2020年中考数学二轮复习 压轴专题 四边形（含解析）

四边形1【习题再现】课本中有这样一道题目：如图1，在四边形ABCD中，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，ADBC求证：EFMFEM（不用证明）【习题变式】（1）如图2，在“习题再现”的条件下，延长AD，BC，EF，AD与EF交于点N，BC与EF交于点P求证：ANEBPE（2）如图3，在ABC中，ACAB，点D在AC上，ABCD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，交BA的延长线于点G，连接GD，EFC60求证：AGD90【习题变式】解：（1）F，M分别是CD，BD的中点，MFBP，MFEBPEE，M分别是AB，BD的中点，MEAN，MEFANEADBC，MEMF，EFMFEM，ANEBPE（2）连接BD，取BD的中点H，连接EH，FHH，F分别是BD和AD的中点，HFBG，HFEFGAH，E分别是BD，BC的中点，HEAC，HEFEFC60ABCD，HEHF，HFEEFC60，AGF60，AFGEFC60，AFG为等边三角形AFGF，AFFD，GFFD，FGDFDG30，AGD60+30902（1）问题：如图1，在RtABC中，BAC90，ABAC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点A作AEAD，并满足AEAD，连接CE则线段BD和线段CE的数量关系是BDCE，位置关系是BDCE（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），RtABC与RtADE均为等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC，ADAE试探索线段BD2、CD2、DE2之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，ABCACBADC45，若BD3，CD1，请直接写出线段AD的长解：（1）问题：在RtABC中，ABAC，BACB45，BACDAE90，BACDACDAEDAC，即BADCAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），故答案为：BDCE，BDCE；（2）探索：结论：DE2BD2+CD2，理由是：如图2中，连接ECBACDAE90，BADCAE，在ABD和ACE中，BADCAE（SAS），BDCE，BACE45，BCEACB+ACE45+4590，DE2CE2+CD2，DE2BD2+CD2；（3）拓展：如图3，将AD绕点A逆时针旋转90至AG，连接CG、DG，则DAG是等腰直角三角形，ADG45，ADC45，GDC90，同理得：BADCAG，CGBD3，RtCGD中，CD1，DG2，DAG是等腰直角三角形，ADAG23如图1，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG（1）BE和DG的数量关系是BEDG，BE和DG的位置关系是BEDG；（2）把正方形ECGF绕点C旋转，如图2，（1）中的结论是否还成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）设正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3，正方形ECGF绕点C旋转过程中，若A、C、E三点共线，直接写出DG的长解：（1）BEDGBEDG；理由如下：四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，CDBC，CECG，BCEDCG90，在BEC和DGC中，BECDGC（SAS），BEDG；如图1，延长GD交BE于点H，BECDGC，DGCBEC，DGC+EBCBEC+EBC90，BHG90，即BEDG；故答案为：BEDG，BEDG（2）成立，理由如下：如图2所示：同（1）得：DCGBCE（SAS），BEDG，CDGCBE，DMEBMC，CBE+BMC90，CDG+DME90，DOB90，BEDG；（3）由（2）得：DGEB，分两种情况：如图3所示：正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3，ACBD，BDACAB4，OAOCOBAC2，CE3，AEACCE，OEOAAE，在RtBOE中，由勾股定理得：DGBE；如图4所示：OECE+OC2+35，在RtBOE中，由勾股定理得：DGBE；综上所述，若A、C、E三点共线，DG的长为或4如图，在ABC中，B90，AB6cm，BC8cm，动点D从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，动点E从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动设点D，E运动的时间是t（s）（0t5）过点D作DFBC于点F，连接DE，EF（1）t为何值时，DEAC？（2）设四边形AEFC的面积为S，试求出S与t之间的关系式；（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形AEFC：SABC17：24，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）当t为何值时，ADE45？