2020年中考数学二轮复习 重难题型突破 类型七 综合实践题

题型七 综合实践题例1【问题情境】已知RtABC中，BAC90，ABAC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作RtDCE，使DCE90，且CDCA.沿CA方向平移CDE，使点C移动到点A，得到ABF.过点F作FGBC，交线段BC于点G，连接DG、EG.【深入探究】(1)如图，当点E在线段AC上时，小文猜想GCGF，请你帮他证明这一结论；(2)如图，当点E在线段AC的延长线上，且CECA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；【拓展应用】(3)如图，将(2)中的“CECA”改为“CECA”，若设CDE，请用含的式子表示CGE的度数(直接回答即可，不必证明)第1题图【答案】(1)证明：在RtBAC中，BAC90，ABAC，BCAABC45，FGBC，FGC90，GFC90GCF45，GFCGCF，GCGF；(2)解：DGEG，DGEG；证明：同(1)可证GCGF，DCE90，BCA45，DCG45，GFC45，DCGEFG，CDE平移得到ABF，CEAF，CECFAFCF，即EFAC，ACCD，EFCD，DCGEFG(SAS)，DGEG，DGCEGF，DGCEGCEGFEGC，即DGECGF90，DGEG；(3)解：CGE180.例2在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在直线CD上(不与点C、D重合)，连接AP，平移ADP，使点D移动到点C，得到BCQ，过点Q作QHBD于H，连接AH，PH.【问题发现】(1)如图，若点P在线段CD上，AH与PH的数量关系是_，位置关系是_； 【拓展探究】(2)如图，若点P在线段CD的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；【解决问题】(3)若点P在线段DC的延长线上，且AHQ120，正方形ABCD的边长为2，请直接写出DP的长度第2题图【答案】解：(1)AHPH，AHPH；【解法提示】如解图，连接HC，第2题解图四边形ABCD是正方形，BDC45，又QHBD，DHQ是等腰直角三角形，HDHQ，HDPHQC45，由平移的性质可知DPCQ，在HDP和HQC中，HDPHQC.HPHC，DHPQHC.根据正方形是轴对称图形得到HAHC，AHDCHD，AHPAHDDHPCHDQHC90，即AHPH.HAHP，AHPH.(2)(1)中的结论仍然成立，理由如下：如解图，连接HC，第2题解图四边形ABCD是正方形，BDC45，又QHBD，DHQ是等腰直角三角形，HDPHQC135，HDHQ，由平移的性质可知DPCQ，在HDP和HQC中，HDPHQC(SAS)，HPHC，DHPQHC，根据正方形是轴对称图形得到HAHC，AHDCHD，AHPAHDDHPCHDCHQ90，HAHP，AHPH；(3)DP2.【解法提示】由(1)知，AHPH，AHPH，HPA45，AHQ120，PHQ1209030.PHDQHDPHQ60，AHBCHBAHPPHD30，CHPCHBAHB30，CPH75，APDCPHAPH30，在RtADP中，AD2，DP2.例3如图，在RtABC中，ACB90，A30，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60，得到线段PQ，连接BQ.(1)如图，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；(2)如图，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图，当点P在BC延长线上时，若BPO45，AC，请直接写出BQ的长第3题图【答案】解：(1)CPBQ; 【解法提示】如解图，连接OQ，第3题解图由旋转可知，PQOP，OPQ60，POQ是等边三角形，OPOQ，POQ60，在RtABC中，O是AB中点，OCOAOB，BOC2A60POQ，COPBOQ，在COP和BOQ中，COPBOQ(SAS)，CPBQ；(2)成立，理由如下：如解图，连接OQ，图由旋转知PQOP，OPQ60，POQ是等边三角形，OPOQ，POQ60，在RtABC中，O是AB中点，OCOAOB，BOC2A60POQ，COPBOQ，在COP和BOQ中，COPBOQ(SAS)，CPBQ；(3)BQ.