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专题16 一次函数综合题考点分析【例1】（2019浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OFDE于点F，连结OE动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点（1）求点B的坐标和OE的长；（2）设点Q2为(m，n)，当tanEOF时，求点Q2的坐标；（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Qs，APt，求s关于t的函数表达式当PQ与OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长【答案】（1）（8，0），；（2）（6，1）；（3），的长为或.【解析】解：（1）令，则，为.为，在中，.又为中点，.（2）如图，作于点，则，.，由勾股定理得，.，为.（3）动点同时作匀速直线运动，关于成一次函数关系，设，将和代入得，解得，.（）当时，（如图），作轴于点，则.，又，.（）当时（如图），过点作于点，过点作于点，由得.,，.，.（）由图形可知不可能与平行.综上所述，当与的一边平行时，的长为或.【点睛】此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题【例2】（2019射阳县）如图，已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数yx的图象交于点M，点M的横坐标为2在x轴上有一点P (a，0)（其中a2），过点P作x轴的垂线，分别交函数和yx的图象于点C，D（1）求点A的坐标；（2）若OBCD，求a的值【答案】（1）(6，0)；（2）4.【解析】解：（1）点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，点M的坐标为（2，2），把M（2，2）代入y=x+b得1+b=2，解得b=3，一次函数的解析式为y=x+3，把y=0代入y=x+3得x+3=0，解得x=6，A点坐标为（6，0）；（2）把x=0代入y=x+3得y=3，B点坐标为（0，3），CD=OB，CD=3，PCx轴，C点坐标为（a，a+3），D点坐标为（a，a）a（a+3）=3，a=4考点集训1（2019重庆中考真题）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示x3210123y6420246（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化写出点A，B的坐标和函数的对称轴（2）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象若点和在该函数图象上，且，比较，的大小【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】解：（1），函数的对称轴为；（2）将函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象；将函数的图象向左平移2个单位得到函数的图象；（3）将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数的图象所画图象如图所示，当时，【点睛】本题考查了一次函数与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，平移的性质，正确的作出图形是解题的关键2（2019江苏省无锡市天一实验学校初三月考）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（，），点Q的坐标为（，），且，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图（1）已知点A的坐标为（1，0）若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）O的半径为，点M的坐标为（m，3）若在O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围【答案】（1）2；或；（2）1m5 或者【解析】（1）S=21=2；C的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC的表达式为y=kx+b，将A、C分别代入AC的表达式得到：或，解得：或，则直线AC的表达式为或；（2）若O上存在点N，使MN的相关矩形为正方形，则直线MN的斜率k=1，即过M点作k=1的直线，与O有交点，即存在N，当k=1时，极限位置是直线与O相切，如图与，直线与O切于点N，ON=，ONM=90，与y交于（0，-2）（，3），=-5，（-5，3）；同理可得（-1，3）；当k=1时，极限位置是直线与（与O相切），可得（1，3），（5，3）因此m的取值范围为1m5或者考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力3（2019山东省济南汇才学校初三期中）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x22x3=0的两个根（1）求线段BC的长度；（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）4；（2）ACAB，理由见解析；（3）D（2，1）；（4）点P的坐标为（3，0），（，2），（3，3），（3，3+）【解析】（1）x22x3=0，x=3或x=1，B（0，3），C（0，1），BC=4；（2）A（，0），B（0，3），C（0，1），OA=，OB=3，OC=1，OA2=OBOC，AOC=BOA=90，AOCBOA，CAO=ABO，CAO+BAO=ABO+BAO=90，BAC=90，ACAB；