2020年中考数学二轮复习 重难题型突破 类型三 二次函数与图形面积问题

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资源描述
类型三 二次函数与图形面积问题例1、如图,已知抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C(1)求A、B、C三点的坐标;(2)过点A作APCB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积;(3)在轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由【解析】解:(1)令,得 解得令,得 A B C (2)OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB, PAB= 过点P作PE轴于E,则APE为等腰直角三角形令OE=,则PE= P点P在抛物线上 GMCByPA解得,(不合题意,舍去) PE=四边形ACBP的面积=ABOC+ABPE=(3) 假设存在PAB=BAC = PAACMG轴于点G, MGA=PAC =在RtAOC中,OA=OC= AC=在RtPAE中,AE=PE= AP= 设M点的横坐标为,则M 点M在轴左侧时,则() 当AMG PCA时,有=AG=,MG=即 解得(舍去) (舍去)() 当MAG PCA时有=即 解得:(舍去) M GMCByPA 点M在轴右侧时,则 () 当AMG PCA时有=AG=,MG= 解得(舍去) M () 当MAGPCA时有= 即 解得:(舍去) M 存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为,例2、如图,在平面直角坐标系中,ABC是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线经过A,B两点,抛物线的顶点为D(1)求b,c的值;(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;(3)在(2)的条件下:求以点、为顶点的四边形的面积;在抛物线上是否存在一点P,使EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】解:(1)由已知得:A(-1,0) B(4,5)二次函数的图像经过点A(-1,0)B(4,5)解得:b=-2 c=-3(2)如题图:直线AB经过点A(-1,0) B(4,5)直线AB的解析式为:y=x+1二次函数设点E(t, t+1),则F(t,)EF= =当时,EF的最大值=点E的坐标为(,)(3)如题图:顺次连接点E、B、F、D得四边形 可求出点F的坐标(,),点D的坐标为(1,-4) S=S+S = = 如题备用图:)过点E作aEF交抛物线于点P,设点P(m,)则有: 解得:, ,)过点F作bEF交抛物线于,设(n,)则有: 解得: ,(与点F重合,舍去)综上所述:所有点P的坐标:,(. 能使EFP组成以EF为直角边的直角三角形例3、如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点,与轴交于点P,顶点为C(1,2).(1)求此函数的关系式;(2)作点C关于轴的对称点D,顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E,使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形,求点E的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得PEF是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出点F的坐标及PEF的面积;若不存在,请说明理由.【解析】(1)的顶点为C(1,2), (2)设直线PE对应的函数关系式为由题意,四边形ACBD是菱形. 故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M由P(0,1),M(1,0),得从而, 设E(,),代入,得 解之得,根据题意,得点E(3,2) (3)假设存在这样的点F,可设F(,)过点F作FG轴,垂足为点G.在RtPOM和RtFGP中,OMP+OPM=90,FPG+OPM=90,OMP=FPG,又POM=PGF,POMFGP. 又OM=1,OP=1,GP=GF,即解得,根据题意,得F(1,2)故点F(1,2)即为所求 例4、如图,已知抛物线的顶点坐标为Q,且与轴交于点C,与轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),点P是该抛物线上一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PD轴,交AC于点D(1)求该抛物线的函数关系式;(2)当ADP是直角三角形时,求点P的坐标;(3)在问题(2)的结论下,若点E在轴上,点F在抛物线上,问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由【解析】解:(1)抛物线的顶点为Q(2,1)设将C(0,3)代入上式,得, 即(2)分两种情况:当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)令=0, 得解之得, 点A在点B的右边, B(1,0), A(3,0)P1(1,0) 解:当点A为APD2的直角顶点是(如图)OA=OC, AOC=, OAD2=当D2AP2=时, OAP2=, AO平分D2AP2又P2D2轴, P2D2AO, P2、D2关于轴对称设直线AC的函数关系式为将A(3,0), C(0,3)代入上式得, D2在上, P2在上,设D2(,), P2(,)()+()=0, , (舍)当=2时, =1 P2的坐标为P2(2,1)(即为抛物线顶点)P点坐标为P1(1,0), P2(2,1) (3)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形当点P的坐标为P2(2,1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形P(2,1), 可令F(,1)解之得: , F点有两点,即F1(,1), F2(,1) 8
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