【解法提示】在RtABC中，A30，AC，BCACtanA，如解图，过点O作OHBC于点H，第3题解图OHB90BCA，OHAC，O是AB中点，CHBC，OHAC，BPO45，OHP90，BPOPOH，PHOH，CPPHCH，连接OQ，同(1)的方法得，BQCP.例4已知正方形ABCD，点E在直线AD上(不与点A、D重合)，连接BE，作EFBE，且EFBE，过点F作FGBC，交直线BC于点G.(1)如图，当点E在边AD上，点G在边BC的延长线上时，求证：ABAEBG；(2)如图，当点E在边DA的延长线上，点G在边BC上时，FG交AD于点H，试猜想AB、AE与BG的关系，并加以证明；(3)如图，当点E在边AD的延长线上，点G在边BC上时，FG交AD于点N，请直接写出线段AB、AE、BG之间的数量关系，不需要证明图 图 图第4题图【答案】(1)证明：如解图，延长AD交GF的延长线于点M，四边形ABCD是正方形，第4题解图A90，ABC90，又FGBC，四边形ABGM是矩形，AMBG，A90，EFBE，M90，AEBMFE，在ABE和MEF中，ABEMEF(AAS)，ABEM，AMAEEMAEAB，ABAEBG；(2)ABAEBG；证明：FEHBEA90，BEAABE90，FEHABE，在ABE和HEF中，ABEHEF(AAS)，EHAB，EHAEABAEAH，四边形ABGH是矩形，AHBG，ABAEBG；(3)AEABBG.【解法提示】由(2)得ABENEF，NEAB，ANNEANABAE，BGAN，AEABBG.例5如图，ABC中，ABBC，BDAC于点D，FACABC，且FAC在AC下方，点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PECQ于点E，连接DE.(1)若ABC60，BPAQ.如图，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；如图，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断中的结论是否成立，并说明理由；(2)若ABC260，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使(1)中的结论仍然成立(用含的三角函数表示)第5题图【答案】解：(1)DEAQ，DEAQ；成立；【解法提示】如解图，连接PC、PQ，第5题解图BABC，ABC60，ABC是等边三角形，BCAC，BCAC，FACPBC30，AQBP，AQCBPC(SAS)，QCPC，ACQBCP，ACQACPBCPACP60，PCQ是等边三角形，又PEQC，E为QC的中点，ABBC，BDAC，D为AC的中点，DEAQ，DEAQ；成立理由如下：如解图，连接PC、PQ.第5题解图BABC，ABC60，ABC是等边三角形，BCAC，BCAC，FACPBC30，AQBP，AQCBPC(SAS)，QCPC，ACQBCP，PCQBCA60，PCQ是等边三角形，又PEQC，E为QC的中点，ABBC，BDAC，D为AC的中点，DEAQ，DEAQ；第5题解图(2)如解图，连接PC，取PC中点M，连接MD、ME，设PE与AC交点为N，PDC90，MDPC，同理MEPC，即MPMCMDME，P、D、E、C四点共圆，NCENPD，EDCNPC，DEAQ，QACEDC，又QACPBC，NPCPBC，EPDNPCPBCBCP，EPDBCP，NCEBCP.由NCEBCP，QACPBC，得QACPBC，2sinDBC2sin，即 2sin.例6已知，ABC为直角三角形，ACB90，点P是射线CB上一点(点P不与点B、C重合)，线段AP绕点A顺时针旋转90得到线段AQ，连接QB交射线AC于点M.(1)如图，当ACBC，点P在线段CB上时，线段PB，CM的数量关系是_；(2)如图，当ACBC，点P在线段CB的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)如图，若，点P在线段CB的延长线上，CM2，AP13，求ABP的面积第6题图【答案】解：(1)PB2CM；【解法提示】如解图，过点Q作QDAC于点D，第6题解图QEBC交BC的延长线于点E.AQ是由AP绕点A顺时针旋转90得到的，APAQ，且PAQ90，PACQAD90，又PACAPC90，QADAPC，ACPQDA(AAS)，ACQDCE，又ABC为等腰直角三角形，ACBCEC，即点C为BE的中点，CMQE，即QE2CM，连接AE，ACCEBC，ABE为等腰直角三角形，AEAB，BAEPAQ90，BAPEAQ，又APAQ，APBAQE(SAS)，BPQE2CM，PB2CM；(2)(1)中的结论PB2CM仍然成立； 证明：如解图所示，过点Q作QGBC交BC的延长线于点G，过点A作AFQG交QG的延长线于点F.