解：（1）B90o，AB6 cm，BC8 cm，AC10（cm），若DEAC，EDA90，EDAB，AA，ADEABC，即：，t，当ts时，DEAC；（2）DFBC，DFC90，DFCB，CC，CDFCAB，即，CF，BF8，BEABAE6t，SSABCSBEFABBCBFBE68（8t）（6t）t2+t；（3）若存在某一时刻t，使得S四边形AEFC：SABC17：24，根据题意得：t2+t68，解得：t1，t2（不合题意舍去），当ts时，S四边形AEFC：SABC17：24；（4）过点E作EMAC与点M，如图所示：则EMAB90，AA，AEMACB，即，EMt，AMt，DM102tt10t，在RtDEM中，当DMME时，ADE45，10tt，t当ts时，ADE455我们定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且项角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”例如，如图（1），ABC与ADE都是等腰三角形，其中BACDAE，则ABDACE（SAS）（1）熟悉模型：如图（2），已知ABC与ADE都是等腰三角形，ABAC，ADAE，且BACDAE，求证：BDCE；（2）运用模型：如图（3），P为等边ABC内一点，且PA：PB：PC3：4：5，求APB的度数小明在解决此问题时，根据前面的“手拉手全等模型”，以BP为边构造等边BPM，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连结CM，通过转化的思想求出了APB的度数，则APB的度数为150度；（3）深化模型：如图（4），在四边形ABCD中，AD4，CD3，ABCACBADC45，求BD的长（1）证明：BACDAE，BAC+CADDAE+CAD，即BADCAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），BDCE；（2）解：以BP为边构造等边BPM，连接CM，如图（3）所示：ABC与BPM都是等边三角形，ABBC，BPBMPM，ABCPBMBMP60，ABCPBCPBMPBC，即ABPCBM，在ABP和CBM中，ABPCBM（SAS），APCM，APBCMB，PA：PB：PC3：4：5，CM：PM：PC3：4：5，PC2CM2+PM2，CMP是直角三角形，PMC90，CMBBMP+PMC60+90150，APB150，故答案为：150；（3）解：过点A作EAAD，且AEAD，连接CE，DE，如图（4）所示：则ADE是等腰直角三角形，EAD90，DEAD4，EDA45，ADC45，EDC45+4590，在RtDCE中，CE，ACBABC45，BAC90，ABAC，BAC+CADEAD+CAD，即BADCAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），BDCE6（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目如图，在ABC中，点O在线段BC上，BAO30，OAC75，AO，BO：CO2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BDAC，交AO的延长线于点D，通过构造ABD就可以解决问题（如图2）请回答：ADB75，AB3（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点0，ACAD，AO，ABCACB75，BO：OD2：1，求DC的长解：（1）如图2中，过点B作BDAC，交AO的延长线于点D，BDAC，ADBOAC75BODCOA，BODCOA，2，又AO，OD2AO2，ADAO+OD3BAD30，ADB75，ABD180BADADB75ADB，ABAD3；故答案为75，3（2）如图3中，过点B作BEAD交AC于点EACAD，BEAD，DACBEA90AODEOB，AODEOB，2BO：OD1：3，AO，EO2，AE3ABCACB75，BAC30，ABAC，AB2BE在RtAEB中，BE2+AE2AB2，即（4BE2）2+BE2（2BE）2，解得：BE3，ABAC6，AD在RtCAD中，AC2+AD2CD2，即62+（）2CD2，解得：CD（负根已经舍弃）7正方形ABCD中，AB4，点E、F分别在AB、BC边上（不与点A、B重合）（1）如图1，连接CE，作DMCE，交CB于点M若BE3，则DM5；（2）如图2，连接EF，将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；再将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去，如图3，线段EF经过两次操作后拼得EFD，其形状为等边三角形，在此条件下，求证：AECF；若线段EF经过三次操作恰好拼成四边形EFGH，（3）请判断四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与BF的数量关系是AEBF；（4）以1中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围解：（1）如图1中，四边形ABCD是正方形，BDCM90，BE3，BC4，CE5，DMEC，DMC+MCE90，MCE+CEB90，DMCCEB，BCCD，BCECDM（AAS），DMEC5故答案为5（2）如题图3，由旋转性质可知EFDFDE，则DEF为等边三角形故答案为等边三角形（2）四边形EFGH的形状为正方形，此时AEBF理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：连接EG、FH，作HNBC于N，GMAB于M由旋转性质可知，EFFGGHHE，四边形EFGH是菱形，由EGMFHN，可知EGFH，四边形EFGH的形状为正方形HEF901+290，2+390，133+490，2+390，24在AEH与BFE中，AEHBFE（ASA）AEBF故答案为正方形，AEBF（4）利用中结论，易证AEH、BFE、CGF、DHG均为全等三角形，BFCGDHAEx，AHBECFDG4xyS正方形ABCD4SAEH444x（4x）2x28x+16y2x28x+16（0x4）y2x28x+162（x2）2+8，当x2时，y取得最小值8；当x0时，y16，y的取值范围为：8y168已知：如图1，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点B的坐标是（6，4）（1）直接写出A点坐标（6，0），C点坐标（0，4）；（2）如图2，D为OC中点连接BD，AD，如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形OADP的面积是ABC面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；（3）如图3，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒（t0），在M，N运动过程中当MN5时，直接写出时间t的值