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专题22 以特殊的平行四边形为背景的证明与计算考点分析【例1】（2020安徽初三）（已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（ADAB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面积为24cm2，求ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=ACAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析；（2）24cm；（3）存在，过E作EPAD交AC于P，则P就是所求的点，证明见解析.【解析】解：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，EAO=FCO，由折叠的性质可得：OA=OC，ACEF，在AOE和COF中，AOECOF（ASA），AE=CF，四边形AFCE是平行四边形，ACEF，四边形AFCE是菱形；（2）四边形AFCE是菱形，AF=AE=10cm，四边形ABCD是矩形，B=90，SABF=ABBF=24cm2，ABBF=48（cm2），AB2+BF2=（AB+BF）2-2ABBF=（AB+BF）2-248=AF2=100（cm2），AB+BF=14（cm）ABF的周长为：AB+BF+AF=14+10=24（cm）（3）证明：过E作EPAD交AC于P，则P就是所求的点当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，OA=OC，AOE=COF=90，在平行四边形ABCD中，ADBC，EAO=FCO，AOECOF，OE=OF四边形AFCE是菱形AOE=90，又EAO=EAP，由作法得AEP=90，AOEAEP，则AE2=AOAP，四边形AFCE是菱形，AOAC，AE2=ACAP，2AE2=ACAP【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）；菱形的判定；矩形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理，正确推理论证是解题关键【例2】（2019江苏泰州中学附属初中初三月考）如图，正方形ABCD的边长为6，把一个含30的直角三角形BEF放在正方形上，其中FBE30，BEF90，BEBC，绕B点转动FBE，在旋转过程中，（1）如图1，当F点落在边AD上时，求EDC的度数；（2）如图2，设EF与边AD交于点M，FE的延长线交DC于G，当AM2时，求EG的长；（3）如图3，设EF与边AD交于点N，当tanECD时，求NED的面积【答案】（1）15；（2）3；（3）【解析】解：（1）如图1中，作EHBC于H，EMCD于M则四边形EMCH是矩形四边形ABCD是正方形，BABCCD，ABCBCD90，BCBE，ABBECD，在RtBFA和RtBFE中，RtBFARtBFE（HL），ABFEBF30，ABC90，EBC30，EHMCBECD，DMCM，EMCD，EDEC，BCE（18030）75，EDCECD15（2）如图2中，连接BM、BGAM2，DMADAM4，由（1）可知BMABME，BGEBGC，AMEM2，EGCG，设EGCGx，则DG6x在RtDMG中，MG2DG2+DM2，（2+x）2（6x）2+42，x3，EG3（3）如图3中，连接BN，延长FE交CD于G，连接BGANNE，EGCG，BEBC，BG垂直平分CE，ECG+BCG90，GBC+ECB90，ECDGCB，tanGBCtanECD，CGBC2，CD6，DGCDCG4，设ANENy，则DN6y，在RtDNG中，（6y）2+42（2+y）2，解得：y3，ANNE3，DN3，NG5，SNEDSDNG34【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题考点集训1（2020陕西初三期中）问题：如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA2，PB=，PC1，求BPC的度数和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B逆时针旋转60，画出旋转后的图形(如图)，连接PP，可得PPB是等边三角形，而PPA又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，可得APB ，所以BPCAPB ，还可证得ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为 ，问题得到解决（1）根据李明同学的思路填空：APB ，BPCAPB ，等边三角形ABC的边长为 （2）探究并解决下列问题：如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA，PB，PC1.求BPC的度数和正方形ABCD的边长【答案】（1）APB150，BPCAPB150，等边三角形ABC的边长为；（2）BPC135，正方形ABCD的边长为.