第6题解图AQ是由AP绕点A顺时针旋转90得到的，APAQ，且PAQ90，PACCAQ90，又QAFCAQ90，PACQAF，PACQAF(AAS)，ACAF，四边形AFGC为正方形，CGACBC，即C为BG的中点，QG2CM，连接AG可得，ABG为等腰直角三角形，ABAG，PABBAQQAGBAQ90，PABQAG，PABQAG(SAS)，PBQG2CM，PB2CM；(3) 如解图所示，过点Q作QHAC交AC的延长线于点H.第6题解图由题知，设AC5a，BC2a，由(2)知，ACPQHA，QHAC5a，又BCMQHM，MH5，又APAQ13，在RtAHQ中，根据勾股定理得：QH2AH2AQ2，(5a)2(5a25)2132，化简得：5a27a120，即(a1)(5a12)0，解得：a11，a2(舍)，BC2，AHCP12，AC5，BPPCBC12210，SABPBPAC10525.例7如图，等边ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形(1)如图，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？(2)如图，当点M在线段BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M在点C右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由第7题图【答案】解：(1)ENMF；【解法提示】如解图，连接DE、DF，D、E、F是等边ABC三边中点，DEF是等边三角形，DEDF，EDF60，DMN为等边三角形，DMDN，MDN60，MDFNDE60NDF，DMFDNE(SAS)，ENMF. 图 图第7题解图(2)成立证明：如解图，连接DE、DF和EF，ABC是等边三角形，ABACBC.又D，E，F是三边的中点， DE，DF，EF为三角形的中位线，DEDFEF，FDE60.又MDFFDN60， NDEFDN60， MDFNDE. 在DMF和DNE中，DMFDNE(SAS)，ENFM；(3)画出图形如解图，第7题解图MF与EN相等的结论仍然成立(或ENMF成立)【解法提示】如解图，连接DE、EF、DF.第7题解图D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，且ABC是等边三角形，DEF是等边三角形，DEDF，EDF60.DMN是等边三角形，DMDN，MDN60，MDFMDEMDENDE，MDFNDE，MDFNDE(SAS)，MFNE.例8已知，在矩形ABCD中，BC2AB，点M为AD边的中点，连接BD，点P是对角线BD上的动点，连接AP，以点P为顶点作EPF90，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F.(1)发现问题如图，当点P运动过程中PBA与PAB互余时，线段BE、MF与AB的数量关系为_；(2)解决问题如图，当点P运动过程中PBA与PAB相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，连接EF并延长EF，交直线BD于点G，若BEAF23，EF，求DG的长第8题图【答案】解：(1)BEMFAB；【解法提示】如解图，取AB的中点N，连接PN、PM.第8题解图PBA与PAB互余，PBAPAB90，APB90，APD90，N是AB的中点，M是AD的中点，PNBNANAB，AMDMPMAD，NAPNPA，MAPMPA.四边形ABCD是矩形，BAD90，ABCD，ADBC.BC2AB，AD2AB，而NAPMAPBAD90，NPAMPA90，即NPM90.EPF90，NPMEPF，NPMEPMEPFEPM，NPEMPF.ABPBAP90，BAPDAP90，ABPDAP.PNBN，AMPM，ABPBPN，DAPMPA，ENPFMP，PNEPMF，.NEMF，BENEBN，BEMFBN，又BNAB，BEMFAB.