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（，0）和C（0，1）代入y=kx+b，解得：，直线AC的解析式为：y=x1，DB=DC，点D在线段BC的垂直平分线上，D的纵坐标为1，把y=1代入y=x1，x=2，D的坐标为（2，1），（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，把B（0，3）和D（2，1）代入y=mx+n，解得，直线BD的解析式为：y=x+3，令y=0代入y=x+3，x=3，E（3，0），OE=3，tanBEC=，BEO=30，同理可求得：ABO=30，ABE=30，当PA=AB时，如图1，此时，BEA=ABE=30，EA=AB，P与E重合，P的坐标为（3，0），当PA=PB时，如图2，此时，PAB=PBA=30，ABE=ABO=30，PAB=ABO，PABC，PAO=90，点P的横坐标为，令x=代入y=x+3，y=2，P（，2），当PB=AB时，如图3，由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1Fx轴于点F，P1B=AB=2，EP1=62，sinBEO=，FP1=3，令y=3代入y=x+3，x=3，P1（3，3），若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，过点P2作P2Gx轴于点G，P2B=AB=2，EP2=6+2，sinBEO=，GP2=3+，令y=3+代入y=x+3，x=3，P2（3，3+），综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（3，0），（，2），（3，3），（3，3+）考点：一次函数和三角形的综合题.4（2019内蒙古初三）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：问题情境：如图1，四边形ABCD中，ADBC，点E为DC边的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F求证：S四边形ABCDSABF（S表示面积）问题迁移：如图2，在已知锐角AOB内有一定点P过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，MON的面积存在最小值请问当直线MN在什么位置时，MON的面积最小，并说明理由实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部分计划以公路OA、OB和经过防疫站的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区MON若测得AOB66，POB30，OP4km，试求MON的面积（结果精确到0.1km2）（参考数据：sin660.91，tan662.25，1.73）拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值【答案】问题情境：见解析问题迁移：见解析实际运用：。拓展延伸：截得四边形面积的最大值为10【解析】问题情境：证明：ADBC，DAE=F，D=FCE。点E为DC边的中点，DE=CE。在ADE和FCE中，ADEFCE（AAS）。SADE=SFCE。S四边形ABCE+SADE=S四边形ABCE+SFCE，即S四边形ABCD=SABF。问题迁移：当直线旋转到点P是MN的中点时SMON最小，理由如下：如图2，过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PFPE，过点M作MGOB交EF于G，由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=SMON。S四边形MOFGSEOF，SMONSEOF。当点P是MN的中点时SMON最小。实际运用：如图3，作PP1OB，MM1OB，垂足分别为P1，M1，在RtOPP1中，POB=30，PP1=OP=2，OP1=2。由问题迁移的结论知，当PM=PN时，MON的面积最小，MM1=2PP1=4，M1P1=P1N。在RtOMM1中，即，。拓展延伸：如图4，当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，C，AOC=45。AO=AD。A（6，0），OA=6。AD=6。由问题迁移的结论可知，当PN=PM时，MND的面积最小，四边形ANMO的面积最大。作PP1OA，MM1OA，垂足分别为P1，M1，M1P1=P1A=2。OM1=M1M=2，MNOA。如图5，当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，设直线BC的解析式为y=kx+b，C、B（6，3），解得：。直线BC的解析式为。当y=0时，x=9，T（9，0）。由问题迁移的结论可知，当PM=PN时，MNT的面积最小，四边形CMNO的面积最大。NP1=M1P1，MM1=2PP1=4。，解得x=5。M（5，4）。OM1=5。P（4，2），OP1=4。P1M1=NP1=1。ON=3。NT=6。综上所述：截得四边形面积的最大值为10。