC4，CD4.ABCD，ABECDE.AE2CE.ACAECE6，AE4.11. (2019湖北荆门)（10分）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC2m，BD2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE【分析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，根据GFAC得到MACMFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可【解答】解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，GFAC，MACMFG，即：，OE32，答：楼的高度OE为32米12. (2018福建)如图，在RtABC中，C90，AB10，AC8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90得到，EFG由ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D.(1)求BDF的大小；(2)求CG的长【解析】：(1)线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90得到，DAB90，ADAB10.ABD45.EFG是ABC沿CB方向平移得到，ABEF.BDFABD45.(2)由平移的性质，得AECG，ABEF，DEADFCABC，ADEDAB180.DAB90，ADE90.ACB90，ADEACB.ADEACB.AC8，ABAD10，AE12.5，由平移的性质，得CGAE12.5.13.ABC中，ABAC，D为BC的中点，以D为顶点作MDNB.(1)如图1，当射线DN经过点A时，DM交边AC于点E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE相似的三角形；(2)如图2，将MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于点E，F(点E与点A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；(3)在图2中，若ABAC10，BC12，当SDEFSABC时，求线段EF的长【点拨】(1)由题意得ADBD，DEAC，可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；(2)依据三角形内角和定理及平角定义，结合等式的性质，得BFDCDE，又由BC，可得BDFCED；由相似三角形的性质得，进而有，从而CEDDEF；(3)首先利用DEF的面积等于ABC的面积的，求出点D到AB的距离，进而利用SDEF的值求出EF即可【解答】解：(1)图1中与ADE相似的有ABD，ACD，DCE.(2)BDFCEDDEF.证明：BBDFBFD180，EDFBDFCDE180，又EDFB，BFDCDE.由ABAC，得BC，BDFCED.BDCD，.又CEDF，BDFCEDDEF.(3)连接AD，过点D作DGEF，DHBF，垂足分别为G，H.ABAC，D是BC的中点，ADBC，BDBC6.在RtABD中，AD2AB2BD2，AD8.SABCBCAD48.SDEFSABC12.又ADBDABDH，DH4.8.BDFDEF，DFBEFD.DGEF，DHBF，DHDG4.8.SDEFEFDG12，EF5.14. (2019湖南常德10分)在等腰三角形ABC中，ABAC，作CMAB交AB于点M，BNAC交AC于点N(1)在图1中，求证：BMCCNB；(2)在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PEAB交CM于点E，作PFAC交BN于点F，求证：PE+PFBM；(3)在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似(2)过P作PEAB交CM的延长线于点E，作PFAC交NB的延长线于点F，求证：AMPF+OMBNAMPE【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到ABCACB，利用AAS定理证明；(2)根据全等三角形的性质得到BMNC，证明CEPCMB、BFPBNC，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；(3)根据BMCCNB，得到MCBN，证明AMCOMB，得到，根据比例的性质证明即可【解答】证明：(1)ABAC，ABCACB，CMAB，BNAC，BMCCNB90，在BMC和CNB中，BMCCNB(AAS)；(2)BMCCNB，BMNC，PEAB，CEPCMB，PFAC，BFPBNC，PE+PFBM；(3)同(2)的方法得到，PEPFBM，BMCCNB，MCBN，ANB90，MAC+ABN90，OMB90，MOB+ABN90，MACMOB，又AMCOMB90，AMCOMB，AMMBOMMC，AM(PEPF)OMBN，AMPF+OMBNAMPE17