(2)不成立；理由如下：如解图，取AB的中点N，连接PN、PM，第8题解图四边形ABCD是矩形，BADABC90，ABCD，ADBC，ADBC，ADBCBD，PBAPAB，PAPB，N是AB的中点，PNAB，ANP90，PABPAD90，PBAPBC90，PADPBC，PADPDA，PAPD.M是AD的中点，PMAD，PMA90，四边形PMAN是矩形，NPM90，ANPM，PNAM.EPF90，NPMEPF，NPMEPMEPFEPM，NPEMPF.PNEPMF90，PNEPMF，.AD2AB，NE2MF.BENEBN，BE2MFBN，N是AB的中点，BNAB，BE2MFAB，故(1)中结论不成立；(4) 如解图，延长CD交FG于点H，设BE2a，则AF3a.第8题解图BE2MFAB，BE2(AFAM)AB.AMAB，2a2(3aAB)AB，ABa，ADa，AEa，FDa.AE2AF2EF2，(a)2(3a)2()2，解得a13，a23(舍去)AE2，BE6，AF9，DF7，BD8.HDAB，AEFDHF，DH.四边形ABCD是矩形，ABCD，即HDBE.GDHGBE，DG.例9如图，在等腰RtABC和等腰RtEDB中，ACBC，DEBD，ACBEDB90，P为AE的中点(1)观察猜想连接PC、PD，则线段PC与PD的位置关系是_，数量关系是_；(2)探究证明如图，当点E在线段AB上运动时，其他条件不变，作EFBC于F，连接PF，试判断PCF的形状，并说明理由；(3)拓展延伸在点E的运动过程中，当PCF是等边三角形时，直接写出ACB与EDB的两直角边之比第9题图【答案】解：(1)PCPD，PCPD；【解法提示】如解图，过点E作EFBC于F，过点P作PHBC于H，连接PF，第9题解图易得四边形EFBD是正方形，EFED，DEBFEB45，PEFPED135，在PEF和PED中，PEFPED(SAS)，PFPD，EPFEPD，ACPHEF，点P为AE的中点，点H是FC的中点，CHHF，又PHBC，PCPF，故PCF是等腰三角形，CPHFPH，PCPD；HPBHPFEPF45，CPDCPHHPFEPFEPD2(HPFEPF)90，PCPD.(2)PCF为等腰三角形，理由如下：如解图，过点P作PHBC于点H，第9题解图则ACPHEF，P为AE的中点，点H是FC的中点，CHHF，又PHBC，PCPF，PCF为等腰三角形；(3)2.【解法提示】如解图，过点E作EFBC于点F，过点P作PHBC于点H，由(1)知，四边形BDEF为正方形，设EFBFBDx，HFy，第9题解图PCF是等边三角形，PHy，PHEF，BEFBPH，即，解得yx，BCx2y(2)x，2.ACB与EDB的两直角边之比为2.例10已知在ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于F，点H是线段AF上一点(1)初步尝试如图，若ABC是等边三角形，DHAC，且点D，E的运动速度相等，过点D作DGBC交AC于点G，则GH与AH的数量关系是_，GF与FC的数量关系是_，的值是_；(2)类比探究如图，若在ABC中，ABC90，ADHA30，且点D，E的运动速度之比是1，求的值；(3)延伸拓展如图，若在ABC中，ABAC，ADHA36，记m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示.(直接写出结果，不必写出解答过程)第10题图【答案】解：(1)GHAH，GFFC，2；【解法提示】DGBC，ADGB，AGDACB，ABC是等边三角形，ABACB60，ADGAGDA，ADG是等边三角形，GDADCE，DHAC，GHAH，DGBC，GDFCEF，DGFECF，在GDF和CEF中，GDFCEF(ASA)，GFCF，GHGFAHCF，即HFAC，2.(2)如解图，过点D作DGBC，交AC于点G，第10题解图则ADGB90，AADH30，HGDHDG60，DHG是等边三角形，AHGHGD，ADGD，根据题意得ADCE，GDCE，DGBC，GDFCEF，DGFECF，在GDF和CEF中，GDFCEF(ASA)，GFCF，GHGFAHCF，即HFAC，2；(3).【解法提示】如解图，过点D作DGBC，交AC于点G，第10题解图则ADGB，AGDACB，ADEC，ABAC，A36，ACBBADGAGD72，ADHA36，AHDH，DHG72AGD，DGDHAH，ADGABC，ADGDGH，DGHABC，m，m，DGBC，DFGEFC，又CEAD，m，m，m，1.22