【解析】（1）等边ABC，ABC=60，将BPC绕点B逆时针旋转60得出ABP，AP=CP=1，BP=BP=，PBC=PBA，APB=BPC，PBC+ABP=ABC=60，ABP+ABP=ABC=60，BPP是等边三角形，PP=，BPP=60，AP=1，AP=2，AP2+PP2=AP2，APP=90，BPC=APB=90+60=150，过点B作BMAP，交AP的延长线于点M，MPB=30，BM=，由勾股定理得：PM=，AM=1+=，由勾股定理得：AB=，故答案为：150，（2）将BPC绕点B逆时针旋转90得到AEB，与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，BPC=AEB，ABE=PBC，EBP=EBA+ABP=ABC=90，BEP=（180-90）=45，由勾股定理得：EP=2，AE=1，AP=，EP=2，AE2+PE2=AP2，AEP=90，BPC=AEB=90+45=135，过点B作BFAE，交AE的延长线于点F；FEB=45，FE=BF=1，AF=2；在RtABF中，由勾股定理，得AB=；BPC=135，正方形边长为答：BPC的度数是135，正方形ABCD的边长是【点睛】本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的 直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键2（2019云南初三月考）如图，矩形ABCD中，AB4，AD3，E是边AB上一点，将CBE沿直线CE对折，得到CFE，连接DF（1）当D、E、F三点共线时，证明：DECD；（2）当BE1时，求CDF的面积；（3）若射线DF交线段AB于点P，求BP的最大值【答案】（1）见解析；（2）；（3）4【解析】证明：（1）四边形ABCD是矩形ABCD4，ADBC3，ABCD，DCECEBCBE翻折得到CFEFECCEBDCEFECDECD（2）如图1，延长EF交CD的延长线于点G，四边形ABCD是矩形ABCD4，ADBC3，ABCD，DCECEBCBE翻折得到CFEFECCEB，CFBC3，EFBE1，CFE90DCEFEC，CFG90CGEG，GFGEEFCG1在RtCGF中，CG2CF2+GF2，CG29+（CG1）2，解得：CG5CDF与CGF分别以CD、CG为底时，高相等SCDFSCGF（3）如图2，过点C作CHDP于点H，连接CP，CDABCDPAPD，且ACHD90ADPHCD，CHCF，CFBCAD3CH3当点H与点F重合时，CH最大，DH最小，AP最小，BP最大，此时，在ADP与HCDADPHCD（AAS）CDDP4，APDFAPBP的最大值为4【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质3（2019江苏初二期末）如图1，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点M（1）直接写出AM=；（2）P是射线AM上的一点，Q是AP的中点，设PQ=xAP= ，AQ= ；以PQ为对角线作正方形，设所作正方形与ABD公共部分的面积为S，用含x的代数式表示S，并写出相应的x的取值范围(直接写出，不需要写过程)【答案】（1）；（2）2x，x；S(0x)【解析】解：（1）正方形ABCD的边长为4，对角线AC4，又AM2故答案为：2（2）Q是AP的中点，设PQ=x，AP=2PQ=2x，AQ=x故答案为：2x；x如图：以PQ为对角线作正方形，GQM=FQM=45正方形ABCD对角线AC、BD交于点M，FMQ=GMQ=90，FMQ和GMQ均为等腰直角三角形，FM=QM=MGQM=AMAQ=2x，SFGQM，S，依题意得：，0x2，综上所述：S(0x2)，【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角解答本题要充分利用等腰直角三角形性质解答4（2019江苏初二期末）（1）如图1，已知正方形ABCD，点M和N分别是边BC，CD上的点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，将图（1）中的APB绕着点B逆时针旋转90，得到APB，延长AP交AP于点E，试判断四边形BPEP的形状，并说明理由【答案】（1）AMBN，证明见解析；（2）四边形BPEP是正方形，理由见解析.【解析】（1）AMBN 证明：四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABM=BCN=90BM=CN，ABMBCN BAM=CBNCBN+ABN=90，ABN+BAM=90，APB=90AMBN （2）四边形BPEP是正方形. APB是APB绕着点B逆时针旋转90所得，BP= BP,PBP=90.又由（1）结论可知APB=APB=90，BPE=90.所以四边形BPEP是矩形.又因为BP= BP,所以四边形BPEP是正方形.