5（2019贵州初三）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN设运动时间为t秒（1）当t=秒时，点Q的坐标是 ；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值【答案】（1）（4，0）；（2）当0t1时，S =t2；当1t时，S =t2+18t；当t2时， S =3t2+12；（3）OT+PT的最小值为【解析】（1）令y=0，x+4=0，x=6，A（6，0），当t=秒时，AP=3=1，OP=OAAP=5，P（5，0），由对称性得，Q（4，0）；（2）当点Q在原点O时，OQ=6，AP=OQ=3，t=33=1，当0t1时，如图1，令x=0，y=4，B（0，4），OB=4，A（6，0），OA=6，在RtAOB中，tanOAB=，由运动知，AP=3t，P（63t，0），Q（66t，0），PQ=AP=3t，四边形PQMN是正方形，MNOA，PN=PQ=3t，在RtAPD中，tanOAB=，PD=2t，DN=t，MNOADCN=OAB，tanDCN=，CN=t，S=S正方形PQMNSCDN=（3t）2tt=t2；当1t时，如图2，同的方法得，DN=t，CN=t，S=S矩形OENPSCDN=3t（63t）tt=t2+18t；当t2时，如图3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（63t）=3t2+12；（3）如图4，由运动知，P（6-3t，0），Q（6-6t，0），M（6-6t，3t），T是正方形PQMN的对角线交点，T（6-），点T是直线y=-x+2上的一段线段，（-3x6），同理：点N是直线AG：y=-x+6上的一段线段，（0x6），G（0，6），OG=6，A（6，0），AG=6，在RtABG中，OA=6=OG，OAG=45，PNx轴，APN=90，ANP=45，TNA=90，即：TNAG，T正方形PQMN的对角线的交点，TN=TP，OT+TP=OT+TN，点O，T，N在同一条直线上（点Q与点O重合时），且ONAG时，OT+TN最小，即：OT+TN最小，SOAG=OAOG=AGON，ON=即：OT+PT的最小值为3【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点T的位置是解本题（3）的难点6（2019武汉市第八中学初三期中）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OAOC）的长分别是一元二次方程x214x+48=0的两个实数根（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标【答案】（1）C（0，6）（2）y=x+6（3）P1（4，3），P2（）P3（），P4（）【解析】（1）解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8OA，OC（OAOC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根OC=6，OA=8C（0，6）（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k0）由（1）知，OA=8，则A（8，0）点A、C都在直线MN上解得，直线MN的解析式为y=-x+6（3）A（8，0），C（0，6）根据题意知B（8，6）点P在直线MN y=-x+6上设P（a，-a+6）当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；当PC=BC时，a2+（-a+6-6）2=64解得，a=，则P2（-，），P3（，）当PB=BC时，（a-8）2+（-a+6-6）2=64解得，a=，则-a+6=-P4（，）综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2(-，)，P3(，)，P4（，-）考点：一次函数综合题7（2019辽宁中考真题）在平面直角坐标系中，直线ykx+4（k0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B，（1）k的值是 ；（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求OCED的周长；当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若CDE的面积为，请直接写出点C的坐标【答案】（1）；（2）OCED的周长8+4；C的坐标为（3，）或（11，）【解析】（1）将A（8，0）代入ykx+4，得：08k+4，解得：k故答案为（2）由（1）可知直线AB的解析式为yx+4当x0时，yx+44，点B的坐标为（0，4），OB4点E为OB的中点，BEOEOB2点A的坐标为（8，0），OA8四边形OCED是平行四边形，CEDA，BCAC，CE是ABO的中位线，CEOA4四边形OCED是平行四边形，ODCE4，OCDE在RtDOE中，DOE90，OD4，OE2，DE，C平行四边形OCED2（OD+DE）2（4+2）8+4设点C的坐标为（x，+4），则CE|x|，CD|x+4|，SCDECDCE|x2+2x|，x2+8x+330或x2+8x330方程x2+8x+330无解；解方程x2+8x330，得：x13，x211，点C的坐标为（3，）或（11，）【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形的周长、三角形的面积、解一元二次方程以及三角形的中位线，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k值；（2）利用勾股定理及三角形中位线的性质，求出CE，DE的长；利用三角形的面积公式结合CDE的面积为，找出关于x的方程8（2019四川中考真题）在平面直角坐标系中，已知，动点在的图像上运动（不与重合），连接，过点作，交轴于点，连接（1）求线段长度的取值范围；（2）试问：点运动过程中，是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由（3）当为等腰三角形时，求点的坐标【答案】（1）；（2）为定值，=30；（3）， ，【解析】解：（1）作，则点在的图像上，（2）当点在第三象限时，由，可得、四点共圆，当点在第一象的线段上时，由，可得、四点共圆，又此时当点在第一象限的线段的延长线上时，由，可得，、四点共圆，（3）设，则：，：，当时，则整理得： 解得：， 当时，则整理得： 解得：或当时，点与重合，舍去，当时，则整理得：解得：【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、三角函数、等腰三角形判定和性质以及圆的相关性质等知识点，其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏9（2019浙江中考模拟）如图，RtOAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）（1）求直线CD的函数表达式；（2）动点P在x轴上从点（10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得PDA=B？