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类型一 二次函数与线段问题例1、 如图1-1，抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果PAC的周长最小，求点P的坐标图1-1【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A与点B对称，连结BC，那么在PBC中，PBPC总是大于BC的如图1-3，当点P落在BC上时，PBPC最小，因此PAPC最小，PAC的周长也最小由yx22x3，可知OBOC3，OD1所以DBDP2，因此P(1,2)图1-2 图1-3例2、如图，抛物线与y轴交于点A，B是OA的中点一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程图2-1【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A关于抛物线的对称轴对称的点A，作点B关于x轴对称的点B，连结AB与x轴交于点M，与抛物线的对称轴交于点N在RtAAB中，AA8，AB6，所以AB10，即点G走过的最短路程为10根据相似比可以计算得到OM，MH，NH1所以M(, 0)，N(4, 1)图2-2例3、如图3-1，抛物线与y轴交于点A，顶点为B点P是x轴上的一个动点，求线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P的坐标图3-1【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PAPB|的最小值与最大值由抛物线的解析式可以得到A(0, 2)，B(3, 6)设P(x, 0)绝对值|PAPB|的最小值当然是0了，此时PAPB，点P在AB的垂直平分线上（如图3-2）解方程x222(x3)262，得此时P在PAB中，根据两边之差小于第三边，那么|PAPB|总是小于AB了如图3-3，当点P在BA的延长线上时，|PAPB|取得最大值，最大值AB5此时P图3-2 图3-3例4、如图4-1，菱形ABCD中，AB2，A120，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PKQK的最小值图4-1【解析】如图4-2，点Q关于直线BD的对称点为Q，在KPQ中，PKQK总是大于PQ的如图4-3，当点K落在PQ上时，PKQK的最小值为PQ如图4-4，PQ的最小值为QH，QH就是菱形ABCD的高，QH这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短图4-2 图4-3 图4-4例5、如图5-1，菱形ABCD中，A60，AB3，A、B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、B和A上的动点，求PEPF的最小值图5-1【解析】E、F、P三个点都不确定，怎么办？BE1，AF2是确定的，那么我们可以求PBPA3的最小值，先求PBPA的最小值（如图5-2）如图5-3，PBPA的最小值为AB，AB6所以PEPF的最小值等于3图5-2 图5-3例6、如图6-1，已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a1, 0)，求a为何值时，四边形ABEF周长最小？请说明理由图6-1【解析】在四边形ABEF中，AB、EF为定值，求AEBF的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点如图6-2，将线段BF向左平移两个单位，得到线段ME如图6-3，作点A关于x轴的对称点A，MA与x轴的交点E，满足AEME最小由AOEBHF，得解方程，得图6-2 图6-3例7、如图7-1，ABC中，ACB90，AC2，BC1点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，当点A在x轴上运动时，点C也随之在y轴上运动在整个运动过程中，求点B到原点的最大距离图7-1【解析】如果把OB放在某一个三角形中，这个三角形的另外两条边的大小是确定的，那么根据两边之和大于第三边，可知第三边OB的最大值就是另两边的和显然OBC是不符合条件的，因为OC边的大小不确定如图7-2，如果选AC的中点D，那么BD、OD都是定值，OD1，BD在OBD中，总是有OBODBD如图7-3，当点D落在OB上时，OB最大，最大值为图7-2 图7-3 例8、如图8-1，已知A(2,0)、B(4, 0)、设F为线段BD上一点（不含端点），连结AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？图8-1【解析】点B(4, 0)、的坐标隐含了DBA30，不由得让我们联想到30角所对的直角边等于斜边的一半如果把动点M在两条线段上的速度统一起来，问题就转化了如图8-2，在RtDEF中，FD2FE如果点M沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D时，那么点M沿线段FE以每秒1个单位的速度正好运动到点E因此当AFFE最小时，点M用时最少如图8-3，当AEDE时，AFFE最小，此时F图8-2 图8-3例9、如图9-1，在RtABC中，C90，AC6，BC8点E是BC边上的点，连结AE，过点E作AE的垂线交AB边于点F，求AF的最小值图9-1【解析】如图9-2，设AF的中点为D，那么DADEDF所以AF的最小值取决于DE的最小值如图9-3，当DEBC时，DE最小设DADEm，此时DB由ABDADB，得解得此时AF图9-2 图9-3例10、如图10-1，已知点P是抛物线上的一个点，点D、E的坐标分别为(0, 1)、(1, 2)，连结PD、PE，求PDPE的最小值图10-1【解析】点P不在一条笔直的河流上，没有办法套用“牛喝水”的模型设P，那么PD2所以PD如图10-2，的几何意义可以理解为抛物线上的动点P到直线y1的距离PH所以PDPH因此PDPE就转化为PHPE如图10-3，当P、E、H三点共线，即PHx轴时，PHPE的最小值为3高中数学会学到，抛物线是到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合，在中考数学压轴题里, 如果要用到这个性质，最好铺垫一个小题，求证PDPH. 图10-2 图10-37
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