【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知正方形的性质与判定.5（2020山东初三期末）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AHDG，交BG于点H连接HF，AF，其中AF交EC于点M（1）求证：AHF为等腰直角三角形（2）若AB3，EC5，求EM的长【答案】（1）见解析；（2）EM【解析】证明：（1）四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形DABC，ADCD，FGCG，BCGF90ADBC，AHDG，四边形AHGD是平行四边形AHDG，ADHGCD，CDHG，ECGCGF90，FGCG，DCGHGF（SAS），DGHF，HFGHGDAHHF，HGD+DGF90，HFG+DGF90DGHF，且AHDG，AHHF，且AHHFAHF为等腰直角三角形（2）AB3，EC5，ADCD3，DE2，EF5ADEF，且DE2EM【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识点，综合性较强难度大灵活运用这些知识进行推理是本题的关键6（2020深圳市龙岗区石芽岭学校初三月考）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N（1）求证：CM=CN；（2）若CMN的面积与CDN的面积比为3：1，求的值【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】解：（1）证明：由折叠的性质可得：ANM=CNM，四边形ABCD是矩形，ADBCANM=CMNCMN=CNMCM=CN（2）过点N作NHBC于点H，则四边形NHCD是矩形HC=DN，NH=DCCMN的面积与CDN的面积比为3：1，MC=3ND=3HCMH=2HC设DN=x，则HC=x，MH=2x，CM=3x=CN在RtCDN中，HN=在RtMNH中，7（2020河南初三）如下图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点另一边交的延长线于点（1）观察猜想：线段与线段的数量关系是 ；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若、，求的值【答案】（1）；（2）成立，证明过程见解析；（3）.【解析】（1），理由如下：由直角三角板和正方形的性质得在和中，；（2）成立，证明如下：如图，过点分别作，垂足分别为，则四边形是矩形由正方形对角线的性质得，为的角平分线则在和中，；（3）如图，过点分别作，垂足分别为同（2）可知，由长方形性质得：，即在和中，.【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质，较难的是题（3），通过作辅助线，构造两个相似三角形是解题关键.8（2020江苏初二期中）如图，长方形纸片ABCD中，AB8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE4时，求AF的长；（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG10时，求证：EFG是等腰三角形；求AF的长；（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E到AD的距离是4，且BG5时，求AF的长【答案】（1）AF3；（2）见解析；AF6；（3）AF1【解析】（1）解：纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，BFEF，AB8，EF8AF，在RtAEF中，AE2+AF2EF2，即42+AF2（8AF）2，解得AF3；（2）证明：纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，BGFEGF，长方形纸片ABCD的边ADBC，BGFEFG，EGFEFG，EFEG，EFG是等腰三角形；解：纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，EGBG10，HEAB8，FHAF，EFEG10，在RtEFH中，FH6， AFFH6；（3）解：如图3，设EH与AD相交于点K，过点E作MNCD分别交AD、BC于M、N，E到AD的距离为4，EM4，EN844，在RtENG中，EG=BG=5，GN3， GEN+KEM180GEH1809090，GEN+NGE1809090，KEMNGE，又ENGKME90，GENEKM，即， 解得EK，KM， KHEHEK8， FKHEKM，HEMK90，FKHEKM，即， 解得FH1，AFFH1【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质定理，每个小问的问题都是求AF的长度，故解题中注意思路和方法的总结，（3）中的解题思路与（2）相类似，求出FH问题得解，故将问题转化是解题的一种特别重要的思路.9（2019河南初三期中）正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置，点A，D，G在同一条直线上，点E在CD边上，AD3，DE，连接AE，CG（1）线段AE与CC的关系为_；（2）将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个锐角后，如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由（3）在正方形DEFG绕点D顺时针旋转一周的过程中，当AEC90时，请直接写出AE的长【答案】（1）AECG，AECG；（2）仍然成立；理由见解析；（3）AE的长为2+1或21【解析】（1）线段AE与CG的关系为：AECG，AECG，理由如下：如图1，延长AE交CG于点H，四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，ADCD，EDGD，ADECDG