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值【答案】（1）直线CD的解析式为y=x+6；（2）满足条件的点P坐标为（，0）或（，0）满足条件的t的值为或【解析】（1）设直线CD的解析式为y=kx+b，则有，解得，直线CD的解析式为y=x+6（2）如图1中，作DPOB，则PDA=BDPOB，OP=6，P（，0），根据对称性可知，当AP=AP时，P（，0），满足条件的点P坐标为（，0）或（，0）如图2中，当OP=OB=10时，作PQOB交CD于Q直线OB的解析式为y=x，直线PQ的解析式为y=x+，由，解得，Q（4，8），PQ=10，PQ=OBPQOB，四边形OBQP是平行四边形OB=OP，四边形OBQP是菱形，此时点M与的Q重合，满足条件，t=0如图3中，当OQ=OB时，设Q（m，m+6），则有m2+（m+6）2=102，解得m=，点Q 的横坐标为或，设点M的横坐标为a，则有：或，a=或，满足条件的t的值为或点睛：本题考查了一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标10（2013山东中考真题）如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值 【答案】（1）点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）2秒或4秒；（3）当t=4时，S的最大值为：16.【解析】解：（1）直线与坐标轴分别交于点A、B，x=0时，y=4；y=0时，x=8BO=4，AO=8.当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，EPBO，ABOAEP.，即.AP=2t动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，点P运动的速度是每秒2个单位长度.（2）当OP=OQ时，PE与QF重合，此时t=，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分0t和t4两种情况讨论：如图1，当0t,即点P在点Q右侧时，若PQ=PE，矩形PEFQ为正方形，OQ=FQ=t，PA=2t，QP=8t2t=83t.83t=t.解得：t=2如图2，当t4，即点P在点Q左侧时，若PQ=PE，矩形PEFQ为正方形，OQ=t，PA=2tOP=82t解得：t=4.当t为2秒或4秒时，矩形PEFQ为正方形.（3）同（2）分0t和t4两种情况讨论：如图1，当0t时，Q在P点的左边OQ=t，PA=2t，QP=8t2t=83t，当t=时，S的最大值为，如图2，当t4时，Q在P点的右边，OQ=t，PA=2t，.当t4时，S随t的增大而增大，t=4时，S的最大值为：34284=16.综上所述，当t=4时，S的最大值为：16.【点睛】本题考查一次函数的综合，相似三角形性质，二次函数最值.能根据题意表示相关线段的长度是解决此题的关键.11（2019浙江中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，若点满足，那么称点是点，的融合点.例如：，当点满是，时，则点是点，的融合点，（1）已知点，请说明其中一个点是另外两个点的融合点.（2）如图，点，点是直线上任意一点，点是点，的融合点.试确定与的关系式.若直线交轴于点，当为直角三角形时，求点的坐标.【答案】（1）点是点，的融合点；（2），符合题意的点为， .【解析】（1）解：， 点是点，的融合点（2）解：由融合点定义知，得又，得 ，化简得要使为直角三角形，可分三种情况讨论：（i）当时，如图1所示，设，则点为由点是点，的融合点，可得或，解得，点（ii）当时，如图2所示，则点为由点是点，的融合点，可得点（iii）当时，该情况不存在综上所述，符合题意的点为，【点睛】本题是一次函数综合运用题，涉及到勾股定理得运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解12（2019北京中考真题）在平面直角坐标系中，直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点（1）求直线与轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记线段围成的区域（不含边界）为当时，结合函数图象，求区域内的整点个数；若区域内没有整点，直接写出的取值范围【答案】（1）直线与轴交点坐标为（0,1）；（2）整点有（0，-1），（0,0），（1，-1），（1,0），（1,1），（1,2）共6个点，-1k0或k=-2.【解析】解：（1）令x=0，y=1，直线l与y轴的交点坐标（0，1）；（2）由题意，A（k，k2+1），B，C（k，-k），当k=2时，A（2，5），B，C（2，-2），在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，-1），（1，0），（1，-1），（1，1），（1，2）；直线AB的解析式为y=kx+1，当x=k+1时，y=-k+1，则有k2+2k=0，k=-2，当0k-1时，W内没有整数点，当0k-1或k=-2时W内没有整数点；【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k变化分析W区域内整数点的情况是解题的关键
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