2020年中考数学二轮复习 重难题型突破 类型二 阶梯费用类问题

类型二 阶梯费用类问题例1某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元经市场调查，每天的销售量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x(元/kg)506070销售量y(kg)1008060(1)求y与x之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润收入成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）y2x200(40x80)；（2）w=2x2280x8 000(40x80)；（3）当x70时，利润W取得最大值，最大值为1 800元【解析】(1)根据题意，设ykxb，其中k，b为待定的常数，由表中的数据得解得y2x200(40x80)；(2)根据题意得Wy (x40)(2x200)(x40)2x2280x8 000(40x80)；(3)由(2)可知：W2(x70)21 800，当售价x在满足 40x70的范围内，利润W随着x的增大而增大；当售价在满足 70x80的范围内，利润W随着x的增大而减小当x70时，利润W取得最大值，最大值为1 800元例2襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为：y(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润关于售价x(元/件)的函数表达式；(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围【答案】（1）W（2）800万（3）45x55.【解析】(1)W(2)由(1)知，当40x60时，W2(x50)2800.2600，W最大值为800万元答：当该产品的售价定为50元/件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元；(3)当40x60时，令W750，得2(x50)2800750，解得x145，x255.由函数W2(x50)2800的性质可知，当45x55时，W750，当60x70时，W最大值为600750.答：要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45x55.例3荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/kg)与时间第t天之间的函数关系为p日销售量y(kg)与时间第t天之间的函数关系如图331所示(1)求日销售量y与时间t的函数关系式？(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2 400元？(4)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1 kg小龙虾，就捐赠m(m7)元给村里的特困户在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围【答案】（1）y2t200(1t80，t为整数)；（2）W(p6)y（3）21天（4）5m7. 图331【解析】 (1)根据函数图象，利用待定系数法求解可得；(2)设日销售利润为W，分1t40和41t80两种情况，根据“总利润每千克利润销售”列出函数表达式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；(3)求出W2 400时x的值，结合函数图象即可得出答案；(4)依据(2)中相等关系列出函数表达式，确定其对称轴，由1t40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案解：(1)设函数表达式为yktb，将(1，198)，(80，40)代入，得解得y2t200(1t80，t为整数)；(2)设日销售利润为W，则W(p6)y，当1t40时，W(2t200)(t30)22 450，当t30时，W最大2 450；当41t80时，w(2t200)(t90)2100，当t41时，W最大2 301，2 4502 301，第30天的日销售利润最大，最大利润为2 450元；(3)由(2)得当1t40时，W(t30)22 450，令W2 400，即(t30)22 4502 400，解得t120，t240，由函数W(t30)22 450的图象(如答图)可知，当20t40时，日销售利润不低于2 400元， 第3题答图而当41t80时，W最大2 3012 400，t的取值范围是20t40，共有21天符合条件；(4)设日销售利润为W，根据题意，得W(2t200) t2(302m)t2 000200m，其函数图象的对称轴为t2m30，W随t的增大而增大，且1t40，由二次函数的图象及其性质可知2m3040，解得m5，又m7，5m7.例4小慧和小聪沿图332中景区公路游览小慧乘坐车速为30 km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆图中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系试结合图中信息回答：图332(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？(2)试求线段AB，GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义；(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？【答案】（1）7:30（2）如下（3）11:00【解析】(1)小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为50202.5(h)，小聪上午10：00到达宾馆，小聪从飞瀑出发的时刻为102.57.5，即7：30.答：小聪早上7：30从飞瀑出发；(2)设直线GH的函数表达式为sktb，由于点G的坐标为，点H的坐标为(3，0)，则有解得直线GH的函数表达式为s20t60，又点B的纵坐标为30，当s30时，得20t6030，解得t，点B的坐标为.