解：（1）四边形OABC是长方形，ABOC，BCOA，B（6，4），A（6，0），C（0，4），故答案为：6，0，0，4；（2）如图2，由（1）知，A（6，0），C（0，4），OA6，OC4，四边形OABC是长方形，S长方形OABCOAOC6424，连接AC，AC是长方形OABC的对角线，SOACSABCS长方形OABC12，点D是OC的中点，SOADSOAC6，四边形OADP的面积是ABC面积的2倍，S四边形OADP2SABC24，S四边形OADPSOAD+SODP6+SODP24，SODP18，点D是OC的中点，且OC4，ODOC2，P（m，1），SODPOD|m|2|m|18，m18（由于点P在第二象限，所以，m小于0，舍去）或m18，P（18，1）；（3）如图3，由（2）知，OA6，OC4，四边形OABC是长方形，AOCOCB90，BC6，由运动知，CMt，AN2t，ONOAAN62t，过点M作MHOA于H，OHM90AOCOCB，四边形OCMH是长方形，MHOC4，OHCMt，HN|ONCM|62tt|63t|，在RtMHN中，MN5，根据勾股定理得，HN2MN2MH2，|63t|252429，t1或t3，即：t的值为1或39综合与实践问题情境数学课上，李老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA1，PB2，PC3你能求出APB的度数吗？（1）小敏与同桌小聪通过观察、思考、讨论后，得出了如下思路：思路一：将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP，求出APB的度数；思路二：将APB绕点B顺时针旋转90，得到CPB，连接PP，求出APB的度数请参考以上思路，任选一种写出完整的解答过程类比探究（2）如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA3，PB1，求APB的度数拓展应用（3）如图3，在边长为的等边三角形ABC内有一点O，AOC90，BOC120，则AOC的面积是解：（1）思路一，如图1，将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP，则ABPCBP，APCP3，BPBP2，PBP90BPP45，根据勾股定理得，AP1，AP2+PP21+89，又PA2329，AP2+PP2PA2，APP是直角三角形，且APP90，APBAPP+BPP90+45135思路二、同思路一的方法（2）如图2，将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP则ABPCBP，BPBP1，PBP90BPP45，根据勾股定理得，AP3，AP2+PP29+211，又，AP2+PP2PA2，APP是直角三角形，且APP90，APBAPPBPP904545（3）如图，将ABO绕点B顺时针旋转60，得到BCE，连接OE则BAOBCE，AOBBEC36090120150，BOE是等边三角形，BEOBOE60，OEC90，OEC1206060，sin60，设ECk，OC2k，则OAECk，AOC90，OA2+OC2AC2，3k2+4k27，k1或1（舍弃），OA，OC2，SAOCOAOC2故答案为10如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，BPBE作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N（1）求证：BAPBGN；（2）若AB6，BC8，求；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求tanCFM的值（1）证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，ABC90，BAPAPB90BPBE，APBBEPGEF，MN垂直平分线段AP，GFE90，BGN+GEF90，BAPBGN（2）解：四边形ABCD是矩形，BADABP90，ADBC，ADBC8，BD10，ADBC，DAEAPB，APBBEPDEA，DAEDEA，DADE8，BEBPBDDE1082，PA2，MN垂直平分线段AP，AFPF，PBAD，PEPA，EFPFPE，（3）解：如图3中，连接AM，MP设CMx四边形ABCD是矩形，ADMMCP90，ABCD6，ADBC8，MN垂直平分线段AP，MAMP，AD2+DM2PC2+CM2，82+（6x）262+x2，x，PFMPCM90，P，F，M，C四点共圆，CFMCPM，tanCFMtanCFM11在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在ABC中，AB8，AC6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使ADDE，然后连接BE（如图），这样，在ADC和EDB中，由于，ADCEDB，ACEB，接下来，在ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围请你回答：（1）在图中，中线AD的取值范围是1AD7（2）应用上述方法，解决下面问题如图，在ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DFDE交AC边于点F，连接EF，若BE4，CF2，请直接写出EF的取值范围如图，在四边形ABCD中，BCD150，ADC30，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BCCF，DFAD，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论解：（1）延长AD到点E，使ADDE，连接BE，如图所示：点D是BC边上的中点，BDCD，在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS），ACEB6，在ABE中，ABBEAEAB+BE，86AE8+6，即2AE14，1AD7，故答案为：1AD7；（2）延长ED到点N，使EDDN，连接CN、FN，如图所示：点D是BC边上的中点，BDCD，在NDC和EDB中，中，NDCEDB（SAS），BECN4，DFDE，EDDN，EFFN