90，ADECDG（SAS），AECG，EADGCD，EAD+AED90，AEDCEH，GCD+CEH90，CHE90，即AECG，故答案为：AECG，AECG；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，设AE与CG交于点H，四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，ADCD，EDGD，ADCEDG90，ADC+CDEEDG+CDE，即ADECDG，ADECDG（SAS），AECG，EADGCD，EAD+APD90，APDCPH，GCD+CPH90，CHP90，即AECG，AECG，AECG，中的结论仍然成立；（3）如图31，当点E旋转到线段CG上时，过点D作DMAE于点M，AEC90，DEG45，AED45，RtDME是等腰直角三角形，MEMDDE1，在RtAMD中，ME1，AD3，AM2，AEAM+ME2+1；如图32，当点E旋转到线段CG的延长线上时，过点D作DNCE于点N，则END90，DEN45，EDN45，RtDNE是等腰直角三角形，NENDDE1，在RtCND中，ND1，CD3，CN2，CENE+CN2+1，ACAD3，在RtAEC中，AE21，综上所述，AE的长为2+1或21 【点睛】本题考查全等三角形的判定（SAS）与性质，正方形的性质，旋转的性质以及勾股定理，解题关键是在第（3）问中能够根据题意分情况讨论并画出图形，才能保证解答的完整性10（2019云南初三）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：CBECPE；（2）求证：四边形AECF为平行四边形；（3）若矩形ABCD的边AB6，BC4，求CPF的面积【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）解：由折叠可知，EPEB，CPCB，ECEC，ECPECB（SSS）（2）证明：由折叠得到BEPE，ECPB，E为AB的中点，AEEBPE，APBP，AFEC，AEFC，四边形AECF为平行四边形；（3）过P作PMDC，交DC于点M，在RtEBC中，EB3，BC4，根据勾股定理得： ，由折叠得：BP2BQ，在RtABP中，AB6，BP，根据勾股定理得： ,四边形AECF为平行四边形，AFEC5，FCAE3，PF5，PMAD，FPMFAD，即解得：PM，则SPFCFCPM3【点睛】本题考查的是利用折叠性质来证明三角形全等和平行四边形四边形，还考查了利用勾股定理、面积公式来求三角形的边长，利用相似三角形的性质对应边成比例来求出三角形的高，进而求出三角形的面积本题第（3）中求也可利用APBEBC，对应边成比例,求AP，这样比较简便11（2019江西初三期中）在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BEPA、DFPA，垂足为E、F，如图（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系，若点P在DC的延长线上（如图），那么这三条线段的长度之间又有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图）？请分别直接写出结论（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明【答案】（1）图中，BE=DF+EF；图中，BE=DF-EF；图中，BE=EF-DF；（2）见解析【解析】解：（1）在正方形ABCD中,AB=AD,BAD=90，BAE+DAF=90，BEPA，DFPA，AEB=DFA=90，ABE+BAE=90，ABE=DAF，在ABE和DAF中，ABEDAF(AAS)，AE=DF，AF=BE，如图，AF=AE+EF，BE=DF+EF，如图，AE=AF+EF，BE = DF -EF，如图，EF=AE+AF，BE = EF -DF（2）证明：如图题，ABCD是正方形，AB=AD，BEPA，DFPA，AEB=AFD=90，ABE+BAE=90DAF+BAE=90，ABE=DAF，RtABERtDAF，BE=AF，AE=DF，而AF=AE+EF，BE=DF+EF；【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键12（2020河北初三期末）如图，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合），点在的延长线上，且满足，连接、，与边交于点（1）求证：；（2）如果，求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：证明（1）四边形ABCD是正方形，ABAD，CADACB45，BADCDAB90，BAMMAD90，ADN90MAN90，MADDAN90，BAMDAN，且ADAB，ABCADN90ABMADN（ASA）AMAN，（2）AMAN，MAN90，MNA45， CAD2NAD45，NAD22.5CAMMANCADNAD22.5CAMNAD，ACBMNA45， AMCAEN ，且ANAM，AN2AEAC【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定及性质是解题的关键
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