答：点B的实际意义是上午8：30小慧与小聪在离宾馆30 km(即景点草甸)处第一次相遇；(3)方法一：设直线DF的函数表达式为sk1tb1，该直线过点D和F(5，0)，由于小慧从飞瀑回到宾馆所用时间为5030(h)，小慧从飞瀑准备返回时t5(h)，即点D的坐标为.则有解得直线DF的函数表达式为s30t150，小聪上午10：00到达宾馆后立即以30 km/h的速度返回飞瀑，所需时间为5030(h)第4题答图如答图，HM为小聪返回时s关于t的函数图象，点M的横坐标为3，M，设直线HM的函数表达式为sk2tb2，该直线过点H(3，0)和M ，则有直线HM的函数表达式为s30t90，由30t9030t150，解得t4，即11：00.答：小聪返回途中上午11：00遇见小慧；方法二：如答图，过点E作EQx轴于点Q，由题意，可得点E的纵坐标为两人相遇时距宾馆的路程，又两人速度均为30 km/h，该路段两人所花时间相同，即HQQF，点E的横坐标为4.答：小聪返回途中上午11：00遇见小慧例5月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图333所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分设公司销售这种电子产品的年利润为W(万元)(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损记做下一年的成本)图333(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式(2)求出第一年这种电子产品的年利润W(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润W(万元)取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x8)，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润W(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，求销售价格x(元/件)的取值范围【答案】（1）y（2）当每件的销售价格定为16元时，第一年的年利润的最大值为16万元（3）当11x21时，第二年的年利润W不低于103万元【解析】 (1)求y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式，结合图象，是一个分段函数，已知点坐标，运用待定系数法可求；(2)根据“年利润年销售量每件的利润成本(160万元)”，可求出年利润W(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，但要注意的是和第(1)问一样是分段函数，根据每段的函数特征分别求出最大值，再比较这两个数值的大小，从而确定第一年的年利润的最大值；(3)根据条件“第二年的年利润不低于103万元”，可得W103，这是一个一元二次不等式，观察年利润W(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，从而得出结果解：(1)当4x8时，设 y，将A(4，40)代入，得k440160.y与x之间的函数关系式为y.当8x28时，设ykxb，将B(8，20)，C(28，0)代入，得 解得y与x之间的函数关系式为yx28.综上所述，得y(2)当4x8时，W(x4)y160(x4)160.W随着x的增大而增大，当x8时，Wmax 80.当8x28时，W(x4)y160 (x4)(x28)160x232x272(x16) 216.当x16时，Wmax16.1680，当每件的销售价格定为16元时，第一年的年利润的最大值为16万元(3)第一年的年利润为16万元16万元应作为第二年的成本第5题答图又x8，第二年的年利润W(x4)(x28)16x232x128，令W103，则x232x128103，解得x111，x221.在平面直角坐标系中，画出W与x的函数示意图如答图，观察示意图可知：当W103时，11x21.当11x21时，第二年的年利润W不低于103万元例6某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同(1)求该种水果每次降价的百分率；(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1x15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间x(天)1x99x15x15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)803x120x储存和损耗费用(元)403x3x264x400(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？【答案】（1）10（2）10（3）0.5元【解析】 (1)设该种水果每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为10(1x)，第二次降价后的价格为10(1x)2，进而可得方程；(2)分两种情况考虑，先利用“利润(售价进价)销量储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；(3)设第15天在第14天的价格基础上降a元，利用不等关系“(2)中最大利润(8.1a4.1)销量储存和损耗费用127.5”求解解：(1)设该种水果每次降价的百分率为x，依题意，得10(1x)28.1，解得x10.110%，x21.9(不合题意，舍去)答：该种水果每次降价的百分率为10%.(2)第一次降价后的销售价格为10(110%)9(元/斤)，当1x9时，y(94.1)(803x)(403x)17.7x352；当9x15时，y(8.14.1)(120x)(3x264x400)3x260x80，综上所述，y与x的函数关系式为y当1x9时，y17.7x352，当x1时，y最大334.3(元)；当9x15时，y3x260x803(x10)2380，当x10时，y最大380(元)334.3380，在第10天时销售利润最大(3)设第15天在第14天的价格上最多可降a元，依题意，得380(8.1a4.1)(12015)(31526415400)127.5，解得a0.5，则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元9