，在CFN中，CNCFFNCN+CF，42FN4+2，即2FN6，2EF6；CEED；理由如下：延长CE与DA的延长线交于点G，如图所示：点E是AB中点，BEAE，BCD150，ADC30，DGBC，GAECBE，在GAE和CBE中，GAECBE（ASA），GECE，AGBC，BCCF，DFAD，CF+DFBC+ADAG+AD，即：CDGD，GECE，CEED12如图，在平行四边形ABCD中，ABAC，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度（090），分别交线段BC、AD于点E、F，已知AB1，连接BF（1）如图，在旋转的过程中，请写出线段AF与EC的数量关系，并证明；（2）如图，当45时，请写出线段BF与DF的数量关系，并证明；（3）如图，当90时，求BOF的面积解：（1）AFCE；理由如下：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AOCO，FAOECO，在AFO与CEO中，AFOCEO（ASA），AFEC；（2）BFDF；理由如下：ABAC，BAC90，AC2，四边形ABCD是平行四边形，BODO，AOCOAC1，ABAO，又ABAC，AOB45，45，AOF45，BOFAOB+AOF45+4590，EFBD，BODO，BFDF；（3）ABAC，CAB90，CABAOF90，ABEF，四边形ABCD是平行四边形，AFBE，四边形ABEF是平行四边形，ABEF1，由（1）得：AFOCEO，OFOEEF，由（2）得：AO1，ABEF，AOEF，SBOFSAOFAOOF113综合与实践（1）问题发现如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE请写出AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由（2）类比探究如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A，D，E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE填空：AEB的度数为90；线段CM，AE，BE之间的数量关系为AEBE+2CM（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BE4，CM3，则四边形ABEC的面积为35解：（1）AEB60，ADBE，理由如下：ACB和DCE均为等边三角形，CACB，CDCE，ACBDCE60ACDBCE在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS）ADCBECADBE，DCE为等边三角形，CDECED60点A，D，E在同一直线上，ADC120BEC120AEBBECCED60（2）猜想：AEB90，AEBE+2CM理由如下：ACB和DCE均为等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90ACDBCE在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS）ADBE，ADCBECDCE为等腰直角三角形，CDECED45点A，D，E在同一直线上，ADC135BEC135AEBBECCED90CDCE，CMDE，DMMEDCE90，DMMECMAEAD+DEBE+2CM故答案为：90，AEBE+2CM；（3）由（2）得：AEB90，ADBE4，DCE均为等腰直角三角形，CM为DCE中DE边上的高，CMAE，DE2CM6，AEAD+DE4+610，四边形ABEC的面积ACE的面积+ABE的面积AECM+AEBE103+10435；故答案为：3514如图，正方形OABC的边长为8，P为OA上一点，OP2，Q为OC边上的一个动点，分别以OPPQ为边在正方形OABC内部作等边三角形OPD和等边三角形PQE（1）证明：DEOQ；（2）直线ED与OC交于点F，点Q在运动过程中EFC的度数是否发生改变？若不变，求出这个角的度数；若改变，说明理由；连结AE，求AE的最小值（1）证明：如图1中，OPD和PQE是等边三角形，POPD，PQPE，OPDQPE60，OPQDPE，OPQDPE（SAS），DEOQ（2）OPQDPE，EDPPOQ90，DOPODP60FDOFDO30，EFCFOC+FDO60如图2中，当点Q与点C重合时，以PQ为边作正三角形PQMEFC60为定值，点E的运动路径为线段DM，过点P作PHEA，垂足为H，当AEDE时，AE的值最小PDEDEHPHE90，四边形PDEH是矩形，DPH90，EHPD2，EHDP2，在PHA中，AHP90，HPA30AHPA3，AEEH+AH2+3515我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形（1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2AB2+CD2；（3）如图3，RtABC中，ACB90，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC4，BC3，求GE长（1）解：四边形ABCD是垂直四边形；理由如下：ABAD，点A在线段BD的垂直平分线上，CBCD，点C在线段BD的垂直平分线上，直线AC是线段BD的垂直平分线，ACBD，即四边形ABCD是垂直四边形；（2）证明：设AC、BD交于点E，如图2所示：ACBD，AEDAEBBECCED90，由勾股定理得：AD2+BC2AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2AE2+BE2+DE2+CE2，AD2+BC2AB2+CD2；（3）解：连接CG、BE，如图3所示：正方形ACFG和正方形ABDE，AGAC，ABAE，CGAC4，BEAB，CAGBAE90，CAG+BACBAE+BAC，即GABCAE，在GAB和CAE中，GABCAE（SAS），ABGAEC，又AEC+CEB+ABE90，ABG+CEB+ABE90，即CEBG，四边形CGEB是垂直四边形，由（2）得，CG2+BE2BC2+GE2，AC4，BC3，AB5，BEAB5，GE2CG2+BE2BC2（4）2+（5）23273，GE